Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+4}{x-3}=x+1+\frac{7}{x-3}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$. Thử các điểm: $M(2024;2025)$: $2024+1=2025$ thoả mãn. Các điểm khác: $2027+1=2028\ne 2024$; $2025+1=2026\ne 2022$; $2024+1=2025\ne 2024$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $f(x)=2x-1+\frac{3}{x-2}$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=2x-1$, tức $I(2;-1)$. Khi đó $P=2a+3b=2\cdot 2+3\cdot (-1)=4-3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$. a) Sai: tại $x=1$ thì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$, không phải $y=2$. b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. c) Đúng: giao của hai tiệm cận $x=1$ và $y=2x-1$ (tại $x=1$, $y=1$) là $I(1;1)$, là tâm đối xứng của $(C)$. d) Đúng: $y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=\frac{1}{2}\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có đúng hai điểm cực trị. Kết quả khớp đáp án nguồn: S-Đ-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$), không phải $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=2x-1$ là $I(1;1)$, tâm đối xứng của $(C)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm hợp lệ và $y^{\prime }$ đổi dấu, nên có đúng hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1$ ⇒ $c=-b$. Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{b}=-1$ (đường tiệm cận ngang $y=-1$ theo hình vẽ) ⇒ $b=-1$, suy ra $c=1$. Đồ thị cắt $Ox$ tại $x=2$ nên $\frac{x-a}{bx+c}=0$ tại $x=2$ ⇒ $a=2$. Vậy $P=2a-b+c=2\cdot 2-(-1)+1=6$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-x+1}{x-1}=2x+1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S(x)=300\left(2+\frac{4}{x+2}\right)=600+\frac{1200}{x+2}$. Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{1200}{x+2}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to +\infty }S(x)=600$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=600$, tức $a=600$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (600).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 132: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x-1}{x+2}=x+1-\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2+x-5}{x+3}=\frac{(x+3)(2x-5)-20}{x+3}=2x-5-\frac{20}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{20}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 3: C).

a) Sai: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. b) Sai: từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. c) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$. d) Sai: TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$; TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$; đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.
a) a) Sai. Đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. Dựa vào hình vẽ, đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$.
b) b) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) c) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$.
d) d) Sai. Tổng $a+b+c=-2$. Đồ thị hàm số có TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$. Đồ thị hàm số có TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\frac{10}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$, khớp đáp án D (đáp án nguồn: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$ cho từng hàm số:
- A: $y=\frac{1}{x+3}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$.
- B: $y=\frac{x+1}{2x-3}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$ nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$.
- C: $y=\frac{x^2+1}{x-1}$, bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên $y=x+1$ và tiệm cận đứng $x=1$).
- D: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$, bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy đồ thị không có tiệm cận ngang là hàm ở phương án C, trùng với đáp án của đề (mã đề 1114, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+5}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-7}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ → a) Sai. Vì bậc tử trên bằng bậc mẫu dưới nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$ → b) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, tổng cộng 2 đường tiệm cận → c) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất là giao hai tiệm cận $I(1;2)$ → d) Đúng. Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1114: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+5)}{(x-1{)}^2}=\frac{-7}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{2}{1}=2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (mẫu bằng 0) và tiệm cận ngang $y=2$, tức 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận: $x=1$, $y=2$, tức $I(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{3x+3}{x-10}$ có tiệm cận đứng $x=10$ và tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=3$). Hai tiệm cận này cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật với các cạnh $10$ và $3$, diện tích $S=10\times 3=30$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=2x-1+\frac{1}{x+2}$. Tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Đường thẳng này cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ và cắt $Ox$ tại $\left(\frac{1}{2};0\right)$. Diện tích tam giác tạo với hai trục: $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=0,25$ (đvdt). Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+2x-2=(x-2)(x+4)+6$, nên $y=\frac{x^2+2x-2}{x-2}=x+4+\frac{6}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+4$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (MD0911, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$: ý a) Đúng. Vì bậc tử - bậc mẫu $=0$, tiệm cận đứng là $x=2$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ (không phải $y=2$): ý b) Sai. $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và không có điểm cực trị: ý c) Đúng. Hai tiệm cận $x=2$, $y=3$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật cạnh $2$ và $3$, diện tích $2\times 3=6$: ý d) Đúng. Khớp đáp án nguồn ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi mẫu $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=2$ đúng, nhưng tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$, không phải $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-7}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, hàm số không có điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật tạo bởi $x=2$, $y=3$ và hai trục có diện tích $2\times 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne \pm 2$, ta có $y=\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. (Hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$; tại $x=2$ hàm số được rút gọn nên không có tiệm cận.) Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$. a) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x+2)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x-2$ → Sai. b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. $f(0)=1$, $f(2)=5$ nên $A(0;1)$, $B(2;5)$. Đường thẳng $AB$: $y=2x+1\iff 2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. c) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên không thể nói nghịch biến trên toàn tập xác định (chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$) → Sai. d) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a: S, 2b: D, 2c: S, 2d: D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=x+2$ vì $f(x)-(x+2)=\frac{1}{x-1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $A(0;1)$, $B(2;5)$, đường thẳng $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng nhưng hàm gián đoạn tại $x=1$, nên không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2}\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{-}}y=-\infty$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$, tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: ĐÚNG. b) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}\ne \frac{-5}{(2x-1{)}^2}$: SAI. c) Vì $y^{\prime }<0$ trên mỗi khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$: SAI. d) Tại $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$, đồ thị cắt Oy tại $(0;1)$: SAI. Kết quả khớp đáp án nguồn (4a: Đ, 4b: S, 4c: S, 4d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{3}{2}$ nên TCN $y=\frac{3}{2}$; mẫu số triệt tiêu tại $x=\frac{1}{2}$ và tử khác 0 tại đó nên TCĐ $x=\frac{1}{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, không đồng biến. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0-1}{2\cdot 0-1}=1$, đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ $y=1\ne 0$. Sai.