Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố 'quả bóng lấy từ hộp II chính là quả bóng được chuyển từ hộp I sang', R là biến cố 'quả bóng lấy từ hộp II có màu đỏ'. Cần tính P(T|R) = P(T∩R)/P(R).

- Xác suất chuyển quả bóng đỏ từ hộp I: P(T) = 6/10 = 3/5; chuyển quả vàng: P(T') = 4/10 = 2/5.
- Nếu chuyển quả đỏ sang, hộp II có 11 quả trong đó 6 quả đỏ nên P(R|T) = 6/11.
- Nếu chuyển quả vàng sang, hộp II có 11 quả trong đó 7 quả đỏ nên P(R|T') = 7/11.

Công thức xác suất toàn phần:
P(R) = (3/5)(6/11) + (2/5)(7/11) = 18/55 + 14/55 = 32/55.

P(T∩R) = (3/5)(6/11) = 18/55.

Vậy P(T|R) = (18/55)/(32/55) = 18/32 = 9/16 = 0,5625 ≈ 0,56.

Lưu ý: trường explanation gốc đã tính đúng P(R|T') = 7/11 và kết quả 9/16 ≈ 0,56; thông tin trong trường errors là nhận định sai, không ảnh hưởng đến lời giải. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: 0,56.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12B1 có 40 học sinh: 60% xuất sắc nên có 24 em xuất sắc, 40% giỏi nên có 16 em giỏi. Trong số học sinh loại giỏi có 8 em đạt từ 9 điểm trở lên; 75% học sinh đạt từ 9 điểm trở lên là xuất sắc nên 8 em giỏi chiếm 25%, suy ra tổng số em đạt từ 9 trở lên là 8/0,25 = 32 em, trong đó xuất sắc là 32 − 8 = 24 em.
a) Sai: tỉ lệ đạt từ 9 trở lên là 32/40 = 80%, không phải 70%.
b) Đúng: số xuất sắc đạt từ 9 trở lên là 24 em bằng đúng tổng số học sinh xuất sắc, nên mọi học sinh xuất sắc đều có điểm ≥ 9.
c) Đúng: chỉ có 40 − 32 = 8 em dưới 9 điểm, và 8 em này đều thuộc nhóm giỏi (vì 8 em giỏi có điểm ≥ 9, tức 8 em giỏi còn lại có điểm < 9).
d) Đúng: học sinh giỏi có điểm trên 9: 37,5% của 16 = 6 em; giỏi có điểm bằng 9: 8 − 6 = 2 em. Gọi y là số học sinh xuất sắc có điểm bằng 9, theo giả thiết trong số học sinh có điểm bằng 9 thì có 50% là xuất sắc: y = 50%·(y + 2) ⇒ y = 2. Vậy số học sinh xuất sắc có điểm trên 9: 24 − 2 = 22 em.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số em đạt từ 9 điểm trở lên là 32/40 = 80%, không phải 70%.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số xuất sắc đạt từ 9 trở lên là 24 em bằng đúng tổng số học sinh xuất sắc, nên tất cả đều có điểm ≥ 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 em dưới 9 điểm và tất cả đều là học sinh loại giỏi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giỏi trên 9: 37,5% của 16 = 6 em; giỏi bằng 9: 8 − 6 = 2 em. Gọi y là số xuất sắc có điểm bằng 9, theo giả thiết y = 50%·(y + 2) ⇒ y = 2. Vậy xuất sắc có điểm trên 9: 24 − 2 = 22 em.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất một khách hàng trả lời 'sẽ mua', 'có thể sẽ mua', 'không mua' lần lượt là 50/200, 90/200, 60/200. Xác suất thực sự mua: P(M) = (50·0,6 + 90·0,4 + 60·0,01)/200 = (30 + 36 + 0,6)/200 = 66,6/200. Xác suất khách trả lời 'sẽ mua' biết rằng họ thực sự mua: P = 30/66,6 = 300/666 = 50/111. Vậy a = 50, b = 111, T = (1/2)·50 + 111 = 136.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ liệu: $P(B)=\frac{175}{300}=\frac{7}{12}$, $P(\overline{B})=\frac{125}{300}=\frac{5}{12}$. a) SAI vì $P(B)=\frac{7}{12}\ne \frac{5}{12}$. b) Theo đề, tỉ lệ thực sự thích trong nhóm trả lời 'thích' là 60%, tức $P(A|B)=0,6$: ĐÚNG. c) Công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=\frac{7}{12}\cdot 0,6+\frac{5}{12}\cdot 0,4=\frac{4,2+2}{12}=\frac{6,2}{12}=\frac{31}{60}$: ĐÚNG. d) $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{12}\cdot 0,6}{\frac{31}{60}}=\frac{0,35\cdot 60}{31}=\frac{21}{31}\approx 0,677=67,7\%$: ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{175}{300}=\frac{7}{12}$ và $P(\overline{B})=\frac{125}{300}=\frac{5}{12}$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo kinh nghiệm, trong nhóm trả lời 'thích' có 60% thực sự thích, tức $P(A|B)=0,6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=\frac{7}{12}\cdot 0,6+\frac{5}{12}\cdot 0,4=\frac{31}{60}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{12}\cdot 0,6}{\frac{31}{60}}=\frac{21}{31}\approx 67,7\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là biến cố 'bạn được gọi có tên Hiền', N là 'bạn được gọi là nữ'. Lớp có 30 học sinh: 17 nữ, 13 nam; trong 3 bạn tên Hiền có 1 nữ và 2 nam.
