Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

Câu 2. Một cái trống trường có bán kính các mặt trống là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai mặt trống có diện tích là $1600\pi ({\text{cm}}^2)$, chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục, cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Biết thể tích của cái trống bằng $ad{m}^3$. Tìm a ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng 4, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng $4$, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, các đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$ và trục $Ox$. Khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích tính bằng công thức nào sau đây?

Gọi $(H)$ là hình được ghép bởi tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ và một phần tư hình tròn tâm $O$, bán kính $OA$ (tham khảo hình minh họa). một vật trang trí là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $AB$. Biết $OA=4cm$. Thể tích của vật trang trí đó gần với giá trị nào trong các giá trị sau?

Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất. Mặt trong (lót lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài × rộng là $660\times 380$ mm (phủ bì) và elip (lót lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một kỹ sư thiết kế một bình chứa nhiên liệu có thể đặt dưới thân máy bay để mở rộng tầm bay của nó. Sau một số thử nghiệm trên bản vẽ, người này quyết định tạo hình cho bình chứa bằng cách quay đồ thị hàm số $f(x)=a+bx-\frac{x^2}{16}$, với $-4\le x\le 4$ quanh trục $Ox$ (đơn vị: m³). Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B(4;0)$.

Một chiếc cúp lưu niệm (tham khảo hình vẽ) là một khối gồm 3 phần đế, thân và đỉnh. Phần đế là khối chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn và cạnh đáy nhỏ lần lượt là $8cm$ và $6cm$, chiều cao của đế là $5cm$. Phần thân được tạo thành khi đường sinh là một phần parabol quay quanh trục. Phần thân có đáy nhỏ là đường tròn có bán kính là $3cm$ còn đáy lớn là đường tròn có bán kính là $6cm$, chiều cao của phần thân là $25cm$, đáy nhỏ của phần thân nằm trên đáy nhỏ của phần đế. Phần đỉnh là một phần khối cầu có chiều cao bằng 60\% đường kính của khối cầu và mặt đáy lớn của phần thân có biên là một đường tròn nằm trên khối cầu này. Hai phần thân và đỉnh là khối tròn xoay có trục là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt đáy của phần đế tại tâm của mặt đáy đó. Tính thể tích của chiếc cúp lưu niệm trên biết nó là khối đặc (tính theo $c{m}^3$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục $Ox$.

Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3$, $y=-x+2$, $y=0$ quanh trục $Ox$. (làm tròn đến một chữ số thập phân).

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=5x-x^2$ và trục $Ox$ quay xung quanh trục $Ox$ bằng

Cho $(H)$ là hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ). Gọi $V$ là thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng $(H)$ xung quanh trục hoành. Tính thể tích của vật thể. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x$, trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$.

Một khối cầu có bán kính là $5(dm)$. Người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với bán kính và cách tâm một khoảng $3(dm)$ để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích của chiếc lu là $a\pi \left(d{m}^3\right)$. Giá trị của $a$ bằng

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: $y=e^{4x},y=0,x=0,x=1$.

Cho hình chữ nhật $OABC$ có chu vi bằng 12 được chia thành hai phần bởi parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$ và đi qua $B$. Gọi $\Im$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh trục $Ox$ (Hình vẽ bên). Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $\Im$.

Chuẩn bị cho ngày hội diễn văn nghệ chào đón ngày thành lập đoàn 26 tháng 3 năm 2025, ban Việt đã làm một “trại dã chiến” có dạng một khối tròn xoay như một cột tháp của tòa lâu đài (Hình 1). Mặt cắt qua trục của trại dã chiến như Hình 2.



Hình 1 (trái) và Hình 2 (phải): mặt cắt qua trục của trại dã chiến với đỉnh B, tâm O, điểm A trên đường kính đáy và O' là tâm mặt đáy dưới.

Biết rằng $O{O}^{\prime }=3\left(m\right)$, $OA=5\left(m\right)$, $OB=10\left(m\right)$, đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $B$. Tính thể tích $V\left(m^3\right)$ của khối trại chiếm chỗ trong không gian (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:

Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$.