Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2(x^2+3{)}^2\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A đúng. (Tính cụ thể: ${\int }_0^2(x^4+6x^2+9)\mathrm{d}x=\frac{32}{5}+16+18=\frac{182}{5}$, nên $V=\frac{182\pi }{5}$.)

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)$, nên $f^2(x)=\frac{1}{324}{\left[(x-8{)}^2-144\right]}^2$. Đổi biến $u=x-8$, $u$ chạy từ $-12$ đến $12$: $V=\frac{\pi }{324}{\int }_{-12}^{12}(u^2-144{)}^{2}du=\frac{2\pi }{324}{\int }_0^{12}(u^4-288u^2+20736)du=\frac{\pi }{162}{\left[\frac{u^5}{5}-96u^3+20736u\right]}_0^{12}$. Tại $u=12$: $\frac{248832}{5}-165888+248832=132710.4$. Vậy $V=\frac{\pi }{162}\cdot 132710.4=819.2\pi \approx 2573.56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2574.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$, B thiếu bình phương, C là công thức diện tích. Vậy đáp án là D, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường $x=a$, $x=b$ quay quanh $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đây là công thức chuẩn trong SGK Toán 12. Đáp án khớp với mã đề 1001, Câu 2: A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục hoành tại $-x^2+4x=0\Rightarrow x=0,x=4$. Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(-x^2+4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi \left(\frac{4^5}{5}-2\cdot 4^4+\frac{16\cdot 4^3}{3}\right)=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{15}=\frac{512\pi }{15}$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{512}{15}$ tối giản, $a+b=512+15=527$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D (giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục hoành và hai đường x=a, x=b) quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đây là công thức chuẩn trong SGK Toán 12. Các phương án A, B, D đều thiếu hệ số $\pi$ hoặc dùng công thức diện tích nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_2^7(9x+7)dx=\pi {\left[\frac{9x^2}{2}+7x\right]}_2^7=\pi \left(\frac{441}{2}+49-18-14\right)=\pi \left(\frac{539}{2}-32\right)=\frac{475\pi }{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Lavabo là nửa khối elip tròn xoay: elip có bán trục lớn $a=330$ mm (chiều dài $660$ mm) quay quanh trục lớn, nên hai bán trục còn lại bằng $b=190$ mm (chiều rộng $=$ chiều sâu $380$ mm). Thể tích cả khối elip là $V=\frac{4}{3}\pi abc$, vậy nửa khối có $V=\frac{2}{3}\pi abc$.

Vì độ dày đều $20$ mm, phần chứa nước là nửa khối elip với các bán trục trong:
$$a^{\prime }=330-20=310\text{ mm},b^{\prime }=190-20=170\text{ mm}.$$
Thể tích chứa nước:
$$V=\frac{2}{3}\pi \cdot 310\cdot 170\cdot 170=\frac{2}{3}\pi \cdot 8959000\approx 18764000{\text{ mm}}^3.$$
Đổi đơn vị: $1{\text{ dm}}^3=10^6{\text{ mm}}^3$, nên $V\approx 18,764{\text{ dm}}^3\approx 18,8{\text{ dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_{-1}^3(-4x-8{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^{3}16(x+2{)}^{2}dx=16\pi \cdot \frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_{-1}^3=16\pi \cdot \frac{125-1}{3}=\frac{1984}{3}\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=e^x$, trục $Ox$, $x=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1=\frac{\pi }{2}(e^2-1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (D) nằm ngoài parabol (y ≤ x²+2x+2), trên đường y=2 và dưới đường y=6−x. Giao parabol với y=2: x=0, x=−2; giao đường thẳng với y=2: x=4; giao parabol với đường thẳng: x²+3x−4=0 → x=1 (nằm trong miền). Theo hình vẽ miền xét x từ 0 đến 4.

Thể tích: V = π[∫₀¹((x²+2x+2)² − 2²)dx + ∫₁⁴((6−x)² − 2²)dx].

Tính I₁ = ∫₀¹(x⁴+4x³+8x²+8x+4)dx − 4 = (1/5+1+8/3+4+4) − 4 = 178/15 − 4 = 118/15.

I₂ = ∫₁⁴(x²−12x+32)dx = [x³/3−6x²+32x]₁⁴ = (64/3+32) − (1/3+26) = 27.

V = π(118/15 + 27) = 523π/15. Vậy a=523, b=15 (phân số tối giản), P = a − b² = 523 − 225 = 298.

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^2(4x^2)dx=\frac{128\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{y}^2\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$. Trên $[0,\pi /2]$ có $\sin x\ge 0$ nên hình phẳng nằm trên trục $Ox$, công thức đúng là $V=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$. Các phương án B, C thiếu hệ số $\pi$ và sai hàm; D dùng ${\cos }^{2}x$ sai. Khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 5 = A).

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^4(2x{)}^{2}dx=\frac{256\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$ (công thức $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$). Trên $[0;\frac{\pi }{2}]$ ta có $\cos x\ge 0$ nên không cần giá trị tuyệt đối. Đáp án trùng với key: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^2\mathrm{d}x$. Với $a=0,b=2$, ta được $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^2\mathrm{d}x$, tương ứng phương án B. Đáp án này cũng khớp với bảng đáp án mã đề 1307 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $D$ quanh trục hoành: $$V=\pi {\int }_0^2{\left(\sqrt{x^2+5}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(x^2+5)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+5x\right){|}_0^2=\pi \left(\frac{8}{3}+10\right)=\frac{38\pi }{3}.$$ Kết quả khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 1204 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_1^4{y}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^4\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{4}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ (vì $f^2(x)=|f(x){|}^2$ nên không cần dấu giá trị). Vậy đáp án B.