a) $P(H)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ → đúng.
b) $P(H|N)=\frac{P(H\cap N)}{P(N)}=\frac{1/30}{17/30}=\frac{1}{17}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
c) $P(H|\overline{N})=\frac{2/30}{13/30}=\frac{2}{13}$ → đúng.
d) $P(N|H)=\frac{P(H\cap N)}{P(H)}=\frac{1/30}{3/30}=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 3 bạn tên Hiền trong 30 học sinh nên $P=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong 17 bạn nữ chỉ có 1 bạn tên Hiền nên $P(H|N)=\frac{1}{17}\ne \frac{3}{17}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong 13 bạn nam có 2 bạn tên Hiền nên $P(H|\overline{N})=\frac{2}{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong 3 bạn tên Hiền có 1 bạn nữ nên $P(N|H)=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có P(T)=0,5·0,05+0,5·0,10=0,075.
a) Theo Bayes: P(B|T)=P(T|B)P(B)/P(T)=(0,10·0,5)/0,075=0,05/0,075=2/3≈0,6667>0,65 → đúng.
b) P(T)=0,075 → đúng.
c) Trong mỗi phác đồ hai biến cố độc lập: P(khỏi và không T | A)=0,6·0,95=0,57; P(khỏi và không T | B)=0,7·0,9=0,63. Vậy P(khỏi và không T)=0,5·0,57+0,5·0,63=0,6 → đúng.
d) P(A và khỏi)=0,5·0,6=0,3≠0,6 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(B|T)=(0,10·0,5)/0,075=2/3≈0,6667>0,65.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=0,5·0,05+0,5·0,10=0,075.
c) (AI giải đề cho tôi)
Do độc lập: 0,5·(0,6·0,95)+0,5·(0,7·0,9)=0,5·(0,57+0,63)=0,6.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(A và khỏi)=0,5·0,6=0,3, không phải 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$, $II$ là biến cố linh kiện do nhà máy I, II sản xuất; $D$ là biến cố linh kiện là phế phẩm. Ta có $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$, $P(II)=\frac{90}{200}=0,45$; $P(D|I)=0,03$, $P(D|II)=0,02$.
a) $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$ → đúng.
b) Xác suất linh kiện tốt biết thuộc nhà máy I là $P(\overline{D}|I)=1-0,03=0,97$, không phải $0,5335$ → sai. (Số $0,5335$ chính là $P(I\cap \overline{D})=0,55\cdot 0,97$.)
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0165+0,009=0,0255\ne 0,0245$ → sai.
d) $P(\overline{D})=1-0,0255=0,9745$. Theo công thức Bayes: $P(I|\overline{D})=\frac{0,5335}{0,9745}\approx 0,5475$; $P(II|\overline{D})=\frac{0,45\cdot 0,98}{0,9745}=\frac{0,441}{0,9745}\approx 0,4525$. Vì $0,5475>0,4525$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(I)=\frac{110}{110+90}=\frac{110}{200}=0,55$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{D}|I)=1-0,03=0,97\ne 0,5335$. Số $0,5335$ là $P(I\cap \overline{D})=0,55\cdot 0,97$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(D)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255\ne 0,0245$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(I|\overline{D})=\frac{0,5335}{0,9745}\approx 0,5475>P(II|\overline{D})=\frac{0,441}{0,9745}\approx 0,4525$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $P(A)=0,4$, $P(\bar{A})=0,6$; $P(B|A)=0,3$, $P(B|\bar{A})=0,4$. Công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,4\cdot 0,3+0,6\cdot 0,4=0,12+0,24=0,36$. Xác suất cần tìm: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,12}{0,36}=\frac{1}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $P(A)=0,1$, $P(B|A)=0,45$, $P(B|\overline{A})=0,25$. Theo sơ đồ hình cây, xác