Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, với $P(B)>0$ ta có $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$. a) Đúng (định nghĩa). b) Nhân hai vế với $P(B)$: $P(A|B)\cdot P(B)=P(AB)$, đúng. c) Từ công thức trên suy ra $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$ ($P(A|B)>0$ khi $P(AB)>0$; nếu $P(AB)=0$ thì $P(A|B)=0$ và biểu thức vô nghĩa, nhưng về bản chất đây là biến đổi đúng của công thức nhân xác suất), đúng. d) $P(B)=\frac{P(A|B)}{P(AB)}$ sai vì từ $P(AB)=P(A|B)P(B)$ ta được $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$, không phải $\frac{P(A|B)}{P(AB)}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa của xác suất có điều kiện khi $P(B)>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhân hai vế của định nghĩa $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ với $P(B)$ ta được $P(A|B)\cdot P(B)=P(AB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $P(AB)=P(A|B)\cdot P(B)$ suy ra $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$ (khi $P(A|B)>0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$, không phải $P(B)=\frac{P(A|B)}{P(AB)}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 45 học sinh; $n(A)=25$, $n(B)=16$, $n(AB)=12$.
a) $P(A)=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}\ne \frac{5}{10}$ → Sai.
b) $P(B)=\frac{16}{45}\ne \frac{7}{20}$ (vì $\frac{7}{20}=0,35$ còn $\frac{16}{45}\approx 0,356$) → Sai.
c) $P(A|B)=\frac{n(AB)}{n(B)}=\frac{12}{16}=0,75$ → Đúng.
d) $P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{12}{25}=0,48$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}\ne \frac{5}{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{16}{45}\ne \frac{7}{20}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A|B)=\frac{12}{16}=0,75$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B|A)=\frac{12}{25}=0,48$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả đồng khả năng. B: có đúng một con ra mặt 3 chấm gồm $(3,x),(x,3)$ với $x\ne 3$, tức 10 kết quả, nên $P(B)=10/36=5/18$ (ý b sai vì đề cho $11/36$). AB: đúng một con ra 3 và tích chẵn, tức con kia chẵn: $(3,2),(3,4),(3,6),(2,3),(4,3),(6,3)$, gồm 6 kết quả, nên $P(AB)=6/36=1/6$ (ý a đúng). $P(A|B)=P(AB)/P(B)=(6/36)/(10/36)=3/5$ (ý c sai vì $3/5\ne 5/6$). $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)=1-3/5=2/5$ (ý d sai vì $2/5\ne 4/11$).
a) (AI giải đề cho tôi)
AB gồm 6 kết quả: $(3,2),(3,4),(3,6),(2,3),(4,3),(6,3)$, nên $P(AB)=6/36=1/6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
B gồm 10 kết quả $(3,x),(x,3)$ với $x\ne 3$, nên $P(B)=10/36=5/18$, không phải $11/36$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A|B)=P(AB)/P(B)=(6/36)/(10/36)=3/5$, không phải $5/6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)=1-3/5=2/5$, không phải $4/11$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người bị nhiễm Covid', D là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(A)=0,02$, $P(\bar{A})=0,98$, $P(D|A)=0,95$, $P(D|\bar{A})=0,03$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(A)\cdot P(D|A)+P(\bar{A})\cdot P(D|\bar{A})=0,02\cdot 0,95+0,98\cdot 0,03=0,019+0,0294=0,0484.$$

Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện $P(A|D)$, theo công thức Bayes:
$$P(A|D)=\frac{P(A)\cdot P(D|A)}{P(D)}=\frac{0,019}{0,0484}=\frac{190}{484}=\frac{95}{242}\approx 0,3926.$$

Vậy xác suất để người đó bị nhiễm Covid khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là $\frac{95}{242}\approx 0,3926$ (khoảng $39,26\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng: sân nhà có $11+5+3=19$ trận, sân khách có $6+8+4=18$ trận, tổng $37$ trận. Tổng số trận thắng $=11+6=17$.

