Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ hình lập phương: $A(0;0;1),B(1;0;1),C(1;1;1),D(0;1;1),C^{\prime }(1;1;0)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(1;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=1+0+0=1$. Độ dài: $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{D{C}^{\prime }}|=\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{D{C}^{\prime }})=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $60^{\circ }$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm:
- A: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$). Đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Đúng (quy tắc ba điểm).
- C: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AC}$ nói chung. Sai.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(-3;1;-1)$ trên mặt phẳng $Oyz$ giữ nguyên tọa độ $y,z$ và có tọa độ $x=0$. Vậy $M^{\prime }(0;1;-1)$, tương ứng phương án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đáy ABCD có A (sau trái), B (trước trái), C (trước phải), D (sau phải). a) $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ cùng hướng từ trước ra sau, cùng độ dài $a$ nên bằng nhau → Đúng. b) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$) → Sai. c) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, góc với $\overrightarrow{AB}$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông ABCD bằng $45^{\circ }$ → Đúng. d) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AB}=a^2+0=a^2\ne a^2\sqrt{2}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 201: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng từ trước ra sau và cùng độ dài $a$, nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{CA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông bằng $45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=a^2$, không bằng $a^2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay chuyển động thẳng đều, vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(950-800;550-500;8-7)=(150;50;1)$. Sau 5 phút tiếp theo (cùng khoảng thời gian), máy bay đi thêm đúng một đoạn bằng đoạn AB, nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $C=B+\overrightarrow{AB}=(950+150;550+50;8+1)=(1100;600;9)$. Vậy $m+n+p=1100+600+9=1709$, khớp với đáp án nguồn 1709.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=\vec{k}-\vec{i}+3\vec{j}=-\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$, suy ra tọa độ của $\vec{a}$ là $(-1;3;1)$. Kết quả này trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 201, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SC}$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã 201, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;3;-1)$ trên mặt phẳng $Oxy$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, còn tung độ cao (trên trục $Oz$) bằng $0$. Vậy $M^{\prime }(2;3;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.

a) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ → Đúng.

b) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{0}$) → Sai.

c) $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$; tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $45^{\circ }$ → Đúng.

d) $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos 45^{\circ }=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2\ne 2a^2$ → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án mã 101 (DSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$; tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=a\sqrt{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2\ne 2a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=2\vec{j}-\vec{i}-3\vec{k}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{a}$ là $(-1;2;-3)$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;2a;0), S(0;0;2a) vì SA⊥(ABCD), SA=2a. Khi đó P trung điểm SB: P(a/2;0;a), Q trung điểm SD: Q(0;a;a).
a) AP→=(a/2;0;a), AB→=(a;0;0) nên AP→·AB→=a²/2. Đúng.
b) BC→=(a;0;0), AS→=(0;0;2a), tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng 90°, không phải 60°. Sai.
c) CD→=D→−C→=(−a;0;0)=−AB→, hai vectơ ngược hướng (do ABCD là hình chữ nhật). Sai.
d) SP→−SQ→=QP→=P−Q=(a/2;−a;0), độ dài = a√(1/4+1)=a√5/2. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2102 câu 14: DSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
AP→=(a/2;0;a), AB→=(a;0;0) nên AP→·AB→=a²/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC→·AS→=0 nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng 90° chứ không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD→=(−a;0;0)=−AB→ nên hai vectơ ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
SP→−SQ→=QP→=(a/2;−a;0), độ dài bằng a√5/2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và bốn đỉnh cột là hình chữ nhật với tâm $(45;60;30)$, điểm $K_0$ nằm trên trục thẳng đứng qua tâm, nên $K_0(45;60;27)$. Camera hạ thẳng đứng xuống $K_1(45;60;18)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-9)$, tức $x=0,y=0,z=-9$. Vậy $x^2+y^2+z^2=0+0+81=81$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 17 = 81).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=\vec{u}=(-1;4;2)$ và $O(0;0;0)$ nên tọa độ điểm $A$ chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$, tức $A(-1;4;2)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD nên trung điểm của AC trùng trung điểm của BD. Gọi $M$ là trung điểm chung: $M=\left(\frac{1+(-1)}{2};\frac{1+(-2)}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(0;-\frac{1}{2};0)$. Suy ra $D=2M-B=(-4;-4;-1)$. Vậy $P=xyz=(-4)(-4)(-1)=-16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-16$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; B sai vì $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên tổng bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; D sai vì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên tổng bằng $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C, mã đề 2102).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(-1;1;2)$ lên trục $Ox$ là điểm nằm trên trục $Ox$ (có tung độ và cao độ bằng 0) và có hoành độ bằng hoành độ của $A$. Vậy $A^{\prime }(-1;0;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1;-2-2;1-(-3))=(2;-4;4)$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 2102 (Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, theo quy tắc hình hộp với ba vectơ cùng xuất phát $A$: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Thật vậy, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, rồi $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vì $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành). Các phương án A, B, C đều sai vì dùng các vectơ $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{AC}$ không phải ba cạnh xuất phát từ $A$ của hình hộp. Đáp án khớp với mã đề 2101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;2a;0), S(0;0;2a) vì SA⊥(ABCD). Khi đó P trung điểm SB: P(a/2;0;a), Q trung điểm SD: Q(0;a;a).
a) SP−SQ = QP = (a/2;−a;0), độ dài = √(a²/4+a²) = a√5/2 → Đúng.
b) BC = (0;2a;0), AS = (0;0;2a), tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa hai vectơ là 90°, không phải 60° → Sai.
c) AP = (a/2;0;a), AB = (a;0;0), AP·AB = a²/2 → Đúng.
d) CD = D−C = (−a;0;0) ngược hướng với AB = (a;0;0) → Sai.
Kết quả a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai khớp với bảng đáp án mã đề 2101 (DSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
SP−SQ = QP với P(a/2;0;a), Q(0;a;a) nên QP = (a/2;−a;0), độ dài = √(a²/4+a²) = a√5/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC = (0;2a;0) và AS = (0;0;2a) có tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa chúng là 90°, không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AP = (a/2;0;a), AB = (a;0;0) nên AP·AB = a²/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD = (−a;0;0) ngược hướng với AB = (a;0;0) vì ABCD là hình chữ nhật.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn đỉnh cột M(90;0;30), N(90;120;30), P(0;120;30), Q(0;0;30) là bốn đỉnh hình chữ nhật với tâm là trung điểm MP: (45;60;30). Vì K₀M=K₀N=K₀P=K₀Q và K₀ có cao độ 27 m nên K₀ nằm trên đường thẳng đứng qua tâm, tức K₀(45;60;27). Camera hạ thẳng đứng xuống cao độ 18 m nên K₁(45;60;18). Suy ra vectơ K₀K₁ = (0;0;-9) = 0·i + 0·j + (-9)·k, do đó x²+y²+z² = 0+0+81 = 81. Kết quả khớp với đáp án nguồn (81).