Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $G(1;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{E}-\overrightarrow{G}=(-1;-1;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{GE}=-1$, với $|\overrightarrow{AB}|=1$, $|\overrightarrow{GE}|=\sqrt{2}$. Suy ra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{GE})=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên góc giữa hai vectơ là $135^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1203, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = a√2 nên vuông tại A. Đặt hệ tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;a;0). Vì SA = SB = SC = a nên S có hình chiếu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức trung điểm M(a/2; a/2; 0) của BC, và SM = √(a² − a²/2) = a/√2, nên S(a/2; a/2; a/√2). Khi đó vec{SC} = (−a/2; a/2; −a/√2), vec{AB} = (a;0;0). Tích vô hướng: vec{SC}·vec{AB} = −a²/2. Vậy cos(vec{SC}, vec{AB}) = (−a²/2)/(a·a) = −1/2 = −0,5, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là tâm tam giác ABC. Ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$. Vậy $\overrightarrow{AG}=\vec{a}+\frac{1}{3}\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn A (mã đề 1203, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Vì $SA=a$ và chân đường cao là tâm $O(a/2;a/2;0)$ nên $SO=\sqrt{a^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, suy ra $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{SA}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}+0=-a^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tứ diện ABCD, M trung điểm AD, N trung điểm BC, I trung điểm MN.
a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{C}-\vec{D})=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}=2\left(\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}\right)=2\overrightarrow{MN}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MN}\ne 2\overrightarrow{NM}$, khẳng định a) SAI.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})$ và $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=(\vec{D}-\vec{A})+(\vec{B}-\vec{C})=\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{C}$. Hai vế bằng nhau, khẳng định b) ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{D}-\vec{C})=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=(\vec{C}-\vec{A})-(\vec{D}-\vec{B})=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}$. Hai vế bằng nhau, khẳng định c) ĐÚNG.
d) Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}$ (do $M$ là trung điểm $AD$) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IN}$ (do $N$ là trung điểm $BC$). Cộng lại: $2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}=2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=\vec{0}$ vì $I$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{IM}=-\overrightarrow{IN}$. Khẳng định d) ĐÚNG.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1201: SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}=2\overrightarrow{MN}$, khác $2\overrightarrow{NM}$ nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{C}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ nên ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\vec{B}+\vec{C}-\vec{A}-\vec{D}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$ nên ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IM}$, $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IN}$, tổng bằng $2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=\vec{0}$ vì $I$ trung điểm $MN$, nên ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ trong hình hộp). Vậy tổng là $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1201, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, $O$ là tâm hình vuông $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2+0=2a^2\ne a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho → Sai.
d) $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=(-\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AD}=-a^2$. Với $|\overrightarrow{D{A}^{\prime }}|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, $\cos (\overrightarrow{D{A}^{\prime }},\overrightarrow{AC})=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
Kết quả khớp bảng hướng dẫn chấm (Đề 2, Câu 4: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}{|}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=2a^2\ne a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, khác biểu thức đề cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2$, $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a). a) BD=(a,a,0), B'C'=(0,a,0) nên BD·B'C'=a² ≠ a²√2 → Sai. b) AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+BB' → Đúng. c) O là tâm BCC'B' nên O=(a,a/2,a/2); DO=(a,-a/2,a/2)=AB−½AD+½AA' → Đúng. d) DA'=(0,−a,a), AC=(a,a,0), tích vô hướng = −a², |DA'|=|AC|=a√2 nên cos=−1/2, góc = 120° ≠ 60° → Sai. Kết quả SĐĐS khớp bảng hướng dẫn chấm (Đề 1, Câu 4: SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
BD·B'C' = a² ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+BB'.
c) (AI giải đề cho tôi)
DO=(a,−a/2,a/2)=AB−½AD+½AA'.
d) (AI giải đề cho tôi)
DA'·AC=−a², cos=−1/2, góc bằng 120°, không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(3;-1;1)$, $\vec{b}=(-1;2;-2)$: a) $2\vec{a}+\vec{b}-3\vec{k}=(6-1;-2+2;2-2-3)=(5;0;-3)\ne (5;-3;0)$ → sai. b) $\vec{a}+2\vec{b}=(3-2;-1+4;1-4)=(1;3;-3)$, $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}\ne 5$ → sai. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-3-2-2=-7$ → đúng. d) $|\vec{a}|=\sqrt{11}$, $|\vec{b}|=3$, $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{3\sqrt{11}}=-\frac{7\sqrt{11}}{33}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\vec{a}+\vec{b}-3\vec{k}=(6-1;-2+2;2-2-3)=(5;0;-3)\ne (5;-3;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+2\vec{b}=(1;3;-3)$ nên $|\vec{a}+2\vec{b}|=\sqrt{19}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=3(-1)+(-1)(2)+1(-2)=-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{\sqrt{11}\cdot 3}=-\frac{7\sqrt{11}}{33}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$ → đúng. b) $OA=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$, $OB=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$, nên $OA<OB$ → đúng. c) Trung điểm $AB$ là $\left(\frac{2+3}{2};\frac{-3+2}{2};\frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\ne \left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$ → sai. d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 3+(-3)\cdot 2+1\cdot 5=6-6+5=5>0$ nên $\cos \widehat{AOB}>0$, góc nhọn, không phải góc tù → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$OA=\sqrt{14}<OB=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm là $\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)$, khác $\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5>0$ nên góc $\widehat{AOB}$ nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm A nằm trên trần phòng nên có hoành độ $z=3,5m$. Dây treo AB thẳng đứng, $AB=1m$, nên bóng đèn B có $c=3,5-1=2,5$.

