Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ (vì $f^2(x)=|f(x){|}^2$ nên không cần dấu giá trị). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y=x^2$ và $y=2x$ cắt nhau khi $x^2=2x\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên đoạn $[0;2]$ ta có $2x\ge x^2$ (ví dụ tại $x=1$: $2>1$). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đường này khi quay quanh trục $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^2\left[(2x{)}^2-(x^2{)}^2\right]\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2\left(4x^2-x^4\right)\mathrm{d}x.$$ Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, phát biểu thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·x²/2|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0). Quay quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O chiều cao a bán kính √a và nón đỉnh H chiều cao 4−a bán kính √a. V₁ = (1/3)π·a·a + (1/3)π·(4−a)·a = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)·4^{3/2} = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx; phát biểu thiếu hệ số π.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa² + (1/3)π(4−a)·√a·√a... = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ $(a<b)$ quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$. Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = (2/3)·8 = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, đề thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0), K(a,0). Quay tam giác quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O bán kính √a chiều cao a và nón đỉnh H bán kính √a chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa·√a² + (1/3)π(4−a)·√a² = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Với V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa·a + (1/3)π(4−a)·a = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_0^3{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^3\left(\frac{x^6}{9}-\frac{2x^5}{3}+x^4\right)dx=\pi \left(\frac{x^7}{63}-\frac{x^6}{9}+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{243}{7}-81+\frac{243}{5}\right)=\pi \cdot \frac{1215-2835+1701}{35}=\frac{81\pi }{35}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng (D) giới hạn bởi $y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, $y=0$, $x=0$. Parabol tiếp xúc trục hoành tại $x=2$, và với $x\in [0;2]$ thì $(x-2{)}^2\ge 0$, nên hình phẳng nằm trên đoạn $0\le x\le 2$ (giới hạn bởi $x=0$ và điểm tiếp xúc $x=2$). Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $$V=\pi {\int }_0^2(x-2{)}^{4}dx=\pi {\left[\frac{(x-2{)}^5}{5}\right]}_0^2=\pi \left(0-\frac{-32}{5}\right)=\frac{32\pi }{5}.$$ Phân số $\frac{32}{5}$ tối giản nên $M=32$, $N=5$, suy ra $M+N=37$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^1(e^{3x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{6x}dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sqrt{4x-x^2}$ xác định khi $4x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 4$. Đây là nửa đường tròn trên: $(x-2{)}^2+y^2=4$ với $y\ge 0$, bán kính $R=2$, tâm $(2;0)$. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^4(4x-x^2)dx=\pi {\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=\pi \left(32-\frac{64}{3}\right)=\frac{32\pi }{3}.$$ (Cũng đúng bằng thể tích cầu bán kính 2: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi }{3}$.) Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao phần trong: 112 − 2·3 (hai đế) − 2·3 (hai lớp gỗ) = 100 cm, nên nửa chiều cao là 50 cm. Bán kính trong: hai đầu 33 − 3 = 30 cm, chính giữa 43 − 3 = 40 cm. Parabol y = ax² + bx + c với y(±50) = 30, y(0) = 40 ⇒ c = 40, a = −1/250, b = 0, tức y = 40 − x²/250. Thể tích rượu: V = π∫_{−50}^{50} (40 − x²/250)² dx = 2π∫₀^{50} (1600 − (4/25)x² + x⁴/62500) dx = 2π(80000 − 20000/3 + 1000) = 2π·(223000/3) = 446000π/3 ≈ 467050,7 cm³ ≈ 467,01 lít.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{1-x^2}$ và $y=0$ là nửa đường tròn bán kính $1$ với $-1\le x\le 1$. Thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\pi {\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\pi \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{4\pi }{3}$. (Đây chính là thể tích hình cầu bán kính $1$.) Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_1^2{y}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^2(\sqrt{x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^{2}x\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 5, cột mã đề 1005, câu 10: A).

