Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x}{1+\sqrt{x}}$ xác định với $x\ge 0$. Khi $x\to +\infty$, $y\approx \sqrt{x}\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang.
- B: $y=x^3-3x$ là đa thức, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không có tiệm cận ngang.
- C: $y={\log }_{2}x$ có tiệm cận đứng $x=0$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$, không có tiệm cận ngang.
- D: $y=x+\sqrt{x^2+4}$. Khi $x\to -\infty$: $y=x+x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}=x\left(1-\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\right)$. Ta có ${\lim }_{x\to -\infty }\left(1-\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}\right)=0$ và $x\to -\infty$, xét chi tiết: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{4}{x+\sqrt{x^2+4}}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{4\left(\sqrt{x^2+4}-x\right)}{(x+\sqrt{x^2+4})(\sqrt{x^2+4}-x)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{4(\sqrt{x^2+4}-x)}{-4}={\lim }_{x\to -\infty }(x-\sqrt{x^2+4})=0$. Vậy ${\lim }_{x\to -\infty }y=0$, đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$.

Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^2$ là hàm đa thức bậc 2, không có tiệm cận. B) $y=x^3-3x+4$ là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận. C) $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận ngang $y=2$ và tiệm cận đứng $x=1$, không có tiệm cận xiên. D) $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$: bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1 nên có tiệm cận xiên. Chia đa thức: $x^2-x+1=(x-1)\cdot x+1$, suy ra $y=x+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+x-3}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)-1}{x-1}=x+2-\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ nên $\lim \left[f(x)-(x+2)\right]=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+2$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$. Giao điểm: thay $x=2$ vào $y=-x+1$ được $y=-1$, nên giao điểm là $(2;-1)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 36, đồ thị có hai nhánh tiến ra vô cực khi $x\to (-1{)}^{\pm }$: nhánh trái đi xuống $-\infty$, nhánh phải đi lên $+\infty$. Vậy đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Các đáp án $y=-4$, $y=4$ là đường ngang, còn $x=1$ không phải vị trí đồ thị tiến ra vô cực. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tiệm cận xiên: đường thẳng $y=ax+b$ là tiệm cận xiên của đồ thị $y=f(x)$ khi và chỉ khi $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-(ax+b))=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-(ax+b))=0$, tức $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-ax+b)=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-ax+b)=0$. Phương án A, C sai vì giới hạn phải bằng $0$ chứ không phải $a$ hay $b$; phương án D sai vì dùng $f^{\prime }(x)$ thay vì $f(x)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $2x^2-3x-3=(x-2)(2x+1)-1$, nên $y=\frac{2x^2-3x-3}{x-2}=2x+1-\frac{1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$. Tiệm cận đứng: $x=1$ (do ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$). Tiệm cận xiên: $y=2x-1$ (do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$). Giao điểm hai tiệm cận: thay $x=1$ vào $y=2x-1$ được $y=1$, tức điểm $(1;1)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Khi $x\to 0^{-}$ và $x\to 0^{+}$, $y\to +\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Tại $x=1$ hàm đạt giá trị $-2$ (cực trị), không phải tiệm cận. Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -9$, $x\ne 0,-1$. Xét $x=0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\frac{1}{6}$ (hữu hạn vì $\sqrt{x+9}-3=\frac{x}{\sqrt{x+9}+3}$), nên $x=0$ không phải tiệm cận đứng. Xét $x=-1$: mẫu số $x^2+x\to 0$ còn tử số $\sqrt{8}-3\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}|y|=+\infty$: $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có đường tiệm cận đứng $x=1$ (nhánh bên phải của đồ thị tiến lên $+\infty$ khi $x\to 1^{+}$, nhánh bên trái tiến xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$) và đường tiệm cận ngang $y=1$ (đồ thị tiến gần đường thẳng $y=1$ khi $x\to \pm \infty$, đúng như đường nét đứt $y=1$ trên hình). Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=1$; $y=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\frac{3}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ,-2)$ hàm số tăng từ $0$ đến $+\infty$, trên $(2,+\infty )$ hàm số tăng từ $-\infty$ đến $0$, và hàm số không xác định tại $x=-2$ và $x=2$ (các khoảng bị gạch chéo). Do đó ${\lim }_{x\to -2^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có hai tiệm cận đứng $x=-2$ và $x=2$. Ngoài ra ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ nên có một tiệm cận ngang $y=0$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị ở trang 38 (Câu 59): khi $x\to 1^{\pm }$, đồ thị đi ra vô cực nên đường thẳng đứng $x=1$ là một tiệm cận đứng. Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến gần một đường thẳng nghiêng (đường này được vẽ rõ trên hình, không song song với trục hoành), tức là có một tiệm cận xiên; vì giới hạn khi $x\to \pm \infty$ không phải hằng số nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^2-2x$ là đa thức bậc 2, không có tiệm cận. B) $y=x+1$ là đường thẳng, không có tiệm cận. C) $y=\frac{x}{x+2}$: bậc tử bằng bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận ngang $y=1$ và tiệm cận đứng $x=-2$, không có tiệm cận xiên. D) $y=\frac{x^2}{x+1}$: bậc tử hơn bậc mẫu 1 đơn vị nên có tiệm cận xiên. Chia đa thức: $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$, và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2}{x+1}-(x-1)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+1}=0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+2x-2}{x+2}=x-\frac{2}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x-1$ (không có tiệm cận ngang). Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 5$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to -2$ nên có tiệm cận ngang $y=-2$. Tổng: $1+2=3$ đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ nên có tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+1=2$, chọn đáp án D.