Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh $A(1;1;-2)$, $B(4;3;1)$ và $C(-1;-2;2)$. Khi đó điểm D có tọa độ là $D(x;y;z)$. Tính $P=xyz$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3),B(3;-2;1)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{AB}$ là.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1;1;2)$. Tọa độ của điểm A' là hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là:

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(-1;4;2)$ và điểm $A$. Biết $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$. Tọa độ của điểm $A$ là.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khẳng định nào **sai**.

Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước và xem như trục $Oy$ cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp $AD$ (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $Oz$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $Oyz$, trong đó điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm $A$ cách mặt nước 75 m và cách trục $Oz$ 343 m.
Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm $N$ trên dây cáp $AD$ và điểm $M$ trên thành cầu, biết $M$ cách mặt nước 75 m và $MN$ song song với cột trụ.
(Nguồn ảnh: https://www.goldengate.org/assets/1/6/ggb-exhibit-chapter-statistics.pdf).
Tính độ dài $MN$, biết điểm $M$ cách trục $Oz$ một khoảng bằng 230 m (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Một nhóm kỹ sư đang lắp đặt buồng mô phỏng thực tế ảo (VR Cube) có dạng hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với các cạnh dài $a$ mét. Khung buồng được tạo bởi các thanh nhôm định hình nối giữa các đỉnh, mỗi cạnh là một thanh đỡ. Để đảm bảo buồng lắp đúng tiêu chuẩn, kỹ sư trưởng cần kiểm tra mối liên hệ giữa các thanh trong mô hình bằng vectơ. Họ đưa ra một số nhận định sau và yêu cầu nhóm kỹ thuật xác định đúng hay sai để đảm bảo các yêu cầu của mô phỏng. [Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a$, $BC=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$. Tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một chiếc máy bay điều khiển từ xa mini đang đậu tại điểm $A$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang $(\alpha )$, Lúc khởi động nó chịu tác dụng của ba lực đẩy: $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$. Hai cánh quạt trái và phải tạo ra hai lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ có giá nằm trong mặt phẳng ngang $(\alpha )$ và $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=135^{\circ }$. Một lực nâng $\overrightarrow{F_3}$ do cánh quạt chính tạo ra có giá vuông góc với $(\alpha )$ và hướng lên trên. Độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ bằng bao nhiêu Niu-ton, biết rằng độ lớn của ba lực đó lần lượt là $20N$, $15N$ và $10N$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vectơ $\overline{A{C}^{\prime }}$ là kết quả của phép tính tổng nào sau đây?

R. Buckminster Fuller là một kiến trúc sư, một nhà phát minh thiên tài, ông đã phác thảo một thành phố tương lai gồm ba mặt tam giác và mặt nền tạo thành một khối tứ diện (như hình vẽ). Mỗi mặt tam giác chứa 5000 mặt căn hộ, mỗi căn hộ đều hướng lên trời và có sân thượng rộng rãi. Đặc biệt, nó có thể nổi trên nước, trở thành một siêu đô thị trên đại dương, hoặc nằm trên đất liền với hệ thống chống động đất.



Giả sử một thành phố tương lai nói trên là tứ diện $ABCD$ có 6 cạnh đều dài bằng 900 mét. Một trong các khung thép nâng đỡ tứ diện này là tứ giác $MNPQ$, trong đó $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,AD$, $P,Q$ lần lượt thuộc cạnh $BD,BC$ và $PQ$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$ (mặt nền). Hỏi chu vi của khung thép $MNPQ$ bằng bao nhiêu mét. (làm tròn đến hàng đơn vị).

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian $(Oxyz)$ (đơn vị trên mỗi trục là kilomet) như Hình 17. Giả sử mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt đất. Cho biết tọa độ của máy bay $M(3;6;2)$, đài kiểm soát không lưu là gốc O(0;0;0). ( độ dài véc tơ trong không gian được tính theo công thức $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ với $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(5;3;-2),B(4;-3;12)$ và tọa độ vec tơ $\overrightarrow{AB}=(a;b;c)$. Tổng $T=a+b+c$ bằng?

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh $AB=\sqrt{66}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng?

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}=4\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$. Tọa độ điểm M là

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.



Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ bằng vectơ nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, giả sử hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ thỏa mãn $\left|\vec{a}\right|=3$; $\left|\vec{b}\right|=4$ và tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}=6\sqrt{3}$. Khi đó, góc giữa hai vectơ $\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian Oxyz, giả sử hai véc tơ $\vec{x}$, $\vec{y}$ thỏa mãn $\left|\vec{x}\right|=3$; $\left|\vec{y}\right|=4$ và tích vô hướng $\vec{x}.\vec{y}=6$. Khi đó, góc giữa hai véc tơ $\left(\vec{x},\vec{y}\right)$ bằng bao nhiêu độ?

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian $(Oxyz)$ (đơn vị trên mỗi trục là kilomet) như Hình 17. Giả sử mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt đất. Cho biết tọa độ của máy bay $M(3;6;2)$, đài kiểm soát không lưu là gốc O(0;0;0) (độ dài vectơ trong không gian được tính theo công thức $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ với $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$)

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]