Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc tọa độ, với $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\vec{i}$, $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng $\vec{j}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ cùng hướng $\vec{k}$ nên $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $D(0;16;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$. Điểm $C$ có hình chiếu là $B$ trên trục $x$ và $D$ trên trục $y$ nên $C(10;16;0)$. Suy ra $\overrightarrow{A^{\prime }C}=C-A^{\prime }=(10-0;16-0;0-8)=(10;16;-8)$. Đáp án D, trùng với đáp án được gạch chân trong tài liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=2\vec{j}-\vec{i}-3\vec{k}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$, nên tọa độ của vectơ là $\vec{a}(-1;2;-3)$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án đã gạch chân trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ tọa độ: O là gốc, trục Ox theo hướng OC, trục Oy theo hướng OA, Oz vuông góc đáy. Tam giác đều cạnh 2a nên OB=OC=a, đường cao OA=a√3. Vậy O(0;0;0), C(a;0;0), B(-a;0;0), A(0;a√3;0), S(0;a√3;a).
a) Vì O là trung điểm BC nên AB+AC = 2AO = -2OA, khác 2OA → sai.
b) M trung điểm SC: M((0+a)/2; (a√3+0)/2; (a+0)/2) = (a/2; a√3/2; a/2), khác (-a/2; a√3/2; a/2) → sai.
c) A(0; a√3; 0) → đúng.
d) SB=(a; -a√3; -a), SC=(-a; -a√3; -a), SB·SC = -a²+3a²+a² = 3a² → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm BC nên AB+AC = 2AO = -2OA ≠ 2OA.
b) (AI giải đề cho tôi)
M = ((0+a)/2; (a√3+0)/2; (a+0)/2) = (a/2; a√3/2; a/2), hoành độ phải dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
A nằm trên trục Oy với OA = a√3 nên A(0; a√3; 0).
d) (AI giải đề cho tôi)
SB=(a; -a√3; -a), SC=(-a; -a√3; -a), tích vô hướng = -a²+3a²+a² = 3a².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{C^{\prime }B}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vì $A{C}^{\prime }$ là đường chéo hình lập phương cạnh 3 nên $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=3\sqrt{3}$, suy ra $a=3,b=3$ và $T=2a+b=2\cdot 3+3=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{d}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\vec{c}-\vec{b}$, suy ra $\vec{b}-\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ không rút gọn thành $\vec{d}$; B sai vì $\vec{a}$ không liên hệ $\vec{b}+\vec{c}$; C sai vì $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{a}+2\vec{c}\ne \vec{0}$. Vậy đáp án D (khớp với đáp án $\underline{D}$ trong đề).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Với điểm $S$ bất kỳ: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{SG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{SG}$. Vậy khẳng định đúng là C (khớp với đáp án nguồn gạch chân C). Lưu ý: khẳng định B thiếu vế $\vec{0}$ đúng bản chất nhưng đề in $=0$ (số), nên chỉ C là khẳng định đúng theo đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Vậy mệnh đề D đúng, mệnh đề B sai (hệ số $\frac{1}{3}$ sai, đúng phải là $\frac{1}{4}$). Với $G$ là trung điểm $MN$ thì $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\vec{0}$ (A đúng). Cũng có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$, nên tổng bằng $2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ (C đúng). Mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$. Vì $\frac{1}{-1}\ne \frac{2}{0}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng → a đúng. Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(2+1-3;-1-1-1;-2+1-2)=(0;-3;-3)$ → b đúng. $\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-2;-1)$; $-2\overrightarrow{BC}=(4;4;2)\ne \overrightarrow{BA}$ → c sai. $\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)\ne (1;2;4)$ (đó là $\overrightarrow{AB}$) → d sai. Kết quả ĐĐSS khớp đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 3).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$ không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cho $D=A+C-B=(0;-3;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$ còn $-2\overrightarrow{BC}=(4;4;2)$, hai vectơ không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;-2;-4)$, còn $(1;2;4)$ là $\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và bằng nhau). Khi đó $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }})\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}+|\overrightarrow{D{D}^{\prime }}{|}^2$. Vì $AD\perp D{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D{D}^{\prime }}=0$, và $|\overrightarrow{D{D}^{\prime }}{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$. Vậy kết quả bằng $2$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 6 phần trả lời ngắn = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=2\vec{i}+3(\vec{i}-2\vec{k})+4\vec{j}=2\vec{i}+3\vec{i}-6\vec{k}+4\vec{j}=5\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$. Vậy tọa độ của $\vec{a}$ là $(5;4;-6)$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và bảng đáp án mã đề 1062 (câu 5: B).

