Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Khi đó $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0;0,5;1)$, $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0,5;1;1)$, nên $\overrightarrow{MN}=(0,5;0,5;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=1+0+0=1$; độ dài $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=\sqrt{2}$. Vậy $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác đều, bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $DC\parallel AB$ cùng chiều và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ cùng chiều). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})=|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=a^2+0=a^2$, vì $AB\perp A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;-a;0)$. Tổng $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(2a-a;a-a;0)=(a;0;0)\ne \vec{0}$. → Sai.

b) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;-a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=0+0+a^2=a^2\ne 0$. → Sai.

d) $M$ trung điểm $AD$: $M(0;\frac{a}{2};0)$; $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$: $N(a;0;\frac{a}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(a;-\frac{a}{2};\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$. Tích vô hướng $=a^2-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$, $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Vậy $\cos =\frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các vectơ bằng $(a;0;0)\ne \vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=a^2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cosin góc bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$, không phải $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm AC nên theo tính chất trung điểm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) N là trung điểm BD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Vì $\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$... thực tế $\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=2\overrightarrow{GN}$ (do G là trung điểm MN), còn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$. Kiểm tra lại: $\vec{N}-\vec{M}=(\vec{N}-\vec{G})-(\vec{M}-\vec{G})=\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NG}$... tính lại: $\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}$ với $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$ cho $2\overrightarrow{GN}$. Vậy $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$ → phát biểu b thực chất ĐÚNG. Tuy nhiên theo đáp án nguồn (đánh dấu sai) và vì đề nguồn không có đáp án chi tiết, ta giữ kết quả giải độc lập: b đúng. Lưu ý: kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn (b sai), nhưng key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức của PDF; tuy nhiên theo quy tắc không ghi đè đáp án nguồn, ta vẫn trả về solved=true với đánh giá độc lập: b đúng.
c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM})=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$ và vì G là trung điểm MN nên $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$, do đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MN}$ → đúng. (Kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn đánh dấu b sai; key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$. Vậy đẳng thức đúng.
b) Với $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Theo câu a, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$. Đúng.
c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=2\cdot 2\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NM}$. Đúng.
d) $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$ (quy về trung điểm $N$ của $CD$), nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}-4\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MN}\ne \vec{0}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=4\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NM}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$ nên biểu thức bằng $-2\overrightarrow{MN}\ne \vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh tứ diện đều bằng $a$. Ta có $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}$ với $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=-\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{a^2}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{DM}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung điểm trong tam giác đều). Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)=\frac{a^2/4}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$. Suy ra $a=3,b=6$, do đó $T=a+b=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), D'(0;a;a), C'(a;a;a). Khi đó M trung điểm A'D' là (0; a/2; a), N trung điểm C'D' là (a/2; a; a). Suy ra MN = (a/2; 0; 0). C'B = B − C' = (0; −a; −a). Tích vô hướng MN·C'B = (a/2)(0) + 0(−a) + 0(−a) = 0. Vậy na² = 0, tức n = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (M là trung điểm BC) và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Do đó $$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right).$$ Vì $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, và ${\overrightarrow{AB}}^2=A{B}^2=1$. Vậy $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(0-1+0-0)=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ đôi một vuông góc và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{3^2+5^2+8^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, các góc giữa các cạnh đều bằng $60^{\circ }$. Ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 60^{\circ }-a\cdot a\cos 60^{\circ }=a^2/2-a^2/2=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Xét từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → SAI.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ → đúng.
- C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ → đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → đúng.
Vậy khẳng định SAI là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B=(0,0,0)$, $C=(2a,0,0)$, $D=(0,2a,0)$ vì $△BCD$ vuông cân tại $B$ với $BC=BD=2a$. Vì $AB=AC=AD=2a$ nên tọa độ $A$ thỏa $x=y=a$, $z=a\sqrt{2}$, tức $A=(a,a,a\sqrt{2})$.

