Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a√2, cạnh bên vuông góc với đáy, tam giác đáy đều.
a) Sai: CC' vuông góc với mặt đáy nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) Đúng: AB'² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² nên |AB'| = a√3; tương tự BC'² = BC² + CC'² = a² + 2a² = 3a² nên |BC'| = a√3.
c) Sai: B'C' cùng phương với BC, góc giữa AB và BC trong tam giác đều là 120°, nên góc giữa hai vectơ (AB, B'C') = 120°, không phải 60°.
d) Đúng: AB' = AB + BB' = AB + CC' (vì BB' = CC').
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' vuông góc với đáy nên CC' ⊥ AB, suy ra AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB'|² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3; tương tự |BC'| = a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'C' cùng phương BC, góc giữa AB và BC bằng 120° nên góc giữa hai vectơ là 120°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB' = AB + BB' = AB + CC' vì BB' = CC'.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình hộp: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{12^2+4^2+6^2}=\sqrt{196}=14$ m. Vậy chiều dài sợi dây cáp là 14 m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và cùng chiều). Mặt khác $AB\perp BC$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, tức góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc nhau, nên đặt hệ trục toạ độ sao cho $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt dọc theo ba trục. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn: $$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2}=\sqrt{5^2+10^2+6^2}=\sqrt{25+100+36}=\sqrt{161}\approx 12,7\text{ N}.$$ Vậy độ lớn hợp lực của ba lực là $12,7$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $BM$: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM})$. Vì $M$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, tức $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{4}$. Vậy $P=3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=2,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh song song cùng hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ (từ $C$ đến $D$) là: $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ (vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ và cùng chiều), $\overrightarrow{BA}$ (vì $AB\parallel CD$ cùng chiều với $\overrightarrow{CD}$), và $\overrightarrow{CD}$. Chú ý $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên không bằng; $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{BC}$ cũng không bằng $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$. Vậy đáp án là $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm:
- A: $\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AH}$ không bằng $\overrightarrow{KH}$ (sai).
- B: $\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{HK}$, không bằng $\overrightarrow{AK}$ (sai).
- C: $\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{AK}\ne \overrightarrow{KA}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{HK}$ đúng theo hiệu hai vectơ cùng gốc $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, theo quy tắc hình bình hành tại $B$ ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. Suy ra $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BD}$. Vì $B{B}_1{D}_{1}D$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B{D}_1}$ (quy tắc ba điểm). Vậy $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}_1}$, khẳng định đúng là A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ (do $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$... thực chất $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ và bằng nhau vì là hai cạnh đối song song của hình lập phương). Do đó $\vec{x}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vecto $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là đường chéo của hình lập phương cạnh $2a$ nên $|\vec{x}|=|A{C}^{\prime }|=2a\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều $SABC$ cạnh $a$ nên $SA=SB=AB=a$, do đó tam giác $SAB$ đều và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ bằng góc $\widehat{ASB}=60^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=|\overrightarrow{SA}|\cdot |\overrightarrow{SB}|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$. Với đỉnh $S$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Vậy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, khẳng định A đúng. Các khẳng định B, C, D sai vì tổng bốn vecto $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\ne \vec{0}$ (do $S$ không trùng $O$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{B^{\prime }B}=(0;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }B}=1$. Độ dài: $|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{B^{\prime }B}|=1$. Vậy $\cos (\overrightarrow{A^{\prime }C},\overrightarrow{B^{\prime }B})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo mặt nên $a\sqrt{2}=5\sqrt{2}a\Rightarrow$ cạnh bằng $5a$. Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(5,0,0),C(5,5,0),D(0,5,0),A^{\prime }(0,0,5),B^{\prime }(5,0,5),C^{\prime }(5,5,5),D^{\prime }(0,5,5)$.
a) Sai. Các vecto cùng phương ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ (hướng từ $C^{\prime }$ đến $D^{\prime }$) là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$, tức có 3 vecto chứ không phải 1.
