Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=2$ nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của chóp, $SA=4$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 4=\frac{8}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy là tam giác vuông tại $A$ với $AB=3$, $AC=4$ nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$. Chiều cao lăng trụ $h=A{A}^{\prime }=2$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=6\cdot 2=12$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp BC$. Khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $BC$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }AB{B}^{\prime })$ chứa $A{A}^{\prime }$. Trong mặt phẳng đáy, khoảng cách này bằng khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AB$. Vì $CA\perp AB$ nên $d(C,AB)=CA=4$.

Vậy $d(A{A}^{\prime },BC)=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tấm tôn hình vuông cạnh $8dm$, giữ lại phần giữa là hình vuông $ABCD$ cạnh $3dm$ (vì $8-2\cdot 2,5=3$). Ở mỗi góc, hai vạch cắt cách đỉnh góc $1dm$ theo hai cạnh; khi gấp các mép lên và hàn lại, hai mép cắt của hai cánh kề nhau phải khớp nhau tại đỉnh miệng thùng.

Gọi $\theta$ là góc gấp của mỗi cánh so với mặt đáy. Xét góc $D^{\prime }$: điểm cắt trên mép trên cách $D^{\prime }$ một đoạn $1dm$, tức cách hình chiếu của góc đáy $D$ một đoạn $1,5dm$ theo phương cạnh và $2,5dm$ theo phương gấp. Sau khi gấp, điểm này phải trùng với điểm cắt tương ứng của cánh kề, điều kiện trùng hoành độ cho:
$$2,5\cos \theta =1,5\Rightarrow \cos \theta =0,6\Rightarrow \sin \theta =0,8.$$
Chiều cao thùng:
$$h=2,5\cdot \sin \theta =2,5\cdot 0,8=2dm.$$
Miệng thùng là hình vuông cạnh $3+2\cdot 2,5\cos \theta =3+3=6dm$ (cũng bằng $8-2\cdot 1=6dm$), đáy thùng là hình vuông cạnh $3dm$. Vậy thùng là hình chóp cụt đều với:
$$S_1=3^2=9d{m}^2,S_2=6^2=36d{m}^2.$$
Thể tích:
$$V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{2}{3}\left(9+36+\sqrt{9\cdot 36}\right)=\frac{2}{3}(9+36+18)=\frac{2}{3}\cdot 63=42d{m}^3.$$
Vậy thể tích của thùng là $42d{m}^3$. Hình vẽ trang 22 xác nhận các số liệu: cạnh tấm tôn $8dm$, hình vuông trong $3dm$, vạch cắt cách đỉnh $1dm$, khớp hoàn toàn với cách giải.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=S.h$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=8\cdot 3=24$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối hộp bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=S.h$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 2=2$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ theo công thức chuẩn là $V=\frac{1}{3}S.h$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp cụt đều là $V=\frac{1}{3}\left(S+S^{\prime }+\sqrt{S\cdot S^{\prime }}\right)h$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' ⟂ (ABC), đáy là tam giác đều cạnh a, AA' = a√3.
a) Vì lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với mặt đáy: AA' ⟂ (ABC). Mặt bên (BCC'B') chứa BC, và giao tuyến của (BCC'B') với (ABC) là BC. Do AA' ⊂ (BCC'B')... chính xác hơn: AA' ⟂ (ABC) nên (BCC'B') ⊥ (ABC) (mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với (ABC)). Đúng.
b) Vì AA' ⟂ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là A. Đúng.
c) Diện tích đáy S = a²√3/4, chiều cao h = AA' = a√3. V = S·h = (a²√3/4)(a√3) = 3a³/4. Đúng.
d) AA' ∥ BB', BB' ⊂ (BCC'B') nên AA' ∥ (BCC'B'). Khoảng cách giữa AA' và BC bằng khoảng cách từ A đến BC, bằng đường cao tam giác đều ABC: d = a√3/2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng có AA' ⟂ (ABC), mà AA' ⊂ (BCC'B'), giao tuyến của (BCC'B') và (ABC) là BC, nên (BCC'B') ⊥ (ABC).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì AA' ⟂ (ABC) nên hình chiếu của A' lên (ABC) là A.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = S_ABC · AA' = (a²√3/4)·a√3 = 3a³/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
AA' ∥ (BCC'B') nên d(AA', BC) = d(A, (BCC'B')) = d(A, BC) = đường cao tam giác đều = a√3/2.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; lại $CD\perp AD$ (hình vuông) nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$. Mặt khác $CD\perp BC$. Vậy $CD$ là đường thẳng vuông góc chung của $SD$ và $BC$ → đúng.
b) $SA\perp (ABCD)$ mà $SA\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$ → đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot (a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$ → đúng.
d) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$, $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$, do đó $CD\perp SD$; cũng có $CD\perp BC$. Vậy $CD$ là đường vuông góc chung của $SD$ và $BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABC vuông tại A, AB=a, AC=a√3 nên BC=2a, đường cao AH = AB·AC/BC = a√3/2. a) SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AH; lại AH ⊥ BC nên AH là đường vuông góc chung của SA và BC → đúng. b) Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SHA = 60° (H là hình chiếu của A trên BC, S là hình chiếu của S). SA = AH·tan60° = (a√3/2)·√3 = 3a/2 → đúng. c) V = (1/3)·S_ABC·SA = (1/3)·(a²√3/2)·(3a/2) = a³√3/4 → đúng. d) SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và AB ⊥ AC tại A nên (SAB) ⊥ (SAC) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AH; AH ⊥ BC nên AH là đường vuông góc chung của SA và BC.
b) (AI giải đề cho tôi)
AH = a√3/2, góc SHA = 60°, SA = AH·tan60° = 3a/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·(a²√3/2)·(3a/2) = a³√3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ AB, SA ⊥ AC, AB ⊥ AC nên (SAB) ⊥ (SAC).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối chóp $S.ABCD$: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0,4714\approx 0,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác vuông tại A nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CA=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 4=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 2 nên $S_{ABCD}=2^2=4$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA=3$ là chiều cao. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 3=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là tam giác đều cạnh 2 nên diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Vì $SC\perp (ABC)$ nên $SC$ là chiều cao, $SC=3$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 3=\sqrt{3}\approx 1,73$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120$. Thể tích tứ diện $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 120\cdot 10=400$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tam giác ABC vuông tại B nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=24\cdot 5=120$.

b) Lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra $B{B}^{\prime }\perp AC$. Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $AC$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $AC$ trong mặt phẳng $(ABC)$, tức là đường cao $h$ của tam giác vuông tại B hạ xuống cạnh huyền $AC$.

$AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Diện tích: $\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}AC\cdot h$ nên $h=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4,8$.

Vậy $d(B{B}^{\prime },AC)=4,8=\frac{24}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$ và lăng trụ đứng nên chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, do đó $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ (vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ theo giao tuyến $BC$). Kẻ $AH\perp BC$ với $H$ là trung điểm $BC$, thì $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A{A}^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 4, đường chéo lăng trụ AC' = 9.

a) Trong hình vuông ABCD: $AC=4\sqrt{2}$, nên $A{C}^2=32$. Vì lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$, tam giác ACC' vuông tại C: $C{C}^{\prime 2}=A{C}^{\prime 2}-A{C}^2=81-32=49\Rightarrow C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=7$.

Thể tích: $V=S_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=4^2\cdot 7=112$ (đơn vị khối).

b) Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, mà $A{A}^{\prime }\not\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên $d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }))=d(A,BD)$ (do $(ABCD)\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$).

Khoảng cách từ A đến đường chéo BD của hình vuông cạnh 4:
$$d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

Vậy $d(A{A}^{\prime },BD)=2\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).