Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét phương án C: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành, $D$ là đỉnh, $DB$ là đường chéo). Do đó $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh xuất phát từ $D$). Vậy mệnh đề C đúng. Các phương án A, B, D sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (không khớp với $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ hay $\overrightarrow{D^{\prime }B}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
$A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$, $C(2;6;0)$, $C^{\prime }(2;6;8)$, $D^{\prime }(0;6;8)$. a) $\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$ đúng. b) Trọng tâm tam giác $D^{\prime }BC$: $G=\left(\frac{0+2+2}{3};\frac{6+0+6}{3};\frac{8+0+0}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};4;\frac{8}{3}\right)\ne (2;-1;3)$ nên sai. c) $\overrightarrow{BC}=(0;6;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;6;-8)$, $\cos =\frac{36}{6\cdot 10}=\frac{3}{5}\ne \frac{6\sqrt{37}}{37}$ nên sai. d) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;6;8)$, $M=\left(\frac{2}{3};2;\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên $M$, $A$, $C^{\prime }$ thẳng hàng, đúng. Khớp đáp án DSSD của mã đề 311.
a) $B(2;0;0)$, $A(0;0;0)$ nên $\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$.
b) $G=(D^{\prime }+B+C)/3=\left(\frac{4}{3};4;\frac{8}{3}\right)\ne (2;-1;3)$.
c) $\overrightarrow{BC}=(0;6;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;6;-8)$, $\cos =\frac{36}{6\cdot 10}=\frac{3}{5}$.
d) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2}{3};2;\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{3}(2;6;8)=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, nên thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(0;2;2)$, $C^{\prime }(2;2;2)$, $D^{\prime }(0;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$. Trung điểm $M$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $M(1;2;2)$; trung điểm $N$ của $C{C}^{\prime }$: $N(2;2;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(1;0;-1)$. Vậy $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}=2\cdot 1+2\cdot 0+0\cdot (-1)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Phần III: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, ta có $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}\iff M-A=2(B-M)\iff 3M=A+2B\iff M=\frac{A+2B}{3}$ (điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=2$). Tọa độ: $a=\frac{4+2(-2)}{3}=0$, $b=\frac{2+2(-1)}{3}=0$, $c=\frac{1+2(4)}{3}=3$. Vậy $a-b+c=0-0+3=3$, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, Phần III: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;0;10)$ vì $AO=10m$ trên trục $Oz$. Điểm $B$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ với $OB=15m$ và góc $\widehat{BOH}=30^{\circ }$ với $H$ trên trục $Oy$, nên $B=(15\sin 30^{\circ };15\cos 30^{\circ };0)=(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10)$, tức $a=7,5$, $c=-10$. Vậy $a+c=7,5-10=-2,5$, khớp đáp án nguồn $-2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=2\cdot (-3)+(-1)\cdot 4+1\cdot (-5)=-6-4-5=-15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{x}=2\vec{a}-\vec{b}=2(2;-1;3)-(-1;0;2)=(4;-2;6)+(1;0;-2)=(5;-2;4)$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=(1;3;-2)$, $\vec{v}=(2;-1;1)$. Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=1\cdot 2+3\cdot (-1)+(-2)\cdot 1=2-3-2=-3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-1)$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2+6+1=9\ne 3$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;2;-1)$ → Đúng.
c) Vì $AB\parallel CD$ là hai đáy nên $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$ với $|k|\cdot AB=6$, $AB=3$ nên $k=\pm 2$. Với $k=-2$: $\overrightarrow{CD}=(4;-4;2)$, suy ra $D=(4;-2;4)$, khi đó $a-b+c=4-(-2)+4=10$ → Đúng.