Đáp số: 415. Thể tích nước chứa được là phần khối cầu nằm giữa hai mặt phẳng cách tâm $3(\mathrm{dm})$: $V={\int }_{-3}^3\pi \left(25-x^2\right)\mathrm{d}x=\pi {\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^3=132\pi \approx 414,7\approx 415({\mathrm{dm}}^3)$. Bảng đáp án trang 5: mỗi cột mã đề (1001–1007) đều chứa cùng sáu giá trị tự luận 8400; 7; 415; 79; -5; -4,5 nhưng theo thứ tự khác nhau (đáp án tự luận được xáo trộn theo mã đề), nên hàng 17–22 không ánh xạ trực tiếp theo số thứ tự Câu 1–6. Trang đề (trang 4) ghi Mã đề 1001; trong cột 1001, giá trị 415 xuất hiện ở hàng 19 và là giá trị duy nhất phù hợp với bài toán thể tích khối cầu này (132π ≈ 414,7 ≈ 415), đồng thời khớp kết quả tính trực tiếp. Giá trị -5 ở hàng 21 cột 1001 là đáp án của một câu tự luận khác (xuất hiện do xáo trộn), không phải của bài toán này.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Cắt khối tròn xoay tại vị trí $x$ được thiết diện là hình tròn bán kính $|f(x)|$, diện tích $\pi f^2(x)$, nên thể tích là $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$; B, C sai công thức. Khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=x+2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ quanh $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^1(x+2{)}^2\mathrm{d}x$ (với $x\in [0;1]$ thì $x+2>0$). Tính được $V=\pi {\left[\frac{(x+2{)}^3}{3}\right]}_0^1=\pi \cdot \frac{27-8}{3}=\frac{19\pi }{3}$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$; B, C dùng công thức sai. Đáp án khớp với mã đề 1212, câu 5: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính $R=5$ dm, hai mặt phẳng cắt cách tâm $3$ dm, phần giữ lại (chiếc lu) là vùng giữa hai mặt phẳng $z=-3$ và $z=3$. Thể tích tính bằng tích phân: $V=\pi {\int }_{-3}^3(25-z^2)dz=\pi {\left[25z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3=\pi \left((75-9)-(-75+9)\right)=132\pi \approx 414,69{\text{dm}}^3$. Vì $1{\text{dm}}^3=1$ lít, làm tròn hàng đơn vị ta được $415$ lít. Bảng đáp án trang 9 hiển thị rõ ô Phần 3 – Câu 1 – mã đề 1121 là $415$, khớp với kết quả tính toán (trang 10 bản scan bị lỗi hiển thị ô này trống, không phải mâu thuẫn).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $D$ (giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$) quanh trục hoành theo công thức chuẩn là $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$. Điều này khớp với đáp án A và với bảng đáp án của đề (mã 1202, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P) có đỉnh trên trục tung, cắt trục hoành tại $x=\pm 20$ (chiều dài quả 40cm) và đỉnh cao $y=15$ (đường kính lớn nhất 30cm, bán kính 15cm). Vậy $y=15-\frac{15}{400}{x}^2=15\left(1-\frac{x^2}{400}\right)$.

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành:
$$V=\pi {\int }_{-20}^{20}{\left[15\left(1-\frac{x^2}{400}\right)\right]}^{2}dx=450\pi {\int }_{-20}^{20}{\left(1-\frac{x^2}{400}\right)}^{2}dx.$$
Tính ${\int }_{-20}^{20}{\left(1-\frac{x^2}{400}\right)}^{2}dx=2{\int }_0^{20}\left(1-\frac{x^2}{200}+\frac{x^4}{160000}\right)dx=2\left(20-\frac{8000}{600}+\frac{3200000}{800000}\right)=2\left(20-\frac{40}{3}+4\right)=2\cdot \frac{32}{3}=\frac{64}{3}.$
Suy ra $V=450\pi \cdot \frac{64}{3}=9600\pi \approx 30159,29$ cm³.

Khối lượng một quả: $m=V\cdot D\approx 30159,29$ g $\approx 30,16$ kg. Chi phí vận chuyển 1000 quả: $1000\times 30,16$ kg $\times 1000$ đ/kg $\approx 30,2$ triệu đồng.

Lưu ý: đáp án nguồn ghi 15,1 (tương ứng với cách tính thể tích $4800\pi$ chỉ lấy một nửa khối, tức tích phân từ 0 đến 20 thay vì từ $-20$ đến 20). Tuy nhiên theo hình vẽ, hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trải trên cả hai phía $x=\pm 20$, nên thể tích đúng là $9600\pi$ và kết quả làm tròn là 30,2 triệu đồng. Vì kết quả tính độc lập (30,2) xung đột với đáp án nguồn (15,1), bài toán được đánh dấu không giải được chắc chắn theo quy tắc không ghi đè đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường x = a, x = b quanh trục hoành được tính theo công thức chuẩn: V = π∫_a^b [f(x)]² dx. Đây là công thức đã được chứng minh trong SGK Toán 12: chia hình phẳng thành các dải nhỏ, mỗi dải quay quanh trục hoành tạo thành một khối trụ tròn có thể tích xấp xỉ π[f(x)]²dx, sau đó lấy tổng (tích phân). So sánh với các phương án: B thiếu hệ số π, C dùng π² sai, D thiếu bình phương f(x). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1201: A).