Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trục $Ox$ hướng về phía Nam nên hoành độ $x=5$ (cách 5 km về phía Nam); trục $Oy$ hướng về phía Đông nên tung độ $y=10$ (cách 10 km về phía Đông); trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời nên cao độ $z=4$ (cách mặt đất 4 km). Vậy tọa độ khinh khí cầu là $(5;10;4)$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(5-2;6-3;2-1)=(7;3;1)\ne (3;3;1)$ → Sai.
b) Đường thẳng $AB$: $(x;y;z)=(-2+7t;3+3t;1+t)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có $y=0$ nên $3+3t=0\Rightarrow t=-1$, khi đó $M(-9;0;0)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AC}=(0;-1;3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=7\cdot 0+3\cdot (-1)+1\cdot 3=0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → Đúng.
d) $G=\left(\frac{-2+5-2}{3};\frac{3+6+2}{3};\frac{1+2+4}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{11}{3};\frac{7}{3}\right)$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn S-Đ-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(7;3;1)\ne (3;3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=0$ trên đường thẳng $AB$ được $t=-1$, suy ra $M(-9;0;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ nên tam giác vuông tại $A$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm $G\left(\frac{1}{3};\frac{11}{3};\frac{7}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(3;5;-7)$, $B(1;1;-1)$ có tọa độ $x_I=\frac{3+1}{2}=2$, $y_I=\frac{5+1}{2}=3$, $z_I=\frac{-7+(-1)}{2}=-4$. Vậy $I(2;3;-4)$, khớp với đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc của vật là vector $\vec{v}=\frac{\overrightarrow{AB}}{5}=\frac{(8;8;4)}{5}=(1,6;1,6;0,8)$ (m/s). Sau 3 giây tiếp theo từ $B$, vật đến điểm $M=B+3\vec{v}=(10+4,8;12+4,8;5+2,4)=(14,8;16,8;7,4)$. Vậy $5a-b-c=5(14,8)-16,8-7,4=74-24,2=49,8$, khớp với đáp án nguồn 49.8.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với A là gốc, AB, AD, AA' là các trục đơn vị. Các vectơ đơn vị: u_AD=(0;1;0), u_AB=(1;0;0), u_AC'=(1/√3;1/√3;1/√3). Hợp lực F = 10·u_AD + 10·u_AB + 20·u_AC' = (10+20/√3; 10+20/√3; 20/√3). Độ lớn: |F|² = 2(10+20/√3)² + (20/√3)² = 200 + 800/3 + 800/√3 + 400/3 = 600 + 800/√3 ≈ 1061.88, nên |F| = √1061.88 ≈ 32.586 ≈ 32.6 N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 32.6.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng theo tọa độ: $\vec{u}+\vec{v}=(-2+2;3+1;2+(-1))=(0;4;1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $\vec{a}(1;2;3)$, $\vec{b}(0;-1;2)$. Khi đó $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=(1-0;2-(-1);3-2)=(1;3;1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $B\in Ox$, $C\in Oy$, cạnh $AB=4\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo $OA=OB=OC=OD=4$: $A(0;-4;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;4;0)$, $D(-4;0;0)$. Vì $SA=4\sqrt{2}$ nên $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=4$, tức $S(0;0;4)$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M(2;-2;0)$, trọng tâm tam giác $SAB$ là $G=\frac{S+A+B}{3}=\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với $M$ trung điểm $AB$; $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với $N$ trung điểm $CD$, $N(-2;2;0)$. Ta có $\overrightarrow{SM}=(2;-2;-4)$, $\overrightarrow{SN}=(-2;2;-4)$, khác nhau nên đẳng thức sai.

b) $\overrightarrow{DM}=(6;-2;0)$, $\overrightarrow{DG}=\left(\frac{16}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ nên $-2\overrightarrow{DM}+3\overrightarrow{DG}=(-12+16;4-4;0+4)=(4;0;4)=\overrightarrow{DS}$. Đẳng thức đúng.

c) Mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B(4;0;0)$, $D(-4;0;0)$, $S(0;0;4)$ nên là mặt phẳng $y=0$. Đường thẳng $CG$: $\left(\frac{4}{3}t;4-\frac{16}{3}t;\frac{4}{3}t\right)$. Cho $y=0$: $t=\frac{3}{4}$, suy ra $E(1;0;1)$, khi đó $a+b+c=1+0+1=2$. Đúng.

d) Mặt phẳng $(SAC)$ là mặt phẳng $x=0$. Với $F$ thuộc $(SAC)$, $FG+FB$ nhỏ nhất khi $F$ là giao điểm của $(SAC)$ với đường thẳng nối $G$ và phản xạ $B^{\prime }$ của $B(4;0;0)$ qua mặt phẳng $x=0$, tức $B^{\prime }(-4;0;0)$. Đường thẳng $B^{\prime }G$: $\left(-4+\frac{16}{3}t;-\frac{4}{3}t;\frac{4}{3}t\right)$. Cho $x=0$: $t=\frac{3}{4}$, suy ra $F(0;-1;1)$ và $x+y+z=0\ne -1$. Sai.

