Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Lớp có 18 nam và 12 nữ.
a) Chọn 3 học sinh có duy nhất một bạn nữ: chọn 1 nữ trong 12 bạn và chọn 2 nam trong 18 bạn. Số cách là $C_{12}^1\cdot C_{18}^2=12\cdot \frac{18\cdot 17}{2}=12\cdot 153=1836$ cách.
b) Chọn 3 học sinh làm ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể mĩ: đây là chọn và sắp xếp 3 người từ 30 học sinh (các chức vụ khác nhau nên thứ tự quan trọng). Số cách là $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chữ số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5. Vì lập từ các số 1,2,3,4,5,6 (mỗi số dùng đúng một lần), ta chọn và xếp 3 chữ số từ 5 số còn lại {1,2,3,4,6} vào 3 vị trí đầu: có $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ cách. Vậy lập được 60 chữ số có 4 chữ số chia hết cho 5.

(AI giải đề cho tôi)
Đội hình 2-4-4 gồm 1 thủ môn, 2 hậu vệ, 4 tiền vệ, 4 tiền đạo. Số cách chọn: $$C_3^1\cdot C_7^2\cdot C_8^4\cdot C_5^4=3\cdot 21\cdot 70\cdot 5=22050.$$ Vậy Huấn luyện viên có 22050 cách sắp xếp đội hình ra sân.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $10\times 3=30$ học sinh. Nếu mọi cặp học sinh đều bắt tay nhau thì số lần bắt tay là $C_{30}^2=\frac{30\cdot 29}{2}=435$. Tuy nhiên, hai học sinh cùng lớp không bắt tay nhau, mỗi lớp có $C_3^2=3$ cặp như vậy, và có 10 lớp nên trừ đi $10\times 3=30$ cặp. Vậy số lần bắt tay là $435-30=405$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 học sinh từ khối 11 gồm 280 nam và 325 nữ, tổng cộng $280+325=605$ học sinh. Theo quy tắc cộng, số cách chọn 1 học sinh là $605$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một mặt và một dây là $3\times 4=12$ cách. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập X gồm 6 chữ số {0;1;2;3;4;5} là các chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Vậy không gian mẫu có 120 phần tử, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 bi từ 5 bi đỏ là $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$. Vậy số phần tử của biến cố chọn được 2 bi cùng màu đỏ bằng 10, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lọ có $6+4=10$ bông hoa. Chọn 1 bông hoa từ 10 bông có $C_{10}^1=10$ cách (quy tắc cộng: 6 cách chọn hoa hồng hoặc 4 cách chọn hoa cúc). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ít nhất 5 chữ số từ 6 chữ số {0,1,2,3,4,5} nên chỉ có thể có 5 hoặc 6 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2 hoặc 4.

Số có 5 chữ số:
- Tận cùng 0: 5 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí đầu: $A_5^4=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4 (2 cách): chữ số đầu khác 0 nên có 4 cách, 3 vị trí giữa chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot A_4^3=96$ mỗi trường hợp, tổng $2\cdot 96=192$.
Tổng số 5 chữ số: $120+192=312$.

Số có 6 chữ số (dùng đủ 6 chữ số):
- Tận cùng 0: $5!=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4: chữ số đầu khác 0: $4\cdot 4!=96$ mỗi trường hợp, tổng $192$.
Tổng số 6 chữ số: $120+192=312$.