a) Gọi $A$ là 'trận thắng', $N$ là 'trận đá trên sân nhà'. Xác suất có điều kiện:
$$P(A|N)=\frac{P(A\cap N)}{P(N)}=\frac{11/37}{19/37}=\frac{11}{19}\approx 0,579.$$

b) Xác suất để trận đó đá trên sân nhà nếu biết trận đó thắng:
$$P(N|A)=\frac{P(N\cap A)}{P(A)}=\frac{11/37}{17/37}=\frac{11}{17}\approx 0,647.$$

Lưu ý: câu b) trong đề ('Đó là trận đá nếu biết rằng trận đó thắng') được hiểu là 'trận đó đá trên sân nhà nếu biết rằng trận đó thắng' — đây là bài toán xác suất có điều kiện ngược với câu a).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'sản phẩm được chọn là phế phẩm', $H_1$ là 'sản phẩm do phân xưởng I sản xuất', $H_2$ là 'sản phẩm do phân xưởng II sản xuất'. Ta có $P(H_1)=0,4$, $P(H_2)=0,6$, $P(A|H_1)=0,05$, $P(A|H_2)=0,02$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=0,4\cdot 0,05+0,6\cdot 0,02=0,02+0,012=0,032$. Theo công thức Bayes, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất biết là phế phẩm: $P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{0,02}{0,032}=\frac{5}{8}=0,625$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I,II$ là biến cố chọn chuồng I, chuồng II; $T$ là bắt được thỏ trắng; $N$ là bắt được thỏ nâu. Vì tung xúc xắc: $P(I)=\frac{1}{6}$, $P(II)=\frac{5}{6}$. Chuồng I: 12 trắng, 13 nâu (25 con); chuồng II: 14 trắng, 11 nâu (25 con), nên $P(T|I)=\frac{12}{25}$, $P(T|II)=\frac{14}{25}$, $P(N|I)=\frac{13}{25}$, $P(N|II)=\frac{11}{25}$.

Xác suất bắt được thỏ trắng (công thức xác suất toàn phần):
$$P(T)=P(I)P(T|I)+P(II)P(T|II)=\frac{1}{6}\cdot \frac{12}{25}+\frac{5}{6}\cdot \frac{14}{25}=\frac{12+70}{150}=\frac{82}{150}=\frac{41}{75}.$$

a) Theo công thức Bayes:
$$P(II|T)=\frac{P(II)P(T|II)}{P(T)}=\frac{\frac{5}{6}\cdot \frac{14}{25}}{\frac{41}{75}}=\frac{70/150}{82/150}=\frac{35}{41}\approx 0,8537.$$

Xác suất bắt được thỏ nâu:
$$P(N)=P(I)P(N|I)+P(II)P(N|II)=\frac{1}{6}\cdot \frac{13}{25}+\frac{5}{6}\cdot \frac{11}{25}=\frac{13+55}{150}=\frac{68}{150}=\frac{34}{75}.$$

b) Theo công thức Bayes:
$$P(I|N)=\frac{P(I)P(N|I)}{P(N)}=\frac{13/150}{68/150}=\frac{13}{68}\approx 0,1912.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố 'chọn ngăn trên', N là biến cố 'cuốn sách là tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài'. Xác suất chọn ngăn trên: P(T) = 2/6 = 1/3; chọn ngăn dưới: P(T̄) = 4/6 = 2/3. Ngăn trên có 2 cuốn nước ngoài trong tổng 5 cuốn nên P(N|T) = 2/5; ngăn dưới có 1 cuốn nước ngoài trong tổng 5 cuốn nên P(N|T̄) = 1/5.

Theo công thức xác suất toàn phần:
P(N) = P(T)·P(N|T) + P(T̄)·P(N|T̄) = (1/3)(2/5) + (2/3)(1/5) = 2/15 + 2/15 = 4/15.

Theo công thức Bayes:
P(T|N) = [P(T)·P(N|T)] / P(N) = (2/15)/(4/15) = 1/2.

Vậy xác suất để cuốn sách thuộc ngăn trên, biết rằng đó là tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài, bằng 1/2 = 0,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là biến cố 'ông A chạy bộ', T là biến cố 'ông A ăn thêm một quả trứng'. Vì ông A chọn ngẫu nhiên 3 ngày trong 7 ngày để chạy bộ nên $P(C)=\frac{3}{7}$, $P(\overline{C})=\frac{4}{7}$. Theo đề: $P(T|C)=0,7=\frac{7}{10}$ và $P(T|\overline{C})=0,25=\frac{1}{4}$.