Kết luận: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$. Với $M(2;-2;0)$, $N(-2;2;0)$: $\overrightarrow{SM}=(2;-2;-4)\ne (-2;2;-4)=\overrightarrow{SN}$ nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $D(-4;0;0)$, $M(2;-2;0)$, $G\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$: $\overrightarrow{DM}=(6;-2;0)$, $\overrightarrow{DG}=\left(\frac{16}{3};-\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ nên $-2\overrightarrow{DM}+3\overrightarrow{DG}=(4;0;4)=\overrightarrow{DS}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt $(SBD)$ là $y=0$; đường thẳng $CG$ cắt mặt này tại $t=\frac{3}{4}$ cho $E(1;0;1)$, nên $a+b+c=2$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt $(SAC)$ là $x=0$. Phản xạ của $B(4;0;0)$ qua mặt này là $B^{\prime }(-4;0;0)$. Đường thẳng $B^{\prime }G$ cắt $x=0$ tại $t=\frac{3}{4}$, tức $F(0;-1;1)$. Khi đó $x+y+z=0\ne -1$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B=(0;0;0)$, $A=(6;0;0)$, $C=(0;8;0)$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$), $M=(0;4;0)$ trung điểm $BC$, $S=(6;0;2\sqrt{3})$ (vì $SA\perp (ABC)$, $SA=2\sqrt{3}$).

Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SM}$. Với $\overrightarrow{SM}=(-6;4;-2\sqrt{3})$ thì $3\overrightarrow{SM}=(-18;12;-6\sqrt{3})$. Cộng với $\overrightarrow{AM}=(-6;4;0)$ được $(-24;16;-6\sqrt{3})$.

Độ dài: $\sqrt{576+256+108}=\sqrt{940}=2\sqrt{235}$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}=(-6;0;0)$ nên $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=(-6)(-6)=36$.

Kết quả: $2\sqrt{235}+36\approx 66,68$. Lưu ý dấu: $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}=36$ (dương), không phải $-36$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua mặt phẳng $Oxz$ đổi dấu tung độ $y$: $A(2;-3;1)\to A^{\prime }(2;3;1)$. Vậy đáp án D.

Đẳng thức đúng là: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;-2;1)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $H(0;-2;1)$.

a) Sai.

b) Ta có $\overrightarrow{MN}(-300;500;0)$, nên $MN=\sqrt{(-300{)}^2+500^2}=100\sqrt{34}$ nên b) đúng.

c) Ta có $\cos \widehat{MON}=\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{OM.ON}=\frac{500.200+200.700+10.10}{\sqrt{500^2+200^2+10^2}.\sqrt{200^2+700^2+10^2}}\approx 0,61>\cos 60^{\circ }$ do đó $\widehat{MON}<60^{\circ }$. Vậy c) đúng.

d) Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là $Q(a;b;c)$, và có tỉ lệ $\frac{MN}{NQ}=\frac{40}{8}=5\Rightarrow MN=5NQ\Rightarrow \overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{NQ}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-200=\frac{1}{5}.(-300)\\ b-700=\frac{1}{5}.500\\ c-10=\frac{1}{5}.0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=140\\ b=800\\ c=10\end{array}\Rightarrow Q(140;800;10)$.
Vậy $a+b+c=140+800+10=950$ nên d) sai.
a) Sai.
b) Ta có $\overrightarrow{MN}(-300;500;0)$, nên $MN=\sqrt{(-300{)}^2+500^2}=100\sqrt{34}$ nên b) đúng.
c) Ta có $\cos \widehat{MON}=\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{OM.ON}=\frac{500.200+200.700+10.10}{\sqrt{500^2+200^2+10^2}.\sqrt{200^2+700^2+10^2}}\approx 0,61>\cos 60^{\circ }$ do đó $\widehat{MON}<60^{\circ }$. Vậy c) đúng.
d) Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là $Q(a;b;c)$, và có tỉ lệ $\frac{MN}{NQ}=\frac{40}{8}=5\Rightarrow MN=5NQ\Rightarrow \overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{NQ}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-200=\frac{1}{5}.(-300)\\ b-700=\frac{1}{5}.500\\ c-10=\frac{1}{5}.0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=140\\ b=800\\ c=10\end{array}\Rightarrow Q(140;800;10)$.
Vậy $a+b+c=140+800+10=950$ nên d) sai.