Vậy tổng cộng: $312+312=624$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 3$ và $x$ nguyên. Ta có $C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}$, $A_{x-1}^2=(x-1)(x-2)$. Phương trình: $\frac{x(x-1)}{2}+5=(x-1)(x-2)$. Nhân 2: $x^2-x+10=2x^2-6x+4\iff x^2-5x-6=0\iff (x-6)(x+1)=0$, nên $x=6$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=6$ thỏa điều kiện. Thử lại: $C_6^2=15$, $15+5=20=A_5^2=5\cdot 4=20$. Vậy tập nghiệm $S=\{6\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp thứ tự phát biểu của 4 đại biểu A, B, C, D là $4!=24$ cách. Do tính đối xứng, trong mỗi hoán vị, A đứng trước B và B đứng trước A xảy ra với xác suất bằng nhau, nên số cách để A phát biểu trước B là $\frac{24}{2}=12$ cách. Vậy có tất cả 12 cách xếp thứ tự phát biểu sao cho đại biểu A phát biểu trước đại biểu B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 3 chữ số từ các chữ số 0;1;2;3;4;5. Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn hàng trăm và hàng chục từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 4=20$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), hàng trăm không được là 0 nên còn 4 cách, hàng chục còn 4 cách: $2\cdot 4\cdot 4=32$ số. Tổng: $20+32=52$ số. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 10 bạn (5 nam, 5 nữ, mỗi bạn là một cá nhân phân biệt) thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử, nên số cách là $10!$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi cách chọn 3 điểm từ 10 điểm cho đúng một tam giác. Số tam giác là $C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên từ 24 viên. Biến cố E: 4 viên chỉ có đúng 2 màu. Xét từng cặp màu, loại trường hợp 4 viên cùng một màu:
- Đỏ và xanh: $C_{14}^4-C_6^4-C_8^4=1001-15-70=916$.
- Đỏ và trắng: $C_{16}^4-C_6^4-C_{10}^4=1820-15-210=1595$.
- Xanh và trắng: $C_{18}^4-C_8^4-C_{10}^4=3060-70-210=2780$.
Tổng số kết quả thuận lợi: $916+1595+2780=5291$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có ba chữ số khác nhau từ 1;2;3;4: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$ → đúng.
b) Số lẻ có ba chữ số khác nhau từ 0;1;2;3;4;5: chữ số cuối thuộc $\{1;3;5\}$ (3 cách), chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối (4 cách), chữ số giữa (4 cách) → $3\cdot 4\cdot 4=48\ne 40$ → sai.
c) Số có ba chữ số chia hết cho 5 từ các chữ số 0..8 (cho phép lặp): tận cùng 0: $8\cdot 9=72$; tận cùng 5: $8\cdot 9=72$; tổng $144$ → đúng.
d) Số chẵn bốn chữ số từ 0..6: nếu các chữ số khác nhau: tận cùng 0: $A_6^3=120$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot A_5^2=100$ mỗi trường hợp, tổng $120+300=420$. Nếu cho phép lặp: tận cùng 0: $6^3=216$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot 6\cdot 6=180$ mỗi trường hợp, tổng $216+540=756$. Cả hai cách hiểu đều không cho 1170 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^3=24$ số, mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $3\cdot 4\cdot 4=48$, không phải 40.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0 hoặc 5, mỗi trường hợp $8\cdot 9=72$, tổng 144, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn bốn chữ số từ 0..6 là 420 (khác nhau) hoặc 756 (cho phép lặp), không phải 1170.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $4+3+3=10$ quyển sách đôi một khác nhau xếp trên một hàng ngang.
a) Xếp tùy ý: $10!=3628800$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
b) Coi 3 sách Hóa là một khối: xếp khối này cùng 7 quyển còn lại là $8!$ cách, trong khối xếp $3!$ cách. Tổng: $8!\cdot 3!=40320\cdot 6=241920$ cách, không phải 6 → mệnh đề SAI.
c) Xếp 3 khối bộ môn: $3!$ cách; trong khối Toán $4!$, khối Lí $3!$, khối Hóa $3!$ cách. Tổng: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 6=5184$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
d) Chọn và xếp 2 trong 4 sách Toán vào hai đầu giá sách: $A_4^2=12$ cách; xếp 8 quyển còn lại vào 8 vị trí giữa: $8!=40320$ cách. Tổng: $12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$ (số $2\cdot 8!=80640$ chỉ đúng khi hai quyển Toán ở hai đầu được chỉ định trước, bỏ qua việc chọn từ 4 sách Toán) → mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$10!=3628800$ cách xếp tùy ý 10 quyển sách khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$8!\cdot 3!=241920$ cách, không phải 6 (số 6 chỉ là $3!$ cách xếp trong khối Hóa).
c) (AI giải đề cho tôi)
$3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=5184$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^2\cdot 8!=12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 2 nên chữ số cuối phải chẵn: chỉ có 2 lựa chọn (2 hoặc 4). Ba vị trí còn lại... thực tế có 5 chữ số đôi một khác nhau: chọn chữ số cuối (2 cách), sau đó xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 4!=48$ số. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bao hàm - loại trừ. Tổng số cách chọn 6 từ 15: $C_{15}^6=5005$. Loại trường hợp khối 12 không có: $C_9^6=84$; khối 11 không có: $C_{11}^6=462$; khối 10 không có: $C_{10}^6=210$. Cộng lại các trường hợp trùng: chỉ chọn từ khối 12 (thiếu cả khối 11 và 10): $C_6^6=1$; từ khối 11: $C_4^6=0$; từ khối 10: $C_5^6=0$. Vậy số cách là $5005-(84+462+210)+1=4250$.