Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Ta có $\overrightarrow{BA}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(m;-1;-3)$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B\iff \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0\iff 1(m)+1(-1)+(-1)(-3)=0\iff m-1+3=0\iff m=-2$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;-1;3)$. Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 3+(-3)\cdot (-1)+0\cdot 3=0$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$, tức là $\widehat{BAC}=90^{\circ }$. Chọn D.

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{D{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{C}^{\prime }})=\widehat{CD{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Chọn B.

Gọi $M(m;0;0)\in Ox\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(m-1;1;-2),\overrightarrow{BC}=(-3;-2;2)$. Từ $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=0\iff -3(m-1)-2-4=0\iff m=-1\Rightarrow M(-1;0;0)$. Chọn D.

Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Phương án D sai vì $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Ta có $\left[\vec{a},\vec{b}\right]=(-2;-1;1)$. (Theo bảng đáp án chính thức trang 5, mã đề 101: Chọn A.)

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): Chọn A ($\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$).

Xét từng mệnh đề:
a) Đúng: Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y=0$. Tung độ của $A$ là $y_A=1>0$, của $B$ là $y_B=2>0$. Vì $y_A\cdot y_B=2>0$ nên $A,B$ nằm cùng phía đối với $(Oxz)$.
b) Sai: Hình chiếu vuông góc của $A(-2;1;1)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là giữ nguyên hoành độ và cao độ, cho tung độ bằng $0$, tức là $(-2;0;1)$, không phải $(0;1;0)$.
c) Sai: Điểm đối xứng với $A(-2;1;1)$ qua $(Oxz)$ đổi dấu tung độ, giữ nguyên hoành độ và cao độ, tức là $(-2;-1;1)$, không phải $(2;1;-1)$.
d) Đúng: Điểm đối xứng của $A$ qua $(Oxz)$ là $A_1(-2;-1;1)$. Vì $A_1$ và $B$ nằm khác phía đối với $(Oxz)$, $MA+MB=M{A}_1+MB\ge A_{1}B$. Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $A_{1}B$ với $(Oxz)$. Từ đó tính được tọa độ $M$ và độ dài $OM=\frac{26}{3}$.

Đáp án: -13. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Vì $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, ta có $\vec{u}=(\overrightarrow{D{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }A})+(\overrightarrow{A{D}^{\prime }}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }})=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;1)$. Vì $A,B,M$ thẳng hàng nên $M(t;-2+t;3+t)$. Do $M\in (Oxy)$ nên $3+t=0\Rightarrow t=-3$. Vậy $M(-3;-5;0)$ và $a+b+c=-8$.

Tam giác $A{B}^{\prime }C$ đều nên $(\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{AC})=60^{\circ }$. Suy ra $(\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{CA})=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Chọn D.

Theo quy tắc hình hộp: $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|=|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{4+16+4}=2\sqrt{6}$. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(6;9;12)$. Drone bay thẳng đều nên sau $20$ giây, tức $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ thời gian, thì $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;3;4)$. Suy ra $C(3;4;5)$, do đó $a+b+c=12$. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_1})=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{B{B}_1}\ne \overrightarrow{BC}$, nên A sai. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$. Vì $D{D}^{\prime }\perp AB$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}=-A{B}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }D}=-a^2+0=-a^2$. Chọn A.

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$ nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Chọn A.

a) Đúng: $\overrightarrow{OM}=(2;3;-1)\Rightarrow M(2;3;-1)$, $\overrightarrow{ON}=(-1;1;1)\Rightarrow N(-1;1;1)$.
b) Sai: Hình chiếu của $M$ trên trục $Oy$ là $(0;3;0)$.
c) Đúng: $N$ là trung điểm của $ME$ nên $E=(2x_N-x_M;2y_N-y_M;2z_N-z_M)=(-4;-1;3)$.
d) Sai: $OMND$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{DN}\iff D=(-1-2;1-3;1+1)=(-3;-2;2)$.

Vì $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$. Do đó $\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{G}^{\prime }}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})=\frac{1}{3}(3\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Chọn A.

Theo hình vẽ, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông, trục $Oz$ hướng lên trên, nên $M(150;300;9)$.
a) Đúng. Cao độ của $M$ là $9$ nên máy bay ở độ cao $9\text{ km}$.
b) Sai. Tọa độ của máy bay là $(150;300;9)$.
c) Đúng. $N(-200;-100;8)$.
d) Sai. $\overrightarrow{MN}=(-350;-400;-1)$.