Khoảng cách từ H đến trục Oy là $HK=5m$, mà HK chính là khoảng cách từ $H(x_H,y_H,0)$ đến trục Oy nên $x_H=a=5$.

Vì $(\vec{j},\overrightarrow{OH})=45^{\circ }$ nên $\cos 45^{\circ }=\frac{\overrightarrow{OH}\cdot \vec{j}}{OH}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Suy ra $\frac{b}{\sqrt{25+b^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $2b^2=25+b^2\Rightarrow b^2=25\Rightarrow b=5$ (vì H nằm trong phòng, $b>0$).

Vậy $B(5;5;2,5)$ và $S=a+b+2c=5+5+2\cdot 2,5=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ (E nằm trên A, F trên B, G trên C, H trên D), ta có $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$. Xét các đáp án: $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$; $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$; $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$; còn $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}$. Vậy $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{FC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(3;-1;1)$, $\vec{b}=(-1;2;-2)$: a) $\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{j}=(3-2;-1+4-3;1-4)=(1;0;-3)$ → đúng. b) $2\vec{a}+\vec{b}=(6-1;-2+2;2-2)=(5;0;0)$ nên $|2\vec{a}+\vec{b}|=5$ → đúng. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=3(-1)+(-1)(2)+1(-2)=-3-2-2=-7$ → đúng. d) $|\vec{a}|=\sqrt{11}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+4+4}=3$, nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{3\sqrt{11}}=-\frac{7\sqrt{11}}{33}\approx -0,704$, khác $-\frac{5\sqrt{11}}{33}\approx -0,503$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{j}=(3-2;-1+4-3;1-4)=(1;0;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2\vec{a}+\vec{b}=(5;0;0)$ nên $|2\vec{a}+\vec{b}|=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3-2-2=-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{\sqrt{11}\cdot 3}=-\frac{7\sqrt{11}}{33}$, không bằng $-\frac{5\sqrt{11}}{33}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2;1-(-3);5-1)=(-3;4;4)$ → đúng.
b) $OA=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{14}$, $OB=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+5^2}=\sqrt{27}$. Vì $\sqrt{14}<\sqrt{27}$ nên $OA<OB$ → sai.
c) Trọng tâm tam giác $OAB$: $G=\left(\frac{0+2-1}{3};\frac{0-3+1}{3};\frac{0+1+5}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};2\right)$, khác $\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};2\right)$ → sai.
d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot (-1)+(-3)\cdot 1+1\cdot 5=-2-3+5=0$ nên góc $\widehat{AOB}=90^{\circ }$, không nhọn → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1-2;1+3;5-1)=(-3;4;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$OA=\sqrt{14}<OB=\sqrt{27}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3};2\right)$, tung độ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ nên góc $\widehat{AOB}=90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ (E nằm trên A, F trên B, G trên C, H trên D), ta có $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$. Mặt khác $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AE}$). Vậy $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ED}$. Các vectơ khác: $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\ne \overrightarrow{ED}$; $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\ne \overrightarrow{ED}$; $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{ED}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $O\equiv A$, $D\in Ox$ (chiều rộng 6), $B\in Oy$ (chiều dài 9), $A^{\prime }\in Oz$ (chiều cao 3,5).
a) $B^{\prime }$ có hoành độ bằng 0 (thuộc mặt phẳng $x=0$), tung độ $AB=9$, cao độ $3,5$ nên $B^{\prime }=(0;9;3,5)$, không phải $(9;0;3,5)$ → Sai.
b) Mặt tường $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là mặt phẳng $x=0$, hình chiếu của $N(4;7;1,2)$ là $(0;7;1,2)$, không phải $(4;0;1,2)$ → Sai.
c) $M$ cách tường $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (mặt $x=0$) là 2 m nên $x=2$; cách tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (mặt $y=9$) là 3 m nên $y=9-3=6$; cách trần ($z=3,5$) là 1 m nên $z=3,5-1=2,5$. Vậy $M=(2;6;2,5)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{MN}=(4-2;7-6;1,2-2,5)=(2;1;-1,3)$, không phải $(-2;-1;1,3)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B^{\prime }=(0;9;3,5)$ vì $B\in Oy$ với $AB=9$ và $A^{\prime }\in Oz$ với $A{A}^{\prime }=3,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tường $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là mặt phẳng $x=0$, hình chiếu của $N$ là $(0;7;1,2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=2$, $y=9-3=6$, $z=3,5-1=2,5$ nên $M=(2;6;2,5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(2;1;-1,3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{C^{\prime }G}=\overrightarrow{C^{\prime }C}+\overrightarrow{CG}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{CG}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, do đó $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $\overrightarrow{C^{\prime }G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức $m=\frac{1}{3},n=-\frac{2}{3},p=-1$. Suy ra $4m-n+5p=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-5=2-5=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{a}$ là $\vec{a}=(3;4;-1)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0;0)$, $A(2;-2;0)$, $B(2;2;0)$, $C(-2;2;0)$, $D(-2;-2;0)$. Vì $S.ABCD$ đều nên $SO\perp (ABCD)$, $OA=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{36-8}=2\sqrt{7}$, suy ra $S(0;0;2\sqrt{7})$, $N$ trung điểm $SC$ nên $N(-1;1;\sqrt{7})$.

a) $\overrightarrow{ON}=(-1;1;\sqrt{7})$, $\overrightarrow{CD}=(0;-4;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CD}=-4$.

b) $\vec{u}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OS})=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-4\overrightarrow{OS}=\vec{0}-4\overrightarrow{OS}=(0;0;-8\sqrt{7})$.

Vậy $|\vec{u}|=8\sqrt{7}\approx 21,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A$ nằm trên tia đối của tia $Oz$ nên $A$ thuộc trục $Oz$ với tọa độ dạng $(0;0;z)$, $z<0$. Vì $OA=5$ nên $|z|=5$, suy ra $z=-5$. Vậy $A(0;0;-5)$, chọn đáp án D.