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}-3\vec{A}=(2a,2a,0)-(3a,3a,3a\sqrt{2})=(-a,-a,-3a\sqrt{2})$. Còn $I$ trung điểm $MN$ với $M=(a/2,a/2,a\sqrt{2}/2)$, $N=(a,a,0)$ nên $I=(3a/4,3a/4,a\sqrt{2}/4)$, do đó $3\overrightarrow{AI}=(-3a/4,-3a/4,-9a\sqrt{2}/4)\ne (-a,-a,-3a\sqrt{2})$. Mệnh đề SAI (chỉ đúng khi $I$ là trọng tâm tam giác $BCD$, không phải trung điểm $MN$).

b) $\overrightarrow{AD}=(-a,a,-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{BC}=(2a,0,0)$, tích vô hướng $=-2a^2$, $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|=2a$ nên $\cos =-\frac{2a^2}{4a^2}=-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$. ĐÚNG.

c) $\overrightarrow{MN}=(a/2,a/2,-a\sqrt{2}/2)$ nên $|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{1/4+1/4+1/2}=a$. Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên $|\overrightarrow{IM}|=a/2=a|\overrightarrow{MN}|/2$, tức $|\overrightarrow{MN}|=2|\overrightarrow{IM}|$. ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{AB}=(-a,-a,-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AB}=-a^2/2-a^2/2+a^2=0$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ $A=(a,a,a\sqrt{2})$, $I=(3a/4,3a/4,a\sqrt{2}/4)$. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(-a,-a,-3a\sqrt{2})$ còn $3\overrightarrow{AI}=(-3a/4,-3a/4,-9a\sqrt{2}/4)$, hai vế không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=-2a^2$, hai vectơ cùng độ dài $2a$ nên $\cos (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC})=-1/2$, góc $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{MN}|=a$ và $I$ là trung điểm $MN$ nên $|\overrightarrow{IM}|=a/2$, suy ra $|\overrightarrow{MN}|=2|\overrightarrow{IM}|$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AB}=-a^2/2-a^2/2+a^2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hợp lực của hai lực $5N$ và $12N$ hợp góc $120^{\circ }$ có độ lớn $F_{12}=\sqrt{5^2+12^2+2\cdot 5\cdot 12\cos 120^{\circ }}=\sqrt{25+144-60}=\sqrt{109}$. Lực thứ ba $24N$ vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực này nên vuông góc với ${\vec{F}}_{12}$, do đó hợp lực ba lực có độ lớn $F=\sqrt{109+24^2}=\sqrt{109+576}=\sqrt{685}\approx 26,1725\approx 26,2N$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $CI=2IS$ nên $SI=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}$; $AJ=2JB$ nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Biểu diễn $\overrightarrow{IJ}$:
$$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{AS}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Mà $\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SC}$, do đó:
$$\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}\right).$$

Suy ra $x=2,y=2,z=-3$, nên $T=x+y+z=2+2-3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. Khi đó: $$|2\vec{a}+3\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+12\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2=4\cdot 9+12\cdot 6+9\cdot 16=36+72+144=252.$$ Vậy $|2\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{252}=6\sqrt{7}\approx 15,87\approx 15,9$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ A^{\prime }H\perp BC\end{array}\Rightarrow BC\perp (A^{\prime }AH)\Rightarrow BC\perp A{A}^{\prime }$.
Do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$. Ta có
$$\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{BC}\right)$$
$$={\overrightarrow{A^{\prime }A}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }A}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$$
$$={\overrightarrow{A^{\prime }A}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$$
Xét $△A^{\prime }AB$ có $\cos A^{\prime }AB=\frac{A^{\prime }A}{2AB}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}=-AB\cdot A^{\prime }A\cdot \cos A^{\prime }AB=-a\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}=-\frac{3a^2}{4}$. Và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$.
Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=A^{\prime }{A}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{6a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(2;1;3\right)$, $\overrightarrow{OB}=\left(-6;3;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$. Do đó tam giác $OAB$ vuông tại $O$, gọi $I$ là trung điểm $AB\Rightarrow I\left(-2;2;3\right)$. Ta có
$$M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2$$
$$\iff {\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IO}\right)}^2$$
$$\iff I{A}^2+I{B}^2=4\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IO}+2I{O}^2$$
$$\iff \overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{IO}=0\left(\text{vıˋ }IA=IB=IO\right)$$
$$\iff \left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OI}\right)\cdot \overrightarrow{IO}=0$$
$$\iff O{I}^2=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OI}\le OM\cdot OI$$
$$\iff OM\ge OI.$$
Suy ra $T=a^2+b^2+c^2=O{M}^2\ge O{I}^2=17$, dấu "=" xảy ra khi $M\equiv I$.
Vậy $T_{\min }=17$.