Vì $B$ là điểm đối xứng với $A(-5;2;3)$ qua trục $Ox$ nên $B(-5;-2;-3)$ (lời giải nguồn in nhầm "qua trục $Oy$" nhưng tọa độ $B(-5;-2;-3)$ chính là ảnh qua trục $Ox$).
Do đó $\overrightarrow{AB}=(0;-4;-6)$.
Vậy $AB=\sqrt{0+16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;-2;1)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm $H(2;-2;0)$.

Vì $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ nên $B(5;2;-3)$.
Do đó $\overrightarrow{AB}=(10;0;-6)$.
Vậy $AB=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(x-1;y-0;z-1)=(3;3;0)$, suy ra $x-1=3\Rightarrow x=4$; $y=3$; $z-1=0\Rightarrow z=1$. Vậy $C(4;3;1)$, khớp với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 202, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: tia Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. Tàu thám hiểm A cách O 25 km về nam, 15 km về tây, sâu 10 km nên $A(25;-15;-10)$.
a) $OA=\sqrt{25^2+(-15{)}^2+(-10{)}^2}=\sqrt{625+225+100}=\sqrt{950}=5\sqrt{38}\approx 30,82$ km $\ne 3\sqrt{58}=\sqrt{522}\approx 22,85$ km → ý a SAI.
b) Tàu cảnh sát biển tại $C(15;y;0)$. Trong phạm vi radar: $OC\le 30\iff 225+y^2\le 900\iff y^2\le 675\iff y\le 15\sqrt{3}$ (vì di chuyển về đông, $y\ge 0$). Vậy tối đa $15\sqrt{3}$ km → ý b ĐÚNG.
c) $B(-20;15;0)$: $OB=\sqrt{400+225}=25\le 30$ nên radar phát hiện được → ý c ĐÚNG.
d) Vì $OA=5\sqrt{38}\approx 30,82>30$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm → ý d ĐÚNG. Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp với đáp án mã đề 202 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$OA=\sqrt{950}=5\sqrt{38}\approx 30,82$ km, khác $3\sqrt{58}\approx 22,85$ km.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(15;y;0)$, điều kiện $OC\le 30$ cho $y\le 15\sqrt{3}$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
$OB=\sqrt{(-20{)}^2+15^2}=25\le 30$ km nên radar phát hiện được.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OA=5\sqrt{38}\approx 30,82>30$ km nên radar không phát hiện được.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $O$ tại điểm xuất phát, $Ox$ hướng Đông, $Oy$ hướng Bắc, $Oz$ hướng lên. Flycam thứ nhất $A(-10;20;0,7)$, flycam thứ hai $B(25;-30;1)$. Gọi $P(x;y;0)$ trên mặt đất, cần minimize $PA+PB$. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua mặt đất: $A^{\prime }(-10;20;-0,7)$. Khi đó $PA+PB=P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B$, dấu bằng khi $P$ là giao điểm của $A^{\prime }B$ với mặt đất.

$A^{\prime }B=\sqrt{35^2+(-50{)}^2+1,7^2}=\sqrt{1225+2500+2,89}=\sqrt{3727,89}\approx 61,058$.

Tham số hóa $P=A^{\prime }+t\overrightarrow{A^{\prime }B}$ với $z_P=-0,7+1,7t=0\Rightarrow t=\frac{7}{17}$.

$x_P=-10+35\cdot \frac{7}{17}=\frac{75}{17}\approx 4,4118$; $y_P=20-50\cdot \frac{7}{17}=-\frac{10}{17}\approx -0,5882$.

Khoảng cách từ $O$ đến $P$: $OP=\sqrt{{\left(\frac{75}{17}\right)}^2+{\left(\frac{10}{17}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5725}}{17}\approx 4,451\approx 4,45$ (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,45.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABEF$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh $A\to B\to E\to F$ nên $AB\parallel FE$ và $BE\parallel AF$, tức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}$, tương đương $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BE}$, hay $F=A+E-B$. Với $A(-12;10;-2)$, $B(-4;6;9)$, $E(6;-6;4)$: $x_F=-12+6-(-4)=-2$; $y_F=10+(-6)-6=-2$; $z_F=-2+4-9=-7$. Vậy $F(-2;-2;-7)$, khớp đáp án C trong bảng mã đề 202.