Nguồn chỉ cung cấp đáp án SĐSĐ (bảng mã đề 1061, dòng 4, trang 9), không có lời giải. Các giải thích per-statement do AI suy ra từ đáp án chính thức và kiểm chứng toán học. Đề gốc in $\overrightarrow{AB}=(-3;3-1)$ ở câu d) — lỗi in của nguồn, được giữ nguyên.
a) AI-derived (không có trong nguồn): $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;1;-1)$, nên $3\overrightarrow{AC}=(6;3;-3)\ne \overrightarrow{AB}$. Sai.
b) AI-derived (không có trong nguồn): $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;1;-1)$ không cùng phương (không tồn tại $k$ để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$), nên ba điểm không thẳng hàng. Đúng.
c) AI-derived (không có trong nguồn): Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(-5;0;0)$, suy ra $D=(-4;-2;3)\ne (-2;-1;1)$. Sai.
d) AI-derived (không có trong nguồn): Đề gốc in $\overrightarrow{AB}=(-3;3-1)$, hiểu là $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$ (lỗi in của nguồn, được giữ nguyên). Thật vậy $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-1;1-(-2);2-3)=(-3;3;-1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $C^{\prime }(2;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=2\cdot 0+2\cdot 2+0\cdot 2=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (4).

(AI giải đề cho tôi)
Với $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$, ta có $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$ (đúng cho B và D). Với C: $\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{B})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})=\overrightarrow{IJ}$, đúng. Riêng A: $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})\ne \overrightarrow{IJ}$ nói chung. Vậy đẳng thức sai là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trừ từng thành phần: $\vec{u}-\vec{v}=(1-2;3-1;-2-(-1))=(-1;2;-1)$. Kết quả khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1061 (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;4;0), A'(0;0;3), C(2;4;0), C'(2;4;3), B'(2;0;3), D'(0;4;3). a) AB=(2;0;0) đúng. b) G=((2+2+0)/3;(4+0+0)/3;(0+0+3)/3)=(4/3;4/3;1) đúng. c) AC=(2;4;0), B'D'=(-2;4;0), cos = |−4+16|/(√20·√20)=12/20=3/5 đúng. d) AC'=(2;4;3), AN=(-2;4;-3), không tỉ lệ nên không thẳng hàng, sai. Khớp đáp án DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), A(0;0;0) nên AB=(2;0;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
B(2;0;0), C(2;4;0), A'(0;0;3) nên G=((2+2+0)/3;(4+0+0)/3;(0+0+3)/3)=(4/3;4/3;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(2;4;0), B'D'=D'-B'=(-2;4;0); cos = |(2)(-2)+(4)(4)+0|/(√20·√20)=12/20=3/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC'=(2;4;3), AN=(-2;4;-3). Hai vectơ không cùng phương (2/(-2)≠4/4), nên N, A, C' không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $C^{\prime }(2;2;2)$. Khi đó $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ với $B^{\prime }(2;0;2)$, $C^{\prime }(2;2;2)$ nên $M(2;1;2)$; $N$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $N(2;2;1)$. Suy ra $\overrightarrow{NM}=(0;-1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$. Do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NM}=2\cdot 0+2\cdot (-1)+0\cdot 1=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=(-3)(-3)+1\cdot 4+1\cdot 5=9+4+5=18$. Đáp án C, khớp với bảng đáp án (Mã đề 312, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
A nằm trên trục Oz với AO = 10 m nên A(0;0;10). B nằm trong mặt phẳng Oxy với OB = 15 m và góc BOH = 30° (H thuộc tia Oy), nên B(15·sin30°; 15·cos30°; 0) = (7,5; 7,5√3; 0). Suy ra vector AB = (7,5; 7,5√3; −10), tức a = 7,5; b = 7,5√3; c = −10. Vậy a − c = 7,5 − (−10) = 17,5, khớp với đáp án nguồn 17,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$, ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=3(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})$ nên $2\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, tức $M=\frac{3B-A}{2}$. Cụ thể: $a=\frac{3\cdot 3-1}{2}=4$, $b=\frac{3\cdot (-1)-3}{2}=-3$, $c=\frac{3\cdot 5-(-1)}{2}=8$. Vậy $a-b+c=4-(-3)+8=15$, khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{x}=\vec{a}-2\vec{b}=(2;-1;3)-2(-1;0;2)=(2+2;-1-0;3-4)=(4;-1;-1)$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 312, Câu 7: A).