a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(-3;0;-3)$. Chọn SAI.

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;4)\Rightarrow AC=2\sqrt{6}$; $\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)\Rightarrow BC=\sqrt{6}\Rightarrow AC=2BC$. Chọn ĐÚNG.

c) Ta có $M\in (Oxy)\iff M(x;y;0)\Rightarrow \overrightarrow{MB}=(1-x;-1-y;0),\overrightarrow{MC}=(-1-x;-y;1)$. Theo bài ra, ta có $\{\begin{array}{l}M{B}^2=M{C}^2\\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x\\ x^2+y^2+y-1=0\end{array}\Rightarrow 5x^2+2x-1=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{5}$. Vì $x_M>0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{6}}{5}\Rightarrow y=\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow \left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$. Chọn ĐÚNG.

d) Lấy điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-6\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}1-x+2(1-x)-6(-1-x)=0\\ 2-y+2(-1-y)-6(-y)=0\\ -3-x+2(-z)-6(1-z)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=0\\ z=3\end{array}\Rightarrow I(-3;0;3)\equiv D$. Khi đó: $D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=60$. Ta có $N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3={\left(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DN}\right)}^2-6{\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2N{D}^3=2N{D}^3-3N{D}^2+D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=2N{D}^3-3N{D}^2+60$. Ta có $2N{D}^3-3N{D}^2+60=2ND\left(N{D}^2-2ND+1\right)+N{D}^2-2ND+60=2ND(ND-1{)}^2+(ND-1{)}^2+59\ge 59,\forall ND\ge 0$. Vậy $N{A}^2+2N{B}^2-6N{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $59\iff ND=1$. Chọn SAI.
a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(-3;0;-3)$. Chọn SAI.
b) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;4)\Rightarrow AC=2\sqrt{6}$; $\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)\Rightarrow BC=\sqrt{6}\Rightarrow AC=2BC$. Chọn ĐÚNG.
c) Ta có $M\in (Oxy)\iff M(x;y;0)\Rightarrow \overrightarrow{MB}=(1-x;-1-y;0),\overrightarrow{MC}=(-1-x;-y;1)$.
Theo bài ra, ta có:
$$\{\begin{array}{l}M{B}^2=M{C}^2\\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x\\ x^2+y^2+y-1=0\end{array}\Rightarrow 5x^2+2x-1=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{5}$$
Vì $x_M>0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{6}}{5}\Rightarrow y=\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow \left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$. Chọn ĐÚNG.
d) Lấy điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn
$$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-6\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}1-x+2(1-x)-6(-1-x)=0\\ 2-y+2(-1-y)-6(-y)=0\\ -3-x+2(-z)-6(1-z)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=0\\ z=3\end{array}\Rightarrow I(-3;0;3)\equiv D.$$
Khi đó: $D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=60$.
Ta có
$$N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3={\left(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DN}\right)}^2-6{\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2N{D}^3$$
$$=2N{D}^3-3N{D}^2+D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=2N{D}^3-3N{D}^2+60$$
Ta có $2N{D}^3-3N{D}^2+60=2ND\left(N{D}^2-2ND+1\right)+N{D}^2-2ND+60$
$$=2ND(ND-1{)}^2+(ND-1{)}^2+59\ge 59,\forall ND\ge 0.$$
Vậy $N{A}^2+2N{B}^2-6N{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $59\iff ND=1$. Chọn SAI.