b) Sai. $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0,-5,5)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(-5,0,-5)$, tích vô hướng $=-25\ne 0$, nên góc khác $90^{\circ }$ (cos $=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$).
c) Đúng. $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-5,5,-5)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5,0,0)$, tích vô hướng $=25=25a^2$.
d) Sai. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, độ dài $=5a\sqrt{3}\ne 5\sqrt{6}a$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Các vecto ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$: có 3 vecto, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}=-25\ne 0$ nên góc khác $90^{\circ }$ (bằng $60^{\circ }$ giữa hai đường thẳng).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5)(-5)=25=25a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vecto bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có độ dài $5\sqrt{3}a\ne 5\sqrt{6}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,√3a,0), A1(0,0,4a). a) A1D=(0,√3a,-4a), CB1=B1-C=(0,-√3a,4a), tổng bằng 0 nên khẳng định ≠0 là SAI. b) AA1+AB+AD=AC1 đúng theo quy tắc hình hộp — ĐÚNG. c) |AB+AD|=|AC|=√(4a²+3a²)=√7a — ĐÚNG. d) AB+B1C1+AA1=AB+BC+AA1=AC1, độ dài √(4+3+16)a=√23a ≠ √7a — SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
A1D+CB1 = (0,√3a,-4a)+(0,-√3a,4a) = 0, nên khẳng định A1D+CB1 ≠ 0 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: AA1+AB+AD = AC1, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB+AD = AC với AC² = AB²+AD² = 4a²+3a² = 7a², nên |AB+AD| = √7a, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
B1C1 = BC nên AB+B1C1+AA1 = AC1, độ dài √(4a²+3a²+16a²) = √23a ≠ √7a, sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Với G là trọng tâm tam giác ABCD (chính là tâm O của hình vuông), ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}$, không phải $\overrightarrow{SO}$.
b) Sai. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$. Vì M khác N nên hai tổng vectơ không bằng nhau. (Cũng có thể thấy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$, mà $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ với $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$, và $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{DB}$ vì hai đường chéo vuông góc nên không đối nhau.)
c) Đúng. ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, do đó góc giữa $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $90^{\circ }$.
d) Sai. Trong hình vuông ABCD, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng ($\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}$), nên hai vectơ không bằng nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $4\overrightarrow{SO}$ vì O là trọng tâm của tứ giác đều đáy, không bằng $\overrightarrow{SO}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với M trung điểm AB, còn $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với N trung điểm CD; vì M ≠ N nên hai vế không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc, góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, hai vectơ không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $O$ với $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$.
a) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ → đúng.
b) $O{G}^2=\frac{1}{9}(O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ nên $OG=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m → đúng.
c) $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, tương tự $BC=CA=2\sqrt{2}$ → tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$ m, đúng.
d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0-0=0\ne 4$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$O{G}^2=\frac{1}{9}(4+4+4)=\frac{4}{3}$, suy ra $OG=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; tương tự $BC=CA=2\sqrt{2}$, tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$ m, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0-0=0\ne 4$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh $AB,AD,A{A}^{\prime }$ đôi một vuông góc, độ dài mỗi vectơ bằng $a$). Do đó $\vec{x}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì ba vectơ này đôi một vuông góc nên $|\vec{x}{|}^2=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AD}{|}^2+4|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2=a^2+a^2+4a^2=6a^2$, suy ra $|\vec{x}|=a\sqrt{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (tức hình chiếu của $G$ xuống đáy). Vì lăng trụ nên $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}$ với $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$ (do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng hướng). Vậy $\overrightarrow{AG}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}$. Vì $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$ nên $\overrightarrow{AC}=-\vec{a}$; $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$; và $M$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (cùng đi từ mặt đáy lên mặt trên). Do đó $\overrightarrow{C^{\prime }C}=-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức hai vectơ đối nhau. Góc giữa hai vectơ đối nhau bằng $180^{\circ }$. Vậy đáp án D.