Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=6\text{m}$, $AD=7\text{m}$, $A{A}^{\prime }=3,5\text{m}$. Một bóng đèn được treo ở vị trí chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà $0,5\text{m}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho gốc $O$ trùng với điểm $A$, các điểm $B,D,A^{\prime }$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$.

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp $40$ ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây. Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật $CDFE$ và một hình thang $ADFG$ với các điểm $G(6;-6;6)$; $C(3;4;8)$; $F(4;-4;7)$ và điểm $I$ là trung điểm $CE$. Biết góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $a^{\circ }$. Tìm $a$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ có $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, điểm $M(x;y;z)$ thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x-y+z$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các điểm $B(2;0;0)$, $C(0;3;0)$ và $B^{\prime }(0;0;4)$ (tham khảo hình vẽ).

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz$, tam giác $ABC$ với $A(1;-3;3);B(2;-4;5),C(a;-2;b)$ nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng $a+b+c$ bằng.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{m}=(4;3;1)$ và $\vec{n}=(0;0;1)$. Gọi $\vec{p}$ là vectơ cùng hướng với $[\vec{m},\vec{n}]$ và $|\vec{p}|=15$. Tọa độ của vectơ $\vec{p}$ là

Câu 16. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $I$ là trung điểm của $MN$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=(m;-1;m+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

Câu 19. Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Khi đó $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình với độ dài đơn vị trên các trục bằng $1\text{ m}$.

Gọi tọa độ của $\overrightarrow{AB}=(a,b,c)$ và $M(m;0;n)$.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(2;3;-1);N(-1;1;1);P(1;m-1;2)$, khi đó

Câu 4. Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{NP}$. Hãy tính $\cos \alpha$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hình vẽ bên minh họa đường bay của một chiếc trực thăng cất cánh từ một sân bay theo một đường thẳng. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ là chân tháp điều khiển của sân bay, mặt sân bay là một phần của mặt phẳng $Oxy$, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm $G(1;0,5;0)$. Biết rằng tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh ($t\ge 0$), trực thăng ở vị trí điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{GH}=(0,5t;3t;2t)$. Trong không gian có một đài quan sát đặt tại điểm $K(4;-1;5)$. Tính khoảng cách giữa máy bay và đài quan sát sau $2$ phút theo đơn vị kilômét (làm tròn đến hàng phần mười).

Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{DA}=\vec{a},\overrightarrow{DB}=\vec{b},\overrightarrow{DC}=\vec{c}$. Nếu $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $BD$ và $AC$ thì

Trong không gian $Oxyz$, cho các véc tơ $\overrightarrow{OA}=-\vec{i}+\vec{k}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$. Khi đó tọa độ véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là

Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$ kéo đến điểm $N$ rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $29\text{ (m)}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a}=(2;-1;0)$, $\vec{b}=(-1;-3;2)$, $\vec{c}=(-2;-4;-3)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}$ là