Xác suất ăn thêm trứng (công thức xác suất toàn phần):
$$P(T)=P(C)\cdot P(T|C)+P(\overline{C})\cdot P(T|\overline{C})=\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{10}+\frac{4}{7}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{10}+\frac{1}{7}=\frac{21+10}{70}=\frac{31}{70}.$$

Theo công thức Bayes:
$$P(C|T)=\frac{P(C)\cdot P(T|C)}{P(T)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{31}{70}}=\frac{3}{10}\cdot \frac{70}{31}=\frac{21}{31}\approx 0,6774.$$

Vậy xác suất để hôm đó ông A chạy bộ nếu biết bữa sáng hôm đó ông A ăn thêm một quả trứng là $\frac{21}{31}\approx 0,6774$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ (biến cố B), hộp còn 24 viên bi trong đó 10 viên bi trắng. Do đó $P(A|B)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,15=0,14+0,12=0,26$. Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,14}{0,26}=\frac{14}{26}=\frac{7}{13}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ là biến cố 'tài xế sử dụng điện thoại khi lái xe', $T$ là biến cố 'tài xế gây tai nạn'. Theo đề: $P(D)=0,03$ và $P(D|T)=0,21$ (trong số các tài xế gây tai nạn, 21% do sử dụng điện thoại). Theo định lý Bayes: $P(D|T)=\frac{P(T|D)P(D)}{P(T)}$, suy ra $\frac{P(T|D)}{P(T)}=\frac{P(D|T)}{P(D)}=\frac{0,21}{0,03}=7$. Vậy xác suất gây tai nạn của tài xế sử dụng điện thoại cao gấp 7 lần xác suất gây tai nạn trung bình, tức việc sử dụng điện thoại làm tăng xác suất gây tai nạn lên 7 lần. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'người được chọn nghiện thuốc lá', $B$ là 'người bị bệnh phổi'. Ta có $P(A)=0,2$, $P(\bar{A})=0,8$, $P(B|A)=0,7$, $P(B|\bar{A})=0,15$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,15=0,14+0,12=0,26$. Xác suất cần tìm theo công thức Bayes: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,14}{0,26}=\frac{14}{26}=\frac{7}{13}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: người mắc bệnh $S$, $B$: xét nghiệm dương tính. Ta có $P(A)=0,001$; $P(B|A)=1$; $P(B|\bar{A})=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,001\cdot 1+0,999\cdot 0,05=0,001+0,04995=0,05095$. Xác suất mắc bệnh khi dương tính: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,001}{0,05095}\approx 0,01961=1,96\%$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, $G$ là biến cố học sinh biết chơi đàn guitar. Ta có $P(A)=0,2$, $P(G|A)=0,85$, $P(G|\bar{A})=0,1$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(G)=P(A)P(G|A)+P(\bar{A})P(G|\bar{A})=0,2\cdot 0,85+0,8\cdot 0,1=0,17+0,08=0,25$. Theo công thức Bayes: $P(A|G)=\frac{P(A)P(G|A)}{P(G)}=\frac{0,17}{0,25}=\frac{17}{25}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là biến cố "bạn được gọi tên Hiền", $N$ là "bạn được gọi là nữ", $M$ là "bạn được gọi là nam". Lớp có 30 học sinh: 17 nữ (trong đó 1 bạn tên Hiền), 13 nam (trong đó 2 bạn tên Hiền).
a) $P(H)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ → đúng.
b) $P(H|N)=\frac{P(H\cap N)}{P(N)}=\frac{1/30}{17/30}=\frac{1}{17}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
c) $P(H|M)=\frac{2/30}{13/30}=\frac{2}{13}$ → đúng.
d) $P(N|H)=\frac{P(N\cap H)}{P(H)}=\frac{1/30}{3/30}=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 3 bạn tên Hiền trong 30 học sinh nên $P=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{Hieˆˋn}|\text{nữ})=\frac{1}{17}$, không phải $\frac{3}{17}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{Hieˆˋn}|\text{nam})=\frac{2}{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\text{nữ}|\text{Hieˆˋn})=\frac{1/30}{3/30}=\frac{1}{3}$, không phải $\frac{3}{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_k$ là biến cố chuyển $k$ bi trắng từ hộp I sang hộp II ($k=0,1,2$). Vì hộp I có 5 trắng, 5 đỏ: $P(A_0)=\frac{C_5^0{C}_5^2}{C_{10}^2}=\frac{10}{45}$, $P(A_1)=\frac{C_5^1{C}_5^1}{C_{10}^2}=\frac{25}{45}$, $P(A_2)=\frac{C_5^2{C}_5^0}{C_{10}^2}=\frac{10}{45}$.

