Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3-2;2-(-1);-2-(-1))=(-5;3;-1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-2;3-(-1))=(1;-3;4)$. Gọi $D(x;y;z)$, điều kiện $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ tức $C-D=(1;-3;4)$, suy ra $D=C-\overrightarrow{AB}=(-3-1;5+3;1-4)=(-4;8;-3)$. Kiểm tra: với $D=(-4;8;-3)$ thì $\overrightarrow{DC}=(-3-(-4);5-8;1-(-3))=(1;-3;4)=\overrightarrow{AB}$, và $\overrightarrow{AD}=(-5;6;-2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ nên bốn điểm không thẳng hàng, tứ giác $ABCD$ thực sự là hình bình hành. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}=2(1;2;1)+(-1;3;0)=(2;4;2)+(-1;3;0)=(1;7;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $I(x;y;z)$, ta có $\overrightarrow{IA}=(1-x;2-y;-1-z)$ và $\overrightarrow{IB}=(2-x;-1-y;3-z)$. Điều kiện $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ cho hệ: $1-x+2(2-x)=0\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}$; $2-y+2(-1-y)=0\Rightarrow -3y=0\Rightarrow y=0$; $-1-z+2(3-z)=0\Rightarrow 3z=5\Rightarrow z=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, tương ứng phương án C. (Kiểm tra: $I=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{1+4}{3};\frac{2-2}{3};\frac{-1+6}{3}\right)=\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $A(1;2;5)$ trên mặt phẳng $Oxz$ giữ nguyên hoành độ và cao độ, tung độ bằng $0$: $A^{\prime }(1;0;5)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng $\vec{u}\times \vec{v}$ với $\vec{u}=(1;2;3)$, $\vec{v}=(0;-1;1)$ được tính bằng định thức: $\vec{u}\times \vec{v}=\left(2\cdot 1-3\cdot (-1);3\cdot 0-1\cdot 1;1\cdot (-1)-2\cdot 0\right)=(5;-1;-1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-2)(1)+(-3)(0)+(1)(1)=-2+0+1=-1$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{14}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-1}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{28}}=-\frac{1}{2\sqrt{7}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$, ta có $\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OE})$, suy ra $3\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}$, tức $E$ chia đoạn $CB$ theo tỉ số $\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EB}}=2$, nên $E=\frac{C+2B}{3}$.

Tính tọa độ:
- $x_E=\frac{7+2\cdot 1}{3}=\frac{9}{3}=3$
- $y_E=\frac{4+2\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$
- $z_E=\frac{-2+2\cdot (-3)}{3}=\frac{-8}{3}$

Vậy $E\left(3;\frac{8}{3};-\frac{8}{3}\right)$, khớp với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OM}=(2;5;-1)$, $\overrightarrow{ON}=(3;-2;0)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(3-2;-2-5;0-(-1))=(1;-7;1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, ta có $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$, tức $A-I=-2(B-I)$, suy ra $3I=A+2B$. Vậy $I=\frac{A+2B}{3}$ với $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$: $x_I=\frac{1+2\cdot 2}{3}=\frac{5}{3}$, $y_I=\frac{2+2\cdot (-1)}{3}=0$, $z_I=\frac{-1+2\cdot 3}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $BA=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{(-4-2{)}^2+(7+1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$. Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $B$ trên cạnh $AC$, theo tính chất đường phân giác $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{1}{2}$, tức $D$ chia đoạn $AC$ theo tỉ số $\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}$. Suy ra $D=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{2-4}{3};\frac{4+7}{3};\frac{-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 69: $\vec{a}=(1;2;-2)$, $\vec{b}=(-1;-1;0)$. a) $|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3\ne 9$ → sai. b) $\vec{a}+\vec{b}=(1-1;2-1;-2+0)=(0;1;-2)$ → đúng. c) Kiểm tra tỉ số tọa độ: $\frac{-1}{1}=-1$, $\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$, không bằng nhau nên hai vectơ không cùng phương → sai. d) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1-2+0=-3$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ → $(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne 9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(1-1;2-1;-2+0)=(0;1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{-1}{1}=-1\ne \frac{-1}{2}$ nên hai vectơ không cùng phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(5-(-2);6-3;2-1)=(7;3;1)$ → đúng. b) Hình chiếu của $B(5;6;2)$ trên $(Oxz)$ là $(5;0;2)$, không phải $(0;6;0)$ → sai. c) $I(a;0;0)$, điều kiện vuông tại $I$: $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=0$: $(-2-a)(5-a)+3\cdot 6+1\cdot 2=0\iff a^2-3a-10+20=0\iff a^2-3a+10=0$... tính lại: $(-2-a)(5-a)=a^2-3a-10$, cộng $18+2=20$ được $a^2-3a+10=0$, vô nghiệm (delta $=9-40<0$) → không tồn tại điểm $I$, phát biểu 'đúng một điểm' sai. d) Điểm trên $AB$: $A+t\overrightarrow{AB}$, z = $1+t=0\Rightarrow t=-1$, $M=(-9;0;0)$ nằm ngoài đoạn AB; $AM=|AB|$, $BM=2|AB|$ nên $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{7}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5-(-2);6-3;2-1)=(7;3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B(5;6;2)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là $B^{\prime }(5;0;2)$, không phải $(0;6;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I(a;0;0)$: $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=(-2-a)(5-a)+18+2=a^2-3a+10=0$, vô nghiệm vì $\Delta =9-40<0$. Không tồn tại điểm $I$ nào thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên đường thẳng AB có dạng $A+t(7;3;1)$; z = $1+t=0\Rightarrow t=-1$, $M=(-9;0;0)$ ngoài đoạn AB. Khi đó $AM=|AB|$, $BM=2|AB|$ nên $\frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đối xứng qua (Oxy) đổi dấu tung độ: A'(5;2;-1). Đúng.
b) AB=(4;-4;2), AC=(-3;-1;0). cos BAC = (-12+4)/(6·√10) = -8/(6√10) = -2√10/15 < 0, không phải 2√10/15. Sai.
c) [AB,AC] = (2;-6;-16), AD=(-4;-1;0), V = |(2)(-4)+(-6)(-1)+0|/6 = 2/6 = 1/3 ≠ 2. Sai.
d) Lấy B'(9;-2;-3) đối xứng B qua (Oxy). Đường thẳng AB': (5+4t; 2-4t; 1-4t), z=0 khi t=1/4, M(6;1;0) ≠ (3;4;0). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua (Oxy) giữ x,y và đổi dấu z: A'(5;2;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = -8, |AB|=6, |AC|=√10 nên cos BAC = -2√10/15, âm chứ không dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
[AB,AC]=(2;-6;-16); V = |AD·[AB,AC]|/6 = 2/6 = 1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
B'(9;-2;-3); giao AB' với (Oxy) là M(6;1;0), không phải (3;4;0).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1;2-0;4-0)=(2;2;4)$, không phải $(-2;-2;-4)$. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;5;4)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng. c) Sai: $\overrightarrow{BA}=(-2;-2;-4)$, $\overrightarrow{BC}=(-3;3;0)$, tích vô hướng $=6-6+0=0$ nên $\cos \widehat{ABC}=0\ne \frac{1}{5}$. d) Đúng: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{M}-(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+2\overrightarrow{C})$ với $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+2\overrightarrow{C}=(4;12;12)$. Với $M(x;y;0)$, biểu thức $=(4x-4;4y-12;-12)$, độ dài nhỏ nhất khi $x=1,y=3$, tức $M(1;3;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$, không phải $(-2;-2;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;5;4)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=6-6+0=0$ nên $\cos \widehat{ABC}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{OM}-(4;12;12)$; với $M(x;y;0)$, độ dài nhỏ nhất khi $x=1,y=3$, tức $M(1;3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-4;3)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-6;0)$, $\overrightarrow{AD}=(6;-8;6)$. a) Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{-4}{-6}$ (và $\overrightarrow{AC}$ có thành phần $z=0$ trong khi $\overrightarrow{AB}$ có $z=3$) nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng → đúng. b) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$ nên $A,B,D$ thẳng hàng → đúng. c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3+24+0=27$, $|AB|=\sqrt{34}$, $|AC|=\sqrt{37}$ nên $\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{27}{\sqrt{1258}}\ne \frac{37}{\sqrt{1258}}$ → sai. d) $\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(18;3;-14)$, suy ra $x=19$, $y=1$, $z=-3$, khi đó $x^2+y^2+z^2=361+1+9=371\ne 2024$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3;-4;3)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-6;0)$ không cùng phương (không tồn tại $k$ để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ vì $3/1\ne 3/0$), nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=(6;-8;6)=2\overrightarrow{AB}$ nên $A,B,D$ thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=27$, $|AB|\cdot |AC|=\sqrt{34}\cdot \sqrt{37}=\sqrt{1258}$, nên $\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\frac{27}{\sqrt{1258}}\ne \frac{37}{\sqrt{1258}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(18;3;-14)$ nên $x=19,y=1,z=-3$, do đó $x^2+y^2+z^2=371\ne 2024$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;3;3)$, $\overrightarrow{AC}=(1;5;1)$.
