Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;0;3)$, $B(2;3;-4)$, $C(-3;1;2)$: $x_D=1+(-3)-2=-4$; $y_D=0+1-3=-2$; $z_D=3+2-(-4)=9$. Vậy $D(-4;-2;9)$, khớp phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$, ta có $E-C=2(B-E)$ nên $3E=C+2B$. Với $B(1;2;-3)$, $C(7;4;-2)$: $$E=\left(\frac{7+2\cdot 1}{3};\frac{4+2\cdot 2}{3};\frac{-2+2\cdot (-3)}{3}\right)=\left(3;\frac{8}{3};-\frac{8}{3}\right).$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc đoạn $AB$ và $MA=2MB$ nên $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$, tức $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=2$: $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, suy ra $M=\frac{A+2B}{3}$. Tọa độ: $x_M=\frac{3+2\cdot 2}{3}=\frac{7}{3}$, $y_M=\frac{1+2\cdot (-3)}{3}=-\frac{5}{3}$, $z_M=\frac{-2+2\cdot 5}{3}=\frac{8}{3}$. Vậy $M\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, với $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AD}=(1-1;-1-0;1-1)=(0;-1;0)$. Suy ra $C=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;1)+(1;1;1)+(0;-1;0)=(2;0;2)$. Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=C^{\prime }-C=(4-2;5-0;-5-2)=(2;5;-7)$. Vậy $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1;0;1)+(2;5;-7)=(3;5;-6)$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$ nên $A^{\prime }(0;0;-3)$. Cạnh $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $B^{\prime }(3;0;-3)$. Đỉnh $C$ thỏa $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(3;0;0)+(0;3;0)=(3;3;0)$ nên $C(3;3;0)$. Trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }C$: $G=\left(\frac{0+3+3}{3};\frac{0+0+3}{3};\frac{-3-3+0}{3}\right)=(2;1;-2)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;2;2), B(-2;2;0), C(4;1;-1). Điểm M(x;0;z) thuộc (Oxz) cách đều A, B, C thì MA²=MB² và MA²=MC².
MA²=(x-2)²+4+(z-2)²; MB²=(x+2)²+4+z²; MC²=(x-4)²+1+(z+1)².
MA²=MB²: -4x-4z+8=4x+4 ⟹ 2x+z=1.
MA²=MC²: -4x-4z+12=-8x+2z+18 ⟹ 2x-3z=3.
Trừ hai phương trình: 4z=-2 ⟹ z=-1/2, suy ra x=3/4. Vậy M(3/4;0;-1/2), kiểm tra: MA²=1/16+4+25/4=33/4... tính lại: (3/4-2)²=25/16, (−1/2−2)²=25/4, cộng 4: 25/16+64/16+100/16=189/16; MB²=(11/4)²+4+1/4=121/16+64/16+4/16=189/16; MC²=(−13/4)²+1+1/4=169/16+16/16+4/16=189/16. Đúng cách đều.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}.\vec{v}=3\cdot 2+0\cdot 1+1\cdot 0=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;1)$. Tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 1-(-1)\cdot 1;-1\cdot 1-0\cdot 1)=(-1;2;-1)$, nên $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=2\cdot 0+(-1)(-3)+1\cdot (-m)=3-m$. Theo đề, $3-m=1\Rightarrow m=2$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{i}=(1;0;0)$ có độ dài $|\vec{i}|=1$, vectơ $\vec{u}=(-\sqrt{3};0;1)$ có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{3+0+1}=2$. Tích vô hướng $\vec{i}\cdot \vec{u}=-\sqrt{3}$. Do đó $\cos (\vec{i},\vec{u})=\frac{-\sqrt{3}}{1\cdot 2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $150^0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $MNP$ vuông tại $N$ nên $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=0$. Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-(-1);3-1;-1-1)=(3;2;-2)$ và $\overrightarrow{NP}=(1-(-1);m-1-1;2-1)=(2;m-2;1)$. Tích vô hướng: $3\cdot 2+2(m-2)+(-2)\cdot 1=6+2m-4-2=2m$. Đặt $2m=0$ suy ra $m=0$. Vậy chọn đáp án $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(2;-2;-4)$, $\vec{b}=(1;-1;1)$.
- A: $\vec{a}+\vec{b}=(2+1;-2-1;-4+1)=(3;-3;-3)$, đúng.
- B: Xét tỉ số tọa độ: $\frac{2}{1}=2$, $\frac{-2}{-1}=2$, $\frac{-4}{1}=-4$. Vì các tỉ số không bằng nhau nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương → mệnh đề B sai.
- C: $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$, đúng.
- D: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-2)(-1)+(-4)(1)=2+2-4=0$ nên $\vec{a}\perp \vec{b}$, đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{b}=(-4;-2;6)=-2(2;1;-3)=-2\vec{a}$, nên A đúng và hai vectơ ngược hướng (C đúng). Độ dài: $|\vec{b}|=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$ và $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$, nên $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$, D đúng. Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2(-4)+1(-2)+(-3)(6)=-8-2-18=-28\ne 0$, nên phát biểu B là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;0;-4)$, $\overrightarrow{BD}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AC}=(1;0;-4)$, $\overrightarrow{CD}=(-1;1;0)$.