Gọi $B$ là biến cố lấy được bi trắng từ hộp II. Sau khi chuyển, hộp II có $6+k$ bi trắng trên 12 bi nên $P(B|A_k)=\frac{6+k}{12}$.

Công thức xác suất toàn phần:
$$P(B)=\frac{10}{45}\cdot \frac{6}{12}+\frac{25}{45}\cdot \frac{7}{12}+\frac{10}{45}\cdot \frac{8}{12}=\frac{60+175+80}{540}=\frac{315}{540}=\frac{7}{12}.$$

Xác suất cần tìm là hai bi chuyển từ hộp I đều trắng, tức $P(A_2|B)$:
$$P(A_2|B)=\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}=\frac{\frac{10}{45}\cdot \frac{8}{12}}{\frac{7}{12}}=\frac{80}{315}=\frac{16}{63}\approx 0,25.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'lấy được đồng xu cân đối', $B$ là biến cố 'tung 3 lần đều ra mặt ngựa'. Ta có $P(A)=P(\bar{A})=\frac{1}{2}$; $P(B|A)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$; $P(B|\bar{A})={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$. Theo công thức Bayes: $P(A|B)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{27}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}+\frac{8}{27}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{27+64}{216}}=\frac{27}{91}\approx 0,2967\approx 0,3$. Vậy xác suất cần tính (làm tròn đến hàng phần mười) là $0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D là biến cố 'tin nhắn bị đánh dấu', Q là 'tin nhắn là quảng cáo'. Ta có $P(D)=0,15$, $P(\bar{D})=0,85$; $P(\bar{Q}|D)=0,10$ nên $P(Q|D)=0,90$; $P(Q|\bar{D})=0,15$ nên $P(\bar{Q}|\bar{D})=0,85$.
a) $P(\bar{D})=1-0,15=0,85$: đúng.
b) $P(\bar{Q}|\bar{D})=1-0,15=0,85\ne 0,8$: sai.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(\bar{Q})=P(D)P(\bar{Q}|D)+P(\bar{D})P(\bar{Q}|\bar{D})=0,15\cdot 0,10+0,85\cdot 0,85=0,015+0,7225=0,7375\ne 0,75$: sai.
d) $P(\bar{D}|\bar{Q})=\frac{P(\bar{D})P(\bar{Q}|\bar{D})}{P(\bar{Q})}=\frac{0,7225}{0,7375}\approx 0,9797>0,95$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(\bar{D})=1-P(D)=1-0,15=0,85$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong số tin nhắn không bị đánh dấu, 15% là quảng cáo nên $P(\bar{Q}|\bar{D})=0,85\ne 0,8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\bar{Q})=0,15\cdot 0,10+0,85\cdot 0,85=0,7375\ne 0,75$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\bar{D}|\bar{Q})=\frac{0,7225}{0,7375}\approx 0,9797>0,95$, nên khẳng định 'nhỏ hơn 0,95' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M_1,M_2$ lần lượt là biến cố sản phẩm do máy thứ nhất, máy thứ hai sản xuất; $D$ là biến cố sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Ta có $P(M_1)=0,65$, $P(M_2)=0,35$, $P(D|M_1)=0,8$, $P(D|M_2)=0,85$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,65\cdot 0,8+0,35\cdot 0,85=0,52+0,2975=0,8175$. Theo công thức Bayes: $P(M_1|D)=\frac{0,52}{0,8175}\approx 0,6361\approx 64\%$. Vậy xác suất cần tìm là $0,64$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $64\%$).