Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình (H) giới hạn bởi parabol $y=(x-2{)}^2$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Khi quay quanh trục $Ox$, thể tích là $V=\pi {\int }_0^3(x-2{)}^{4}dx=\pi {\left[\frac{(x-2{)}^5}{5}\right]}_0^3=\pi \cdot \frac{1^5-(-2{)}^5}{5}=\frac{33\pi }{5}$. Kết quả khớp với đáp án C trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^9(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{9}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^9=\frac{81\pi }{2}$ (đvtt). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, $x=a$, $x=b$ và trục hoành khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^2\mathrm{d}x$ (công thức chuẩn, với $a<b$). Loại A (thiếu $\pi$), B (cận ngược), C (thừa hệ số $\frac{1}{3}$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$, $y=2-x$ và trục hoành. Giao điểm của hai đường: $\sqrt{x}=2-x\Rightarrow x=1$ (với $y=1$). Trên $[0;1]$ biên trên là $y=\sqrt{x}$, trên $[1;2]$ biên trên là $y=2-x$ (đến giao điểm với trục hoành tại $x=2$). Khi quay quanh $Ox$, thể tích là $V=\pi {\int }_0^1(\sqrt{x}{)}^{2}dx+\pi {\int }_1^2(2-x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{1}xdx+\pi {\int }_1^2(2-x{)}^{2}dx$. Vậy đáp án C. (A sai vì công thức hiệu số bình phương không đúng dạng đó; B thiếu hệ số $\pi$; D sai cận tích phân thứ hai.)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}+2$, trục hoành, $x=0$, $x=4$ quanh trục hoành là $$V=\pi {\int }_0^4{\left(\sqrt{x}+2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4\left(x+4\sqrt{x}+4\right)dx.$$ Tính từng phần: ${\int }_0^{4}xdx=8$; ${\int }_0^{4}4\sqrt{x}dx=4\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^4=\frac{8}{3}\cdot 8=\frac{64}{3}$; ${\int }_0^{4}4dx=16$. Vậy $$V=\pi \left(8+\frac{64}{3}+16\right)=\pi \left(24+\frac{64}{3}\right)=\frac{136\pi }{3}\approx 142.416\approx 142.4d{m}^3.$$

(AI giải đề cho tôi)
PT vi phân: $f^{\prime }(x)+\frac{x}{x^2+1}f(x)=-\frac{x}{x^2+1}$. Nhân tích phân: $\sqrt{x^2+1}$, được ${\left(f(x)\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, suy ra $f(x)\sqrt{x^2+1}=-\sqrt{x^2+1}+C$. Với $f(0)=-2$ ta được $C=-1$, nên $f(x)=-1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$. Do đó $1+f(x)=-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ và $g(x)=-\sqrt{x^2+1}$. Thể tích: $V=\pi {\int }_0^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^3(x^2+1)dx=\pi \left(\frac{27}{3}+3\right)=12\pi \approx 37,70\approx 38$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$ (công thức chuẩn, vì bán kính mặt tròn tại hoành độ $x$ là $|f(x)|$ nên diện tích thiết diện là $\pi f^2(x)$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^1(e^{3x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^1{e}^{6x}\mathrm{d}x$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Quay hình phẳng giới hạn bởi $y=e^{4x}$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$, thể tích là $V=\pi {\int }_0^1(e^{4x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^1{e}^{8x}\mathrm{d}x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)=x^2+3\ge 0$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^2+3{)}^2\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay miền $D$ quanh trục $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^2+1)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{4\pi }{3}.$$ Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi /2}(2+\cos x)dx=\pi {\left[2x+\sin x\right]}_0^{\pi /2}=\pi \left(\pi +1\right)$. Vậy $V=(\pi +1)\pi$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^{\pi }{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi {\left[2x-\cos x\right]}_0^{\pi }=\pi \left(2\pi +1+1\right)=2\pi (\pi +1)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0,2] ta có 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx. Đúng.
b) Hình (H) nằm trên trục Ox, giới hạn bởi y = x²+3, x = 0, x = 2 nên V = π∫₀²(x²+3)²dx. Đúng.
c) V = π∫₄⁹(√x − 2)²dx = π∫₄⁹(x − 4√x + 4)dx = π[(x²/2 + 4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π[(81/2 + 36 − 72) − (8 + 16 − 64/3)] = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π. Sai.
d) Khi quay tam giác vuông OAB quanh Ox được hình nón có bán kính đáy a·tanα và chiều cao a, nên V = (1/3)πa³tan²α, phụ thuộc α, không bằng πa³. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0,2], 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khi quay quanh Ox: V = π∫₀²(x²+3)²dx, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₄⁹(√x−2)²dx = π[(x²/2+4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khối tròn xoay là hình nón: V = (1/3)π(a·tanα)²·a = (πa³tan²α)/3, phụ thuộc α nên không bằng πa³.

(AI giải đề cho tôi)
a) $V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi \left(2\pi +[-\cos x{]}_0^{\pi }\right)=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$ → Đúng.
b) $V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4-4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}\ne \frac{8\pi }{25}$ → Sai.
c) Trên $[1;2]$, $y=x^2+2>0$ nên $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ → Đúng.
d) $y^2=16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)$, $V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \left(10-\frac{10}{3}\right)=\frac{320\pi }{3}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$, khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}$, không bằng $\frac{8\pi }{25}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ đường $y=x^2+2$ nằm trên trục hoành nên công thức $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \cdot \frac{20}{3}=\frac{320\pi }{3}$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴ (√x)² dx, khẳng định thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón cùng bán kính √a, chiều cao a và 4−a: V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴ (√x)² dx → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón chung đỉnh, cùng bán kính √a: nón thứ nhất chiều cao a, nón thứ hai chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=x$, trục hoành, $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dx$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2(x^2+3{)}^2\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A đúng. (Tính cụ thể: ${\int }_0^2(x^4+6x^2+9)\mathrm{d}x=\frac{32}{5}+16+18=\frac{182}{5}$, nên $V=\frac{182\pi }{5}$.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)$, nên $f^2(x)=\frac{1}{324}{\left[(x-8{)}^2-144\right]}^2$. Đổi biến $u=x-8$, $u$ chạy từ $-12$ đến $12$: $V=\frac{\pi }{324}{\int }_{-12}^{12}(u^2-144{)}^{2}du=\frac{2\pi }{324}{\int }_0^{12}(u^4-288u^2+20736)du=\frac{\pi }{162}{\left[\frac{u^5}{5}-96u^3+20736u\right]}_0^{12}$. Tại $u=12$: $\frac{248832}{5}-165888+248832=132710.4$. Vậy $V=\frac{\pi }{162}\cdot 132710.4=819.2\pi \approx 2573.56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2574.