a) Trung điểm $M$ của $AB$: $M\left(\frac{1+4}{2};\frac{2+5}{2};\frac{3+6}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$ → đúng.
b) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+4+2}{3};\frac{2+5+7}{3};\frac{3+6+4}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3}\right)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 1+3\cdot 5+3\cdot 1=21\ne 31$ → sai.
d) $AB=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $AC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $BC=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$ nên chu vi $=8\sqrt{3}$ đúng. Tam giác cân tại $A$, trung tuyến từ $A$ xuống $BC$ có độ dài $\sqrt{27-3}=2\sqrt{6}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$ đúng theo công thức trung điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{7}{3};\frac{14}{3};\frac{13}{3}\right)$ đúng theo công thức trọng tâm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3+15+3=21\ne 31$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi $=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$; diện tích $=6\sqrt{2}$ (tam giác cân tại $A$).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-1;-1)\ne (3;-1;-1)$ → sai.
b) $G=\left(\frac{2-1+1}{3};\frac{3+2+1}{3};\frac{1+0-2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};2;-\frac{1}{3}\right)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AC}=(-1;-2;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3+2+3=8$ → đúng.
d) Mặt phẳng (ABC): $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-8;5)$, phương trình $x-8y+5z+17=0$. Tâm $I(a;b;c)$ thỏa: $6a+2b+2c=9$, $a+2b+3c=4$, $a-8b+5c=-17$. Giải hệ được $a=\frac{14}{15},b=\frac{61}{30},c=-\frac{1}{3}$. Khi đó $P=15\cdot \frac{14}{15}+30\cdot \frac{61}{30}+75\cdot (-\frac{1}{3})=14+61-25=50$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;-1;-1)$, không phải $(3;-1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{2}{3};2;-\frac{1}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)(-1)+(-1)(-2)+(-1)(-3)=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ tâm đường tròn ngoại tiếp (thuộc mặt phẳng $x-8y+5z+17=0$) được $I\left(\frac{14}{15};\frac{61}{30};-\frac{1}{3}\right)$, nên $P=14+61-25=50$.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(1;0;1), B'(2;1;2), D'(1;-1;1), C(4;5;-5):
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$ nên $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai.
b) Trọng tâm tam giác AB'D': $G=\left(\frac{1+2+1}{3};\frac{0+1-1}{3};\frac{1+2+1}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(3;6;-6)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }C}=3+6-6=3$; $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=\sqrt{9+36+36}=9$. Vậy $\cos =\frac{3}{9\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ → Đúng.
d) Gọi $\vec{t}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ thì $B=B^{\prime }-\vec{t}$, $D=D^{\prime }-\vec{t}$. Vì ABCD là hình bình hành: $B+D=A+C$ nên $\vec{t}=\frac{B^{\prime }+D^{\prime }-A-C}{2}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$. Suy ra $A^{\prime }=A+\vec{t}=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0 → Đúng. (Kiểm tra: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(2;\frac{7}{2};-\frac{5}{2})=\overrightarrow{AB}$, thỏa mãn.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$, độ dài $\sqrt{3}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm là $G\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }C}=(3;6;-6)$, tích vô hướng bằng 3, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=9$, $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, cos $=\frac{\sqrt{3}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $B+D=A+C$ suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$, nên $A^{\prime }=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(1;2;1)$. Do $z_C-z_A=6-3=3=k\cdot 1$ nên $k=3$. Suy ra $a=2+3\cdot 1=5$, $b=5+3\cdot 2=11$. Vậy $2a+b=10+11=21$.