Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$ nên tọa độ của vectơ là hệ số tương ứng theo các vectơ đơn vị: $\vec{a}=(2;-3;1)$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án đề 0102 (câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$ nên tọa độ của vectơ là $\vec{a}=(2;-3;1)$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (C).

Đáp án theo bảng key mã đề 0101 (trang 9): 1a) S, 1b) Đ, 1c) Đ, 1d) S.
a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3-1;2-2;0-(-1))=(-4;0;1)\ne (-4;0;-1)$ nên ý a) sai.
b) $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=B+C=(0-3;3+2;1+0)=(-3;5;1)$ nên ý b) đúng.
c) $G=\left(\frac{1+0-3}{3};\frac{2+3+2}{3};\frac{-1+1+0}{3}\right)=\left(\frac{-2}{3};\frac{7}{3};0\right)$ nên ý c) đúng.
d) $I$ là trung điểm $BC$: $I\left(\frac{-3}{2};\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{-5}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $A{I}^2=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{35}{4}$, suy ra $AI=\frac{\sqrt{35}}{2}\ne \sqrt{35}$ nên ý d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, $B^{\prime }(a;0;2a)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$, $D^{\prime }(0;a;2a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a-0;0-a;2a-0)=(a;0;2a)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a\cdot a+0+0=a^2$. Đúng.

b) Các vecto khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (phương $AB$) là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ — tất cả 8 vecto, không phải 3. Sai.

c) $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ (do $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, cùng hướng) và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (vì $ABCD$ là hình vuông, $BC\parallel AD$ cùng hướng, cùng độ dài $a$). Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$. $\cos (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp bảng đáp án nguồn (4a D, 4b S, 4c D, 4d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$: $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a;0;2a)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$, không phải 3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ vì $BC\parallel AD$, cùng hướng, cùng độ dài $a$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$, $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;5;0), C(0;5;0), E(0;0;3), F(4;0;3), G(4;5;3), H(0;5;3), P(2;0;4). Hai mái nhà là hình chữ nhật nên đường đỉnh mái qua P song song với trục $Oy$; đỉnh mái Q nằm trên mặt phẳng $y=5$ (mặt sau nhà), cùng độ cao với P nên Q(2;5;4). Khi đó $\overrightarrow{FQ}=(2-4;5-0;4-3)=(-2;5;1)$ và $\overrightarrow{EQ}=(2-0;5-0;4-3)=(2;5;1)$. Tích vô hướng: $$\overrightarrow{FQ}\cdot \overrightarrow{EQ}=(-2)(2)+5\cdot 5+1\cdot 1=-4+25+1=22.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (22).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+{\left|\vec{b}\right|}^2$. Thay số: $8^2=5^2+2\vec{a}.\vec{b}+4^2\Rightarrow 64=41+2\vec{a}.\vec{b}\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=\frac{23}{2}=11,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 11,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O$ là trung điểm cả của $AC$ lẫn $BD$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ (tính chất trung điểm) và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Suy ra $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{u}=\vec{a}+2\vec{b}=(2;0;-1)+2(3;-2;1)=(2+6;0-4;-1+2)=(8;-4;1)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$. Vì $B^{\prime }M=2BM$ nên $BM=\frac{a}{3}$, suy ra $M\left(a;0;\frac{a}{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(0;0;a)+(a;0;0)+(0;a;0)=(a;a;a)$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}\ne 3a$ → Sai.

b) $\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$ còn $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=(0;0;a)+(0;a;0)=(0;a;a)$, khác nhau → Sai.

d) $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=(a;-a;0)$, $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a^2+a^2+0=2a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ là $(a;a;a)$ nên độ dài $a\sqrt{3}\ne 3a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)\ne (0;a;a)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a\cdot a+(-a)(-a)+\frac{a}{3}\cdot 0=2a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở trang 8 xác nhận: trục $Oz$ đi qua đỉnh tháp, điểm $A$ cách $O$ một khoảng $10m$ theo phương thẳng đứng nên $A(0;0;10)$. Điểm $B$ nằm trên mặt đất $(Oxy)$ với $OB=15m$ và tia $OB$ hợp với trục $Oy$ một góc $30^{\circ }$ (nằm về phía trục $Ox$, hướng $K$), nên:
$$x_B=15\sin 30^{\circ }=7,5,y_B=15\cos 30^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2},z_B=0.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$, tức $a=7,5$, $c=-10$.
Suy ra $a-c=7,5-(-10)=17,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian $Oxyz$, các vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ là $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$. Vậy vectơ đơn vị $\vec{i}$ có tọa độ $(1;0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Khi đó $C^{\prime }(2;2;2)$, $M$ trung điểm $AD$ là $M(0;1;0)$, $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $N(2;0;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2;-1;1)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\cdot 2+(-1)\cdot 2+1\cdot 2=4-2+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-0;3-2;4-(-1))=(2;1;5)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng (vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều đi từ đỉnh trái sang đỉnh phải của mặt phẳng đáy tương ứng). Do đó góc giữa hai vectơ bằng $0^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$. Vì $AM=2BM$ nên $AM=\frac{2}{3}AB$, suy ra $M\left(\frac{2a}{3};0;0\right)$.

a) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{DA}+(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AM})=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ → đúng.

b) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng $=-a^2$, hai vecto cùng độ dài $a\sqrt{2}$ nên $\cos =-\frac{1}{\sqrt{2}}$, góc giữa hai vecto bằng $135^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → sai.

c) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\left(\frac{2a}{3};-a;-a\right)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-a;0;a)$. Tích vô hướng $=0+0-a^2=-a^2\ne \frac{a^2}{3}$ → sai.

d) $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;a)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;a;a)-(a;a;0)=(-a;0;a)$. Hai vecto bằng nhau → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M = D'A' + A'M = DA + (A'A + AM) = -AD - AA' + (2/3)AB, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(AC, DA') = -1/√2 nên góc bằng 135°, không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M·AB' = -a², không bằng a²/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
BA' = CD' = (-a; 0; a).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 4: điểm $A$ nằm trên trục $Oz$ cao $10m$ nên $A(0;0;10)$. Điểm $B$ nằm trên mặt đất, $OB=15m$ và $OB$ hợp với trục $Oy$ góc $30^{\circ }$, nghiêng về phía trục $Ox$, nên:
$$x_B=15\sin 30^{\circ }=7,5,y_B=15\cos 30^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2},z_B=0.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$, tức $a=7,5$, $c=-10$.
$$2a-c=2(7,5)-(-10)=15+10=25.$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian $Oxyz$, các vectơ đơn vị theo ba trục là $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$. Vậy vectơ đơn vị $\vec{j}$ có tọa độ $(0;1;0)$, tương ứng với phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$. Khi đó $C^{\prime }(4;4;4)$, $M$ trung điểm $AD$ là $(0;2;0)$, $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $(4;0;2)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(4;-2;2)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(4;4;4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=4\cdot 4+(-2)\cdot 4+2\cdot 4=16-8+8=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song (bằng) với $\overrightarrow{BD}$... Xét mặt đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$, tức $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$ (do $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng chiều theo hình vuông $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$... thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ song song cùng hướng với $\overrightarrow{BD}$ hay đối chiều không quan trọng vì góc giữa hai vectơ được xác định qua tích vô hướng): $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vậy góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-1);4-2;-3-3)=(2;2;-6)$. Vậy đáp án A.