d) $\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{|AB||AC|}=\frac{9}{3\sqrt{11}}=\frac{3}{\sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{11}\ne \frac{\sqrt{11}}{11}$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 1002: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(-1)+2\cdot 3+(-1)(-1)=9\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1-1;1+1;2-3)=(-2;2;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$, $|k|\cdot 3=6\Rightarrow k=\pm 2$. Chọn $k=-2$: $\overrightarrow{CD}=(4;-4;2)\Rightarrow D=(4;-2;4)$, nên $a-b+c=4+2+4=10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{3\cdot \sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{11}\ne \frac{\sqrt{11}}{11}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a√2;0), C(a;a√2;0), S(0;0;2a). I trung điểm SD nên I(0; a√2/2; a). Khi đó vector AI = (0; a√2/2; a), vector SC = (a; a√2; -2a). Tích vô hướng: AI·SC = 0 + (a√2/2)(a√2) + a(-2a) = a² - 2a² = -a². Độ dài: |AI| = √(a²/2 + a²) = a√(3/2), |SC| = √(a² + 2a² + 4a²) = a√7. Vậy cos(AI, SC) = -a²/(a√(3/2)·a√7) = -1/√(21/2) = -√(2/21) ≈ -0,309 ≈ -0,3, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-3-(-6);0-7;5-1)=(3;-7;4)$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của $M(10;9;-1)$ lên trục $Oz$ có tọa độ $(0;0;-1)$ vì điểm nằm trên trục $Oz$ có hoành độ và tung độ bằng 0, cao độ bằng cao độ của $M$ là $-1$. Vậy $I(0;0;-1)$, khớp với đáp án A (mã đề 1002, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)=\left(\frac{1+2+3}{3};\frac{3+(-1)+1}{3};\frac{2+1+0}{3}\right)=(2;1;1)$. Khớp với đáp án nguồn D (mã đề 1002, Câu 9).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(10;9;-1)$ lên trục $Oz$ là điểm nằm trên trục $Oz$ nên có tọa độ dạng $(0;0;z)$, với $z$ bằng tung độ $z$ của $M$, tức $z=-1$. Vậy $I(0;0;-1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;3;-1)$.
a) $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{11}$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2+6+1=9$ nên $\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{3\sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{11}\ne \frac{\sqrt{11}}{11}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=9\ne 3$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$ → Đúng.
d) Vì $AB\parallel CD$ và $CD=6=2\cdot AB$ nên $\overrightarrow{CD}=\pm 2\overrightarrow{AB}$. Với hình thang $ABCD$ (tứ giác $ABCD$ theo thứ tự), $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)$, suy ra $D=C+(4;-4;2)=(4;-2;4)$. Khi đó $a-b+c=4-(-2)+4=10$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=9$, $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{11}$ nên $\cos \widehat{BAC}=\frac{3\sqrt{11}}{11}\ne \frac{\sqrt{11}}{11}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(-1)+2\cdot 3+(-1)(-1)=9\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-1;1-(-1);2-3)=(-2;2;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}\parallel \overrightarrow{AB}$, $CD=6=2AB$ nên $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)$, $D=(4;-2;4)$, do đó $a-b+c=4+2+4=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đề: $\vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}=(1;3;-2)$ và $\vec{v}=(2;-1;1)$. Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=1\cdot 2+3\cdot (-1)+(-2)\cdot 1=2-3-2=-3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$. Trung điểm $I$ của $SD$: $I\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};a\right)$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};a\right)$, $|\overrightarrow{AI}{|}^2=\frac{a^2}{2}+a^2=\frac{3a^2}{2}$.
$\overrightarrow{SC}=(a;a\sqrt{2};-2a)$, $|\overrightarrow{SC}{|}^2=a^2+2a^2+4a^2=7a^2$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{SC}=0+\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}+a\cdot (-2a)=a^2-2a^2=-a^2$.
Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{SC}\right)=\frac{-a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 7}}=\frac{-1}{\sqrt{10,5}}\approx -0,3086\approx -0,3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác ABC: $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)=\left(\frac{1+2+3}{3};\frac{3+(-1)+1}{3};\frac{2+1+0}{3}\right)=(2;1;1)$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-3-(-6);0-7;5-1)=(3;-7;4)$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án (Câu 8, Mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tứ giác $D^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{B^{\prime }B}=\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{D^{\prime }D}$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }D}$. Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }B}$, khẳng định đúng là A (khớp với đáp án nguồn).