Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 9 chữ số gồm: chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 4 lần. Đây là bài toán hoán vị lặp: số cách sắp xếp 9 vị trí với các nhóm lặp là $$\frac{9!}{2!\cdot 3!\cdot 4!}=\frac{362880}{2\cdot 6\cdot 24}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Vậy lập được 1260 số.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có tất cả $20+22=42$ học sinh. Chọn 2 bạn bất kỳ (không phân biệt vai trò, thứ tự) tham gia hội thi cắm hoa, số cách là tổ hợp chập 2 của 42 phần tử: $$C_{42}^2=\frac{42\cdot 41}{2}=861.$$ Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp 6 người vào 6 ghế là hoán vị của 6 phần tử: $6!=720$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 Hoa hậu từ 59 thí sinh: $C_{59}^1$ cách. Sau đó chọn 4 Á hậu (1,2,3,4) từ 58 thí sinh còn lại: vì các vị trí Á hậu 1,2,3,4 là khác nhau nên có $A_{58}^4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách là $C_{59}^1\cdot A_{58}^4=59\cdot A_{58}^4=A_{59}^5$ (vì $C_{59}^1\cdot A_{58}^4=59\cdot \frac{58!}{54!}=\frac{59!}{54!}=A_{59}^5$). Vậy đáp án là $A_{59}^5$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn nhóm 3 học sinh bất kỳ từ 30 học sinh là $C_{30}^3=\frac{30\cdot 29\cdot 28}{6}=4060$. Số cách chọn nhóm 3 học sinh không có nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Vậy số cách chọn nhóm có ít nhất một học sinh nữ là $C_{30}^3-C_{20}^3=4060-1140=2920$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 nữ + 6 nam = 11 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật có $C_{11}^1=11$ cách. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Có 10 cách chọn người đàn ông, với mỗi lựa chọn có 9 người đàn bà không phải vợ của anh ta. Tổng: $10\times 9=90$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh đứng thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử, số cách là $5!=120$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 3; 4; 8; 9 lập số tự nhiên có 4 chữ số, mỗi chữ số có thể lặp lại. Mỗi vị trí (hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị) đều có 4 cách chọn (không có chữ số 0 nên hàng nghìn cũng 4 cách). Tổng số: $4^4=256$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có tổng cộng $2+3=5$ viên bi. Lấy ra hai viên bi (không phân biệt thứ tự) nên số cách là $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để làm tổ trưởng và tổ phó (hai vai trò khác nhau) là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử: $A_{10}^2=10\cdot 9=90$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi cách chọn 3 điểm trong 6 điểm cho đúng một tam giác. Số tam giác là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có hai chữ số có dạng $\overline{ab}$ với $a\in \{1,2,\dots ,9\}$, $b\in \{0,1,\dots ,9\}$. Để cả hai chữ số đều lẻ: $a$ có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9) và $b$ có 5 cách chọn (1, 3, 5, 7, 9). Theo quy tắc nhân, số số cần tìm là $5\times 5=25$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 20 nam và 1 nữ trong 18 nữ, theo quy tắc nhân số cách chọn là $C_{20}^1\cdot C_{18}^1=20\cdot 18=360$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 người từ 30 người không phân biệt vai trò, thứ tự không quan trọng nên số cách chọn là tổ hợp $C_{30}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số từ các chữ số 0;1;2;3, đôi một khác nhau: chữ số đầu không được là 0 nên có 3 cách chọn; sau đó chọn 3 chữ số còn lại từ 3 chữ số còn lại có $3!=6$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 2\cdot 1=18$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh có đúng 2 nam (và 1 nữ): chọn 2 nam từ 4 nam có $C_4^2=6$ cách, chọn 1 nữ từ 2 nữ có $C_2^1=2$ cách. Tổng số cách: $C_4^2\cdot C_2^1=6\cdot 2=12$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
An cố định ở vị trí đầu hàng, 3 bạn còn lại (Bình, Chi, Dung) xếp vào 3 vị trí sau: $3!=6$ cách. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ A={1,2,3,4}: hoán vị 4! = 24 → đúng. b) Số chẵn: chữ số cuối là 2 hoặc 4 (2 cách), 3 chữ số còn lại xếp: 3! = 6 cách → 2·6 = 12 → đúng. c) Chọn ngẫu nhiên 2 số từ 4 số: n(Ω) = C(4,2) = 6 → đúng. d) Cách chọn 2 số đều chẵn: C(2,2) = 1 (chọn {2,4}); xác suất = 1/6 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ A là số hoán vị của 4 phần tử: 4! = 24. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 4: 2 cách chọn; 3 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: 3! = 6 cách. Tổng: 2 × 6 = 12. Mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập A có 4 phần tử: n(Ω) = C(4,2) = 6. Mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 số đều chẵn (từ {2,4}): C(2,2) = 1. Xác suất = 1/C(4,2) = 1/6. Mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: tổ có 4 nam, 6 nữ (10 học sinh).
a) Sắp xếp 10 học sinh thành hàng dọc: 10! cách → đúng.
b) Chọn 2 nam và 2 nữ: $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90$ cách, không phải 30 → sai.
c) Không gian mẫu $C_{10}^3$; chọn 2 nam 1 nữ: $C_4^2{C}_6^1$ cách; xác suất $\frac{C_4^2{C}_6^1}{C_{10}^3}$ → đúng.
d) Chọn 3 nữ: $C_6^3$ cách; xác suất $\frac{C_6^3}{C_{10}^3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 10 học sinh phân biệt: 10! cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90\ne 30$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu $C_{10}^3$, biến cố 2 nam 1 nữ có $C_4^2{C}_6^1$ kết quả nên xác suất $\frac{C_4^2{C}_6^1}{C_{10}^3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu $C_{10}^3$, biến cố 3 nữ có $C_6^3$ kết quả nên xác suất $\frac{C_6^3}{C_{10}^3}$.