Kiểm tra từng mệnh đề:
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0+0+0=0$ nên $AB\perp BD$ (đúng).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0+0+0=0$ nên $AB\perp BC$ (đúng).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0+0+(-4)(-4)=16\ne 0$ nên $AB$ không vuông góc với $AC$ (sai).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0+0+0=0$ nên $AB\perp CD$ (đúng).

Vậy mệnh đề sai là $AB\perp AC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }C}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}$. Mặt khác $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng.
b) $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$), do đó $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, trong khi $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Hai vectơ khác nhau (ngược dấu thành phần $B{B}^{\prime }$), nên sai.
c) $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$. Đúng.
d) Đặt $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2\ne 0$. Vậy sai (góc giữa hai đường chéo này có $\cos =\frac{1}{2}$, góc $60^{\circ }$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ vì $ABCD$ là hình vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$ thì tích vô hướng bằng $a^2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: theo hiệu hai vectơ, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (không phải $\overrightarrow{BC}$). b) Đúng: trong hình bình hành $ABCD$, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ theo quy tắc hình bình hành (đường chéo từ đỉnh chung $B$). c) Đúng: tính chất tích của số với vectơ $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$ luôn đúng với mọi $k\in \mathbb{R}$, $\vec{a}\ne \vec{0}$. d) Đúng: với hai vectơ khác $\vec{0}$, góc giữa chúng thỏa $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành với đỉnh chung $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất chuẩn của phép nhân số với vectơ: $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa tích vô hướng cho công thức góc: $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ với hai vectơ khác $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a). Khi đó M(a/2; a/2; 0), N(0; 0; a/2).
a) MN = N−M = (−a/2; −a/2; a/2), còn ½(OA+BC) = ½((a;0;0)+(0;−a;a)) = (a/2; −a/2; a/2) ≠ MN → Sai.
b) OM=(a/2;a/2;0), CM=(a/2;a/2;−a); OM·CM = a²/2; |OM| = a/√2, |CM| = a√(3/2); cos = (a²/2)/(a²√3/2) = 1/√3 → Đúng.
c) MN·OA = (−a/2)(a) + 0 + 0 = −a²/2 → Đúng.
d) CB+OA = (0;a;−a)+(a;0;0) = (a;a;−a), độ dài = a√3 ≠ a√2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN = (−a/2; −a/2; a/2) còn ½(OA+BC) = (a/2; −a/2; a/2), hai vectơ khác nhau nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
OM·CM = a²/2, |OM| = a/√2, |CM| = a√(3/2), nên cos = 1/√3, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN·OA = (−a/2)·a = −a²/2, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
CB+OA = (a; a; −a) có độ dài a√3 ≠ a√2, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

a) Theo tính chất ba điểm: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng với mọi vị trí của $G$. → Đúng.

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, tổng bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$. → Sai.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}}{3}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}\ne 4\overrightarrow{AG}$. → Sai.

d) $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}$. Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+0\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức $m=-\frac{1}{3},n=\frac{2}{3},k=0$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất ba điểm, $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}$, không phải $4\overrightarrow{AG}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}=\frac{\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 55: a) a+b=(1+3;2+1;-3+5)=(4;3;2) đúng. b) 2a-3b=(2-9;4-3;-6-15)=(-7;1;-21), đề ghi 21 nên sai. c) a.b=1.3+2.1+(-3).5=3+2-15=-10≠10 nên sai. d) |a|=√14, |b|=√35, cos(a,b)=(-10)/(√14·√35)=(-10)/(7√10)=-√10/7 đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
a+b=(1+3;2+1;-3+5)=(4;3;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
2a-3b=(2-9;4-3;-6-15)=(-7;1;-21), thành phần thứ ba là -21 chứ không phải 21.
c) (AI giải đề cho tôi)
a.b=3+2-15=-10≠10.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(a,b)=(-10)/(√14·√35)=(-10)/(7√10)=-√10/7.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+4+3}{3};\frac{2-2+4}{3};\frac{4+1+7}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};4\right)$ → đúng.
b) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+C-B=(1+3-4;2+4+2;4+7-1)=(0;8;10)$ → đúng.
c) $M$ thuộc đoạn $AB$ với $MB=2MA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $M=\frac{2A+B}{3}=\left(\frac{2+4}{3};\frac{4-2}{3};\frac{8+1}{3}\right)=\left(2;\frac{2}{3};3\right)$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(3;-4;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(2;2;3)$; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6-8-9=-11<0$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{17}$ nên $\cos BAC=\frac{-11}{\sqrt{34}\sqrt{17}}=-\frac{11\sqrt{2}}{34}$ (âm), không phải $\frac{11\sqrt{2}}{34}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};4\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D=A+C-B=(0;8;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M=\frac{2A+B}{3}=\left(2;\frac{2}{3};3\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-11<0$ nên $\cos BAC=-\frac{11\sqrt{2}}{34}$, giá trị dương trong đề là sai.