suất có phản ứng phụ: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,1\cdot 0,45+0,9\cdot 0,25=0,045+0,225=0,27$. Xác suất đồng thời: $P(A\cap B)=0,1\cdot 0,45=0,045$. Vậy $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,045}{0,27}=\frac{45}{270}=\frac{1}{6}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi R là biến cố 'cuộc gọi là rác', C là 'cuộc gọi đúng', K là 'cuộc gọi không bị chặn'. Ta có P(R)=0,1; P(C)=0,9; P(K|R)=1-0,8=0,2; P(K|C)=1-0,01=0,99. Theo công thức xác suất toàn phần: P(K)=P(R)P(K|R)+P(C)P(K|C)=0,1·0,2+0,9·0,99=0,02+0,891=0,911. Xác suất cần tìm: P(C|K)=P(C∩K)/P(K)=0,891/0,911=891/911. Giá trị này trùng với đáp án A (và B, vì hai phương án này giống hệt nhau trong đề in).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: bò mắc bệnh bò điên, $P(A)=\frac{13}{1000000}$; $B$: phản ứng dương tính. Theo đề: $P(B|A)=0,7$, $P(B|\bar{A})=0,1$. Theo công thức Bayes: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})}=\frac{\frac{13}{10^6}\cdot 0,7}{\frac{13}{10^6}\cdot 0,7+\frac{999987}{10^6}\cdot 0,1}=\frac{9,1}{9,1+99998,7}=\frac{91}{91+999987}=\frac{91}{1000078}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, $G$: học sinh biết chơi đàn guitar. Ta có $P(A)=0,2$, $P(G|A)=0,85$, $P(G|\bar{A})=0,10$. Xác suất biết chơi guitar: $P(G)=P(A)P(G|A)+P(\bar{A})P(G|\bar{A})=0,2\cdot 0,85+0,8\cdot 0,10=0,17+0,08=0,25$. Xác suất cần tìm: $P(A|G)=\frac{P(A)P(G|A)}{P(G)}=\frac{0,17}{0,25}=\frac{17}{25}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố sinh viên trượt môn Toán, L là biến cố trượt môn Tâm lý. Ta có P(T)=0,3; P(L)=0,22; P(L|T)=0,4. Suy ra P(T∩L)=P(T)·P(L|T)=0,3·0,4=0,12.
a) Xác suất trượt cả hai môn là P(T∩L)=0,12 ≠ 0,066 → Sai.
b) P(đậu cả hai) = 1 − P(T∪L) = 1 − (0,3+0,22−0,12) = 1 − 0,4 = 0,6 → Đúng.
c) P(đậu Toán | trượt Tâm lý) = P(T̄∩L)/P(L) = (0,22−0,12)/0,22 = 0,10/0,22 ≈ 0,4545 ≠ 0,18 → Sai.
d) P(đậu Tâm lý) = 1 − P(L) = 0,78 ≠ 0,726 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(T∩L)=0,3·0,4=0,12, không phải 0,066.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu cả hai)=1−P(T∪L)=1−(0,3+0,22−0,12)=0,6.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu Toán|trượt Tâm lý)=(0,22−0,12)/0,22≈0,4545, không phải 0,18.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu Tâm lý)=1−0,22=0,78, không phải 0,726.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'có ít nhất 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm'. Số kết quả thuận lợi cho B: 6 + 6 - 1 = 11 (các cặp (3,j) và (i,3), trùng (3,3) một lần). Gọi A là biến cố 'tổng số chấm không lớn hơn 6'. Các kết quả thuộc A ∩ B (có mặt 3 và tổng ≤ 6): mặt còn lại phải là 1, 2 hoặc 3, cho các cặp (3,1),(3,2),(3,3),(1,3),(2,3) — tổng cộng 5 kết quả. Vậy P(A|B) = 5/11 ≈ 0,4545... ≈ 0,45.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là biến cố Bình làm việc ở xưởng I, $M$ là biến cố Bình phụ trách máy loại 2. Vì gieo xúc xắc, xuất hiện mặt 3 chấm thì đi xưởng I nên $P(I)=\frac{1}{6}$, $P(\overline{I})=\frac{5}{6}$. Từ bảng: xưởng I có $23+27=50$ máy, trong đó 27 máy loại 2; xưởng II có $19+31=50$ máy, trong đó 31 máy loại 2. Vậy $P(M|I)=\frac{27}{50}$, $P(M|\overline{I})=\frac{31}{50}$. Theo công thức Bayes:
$$P(I|M)=\frac{P(I)P(M|I)}{P(I)P(M|I)+P(\overline{I})P(M|\overline{I})}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{50}}{\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{50}+\frac{5}{6}\cdot \frac{31}{50}}=\frac{27}{27+155}=\frac{27}{182}\approx 0,1483.$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $0,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$: sản phẩm do nhà máy $I$ sản xuất, $H_2$: sản phẩm do nhà máy $II$ sản xuất, $A$: sản phẩm là phế phẩm. Ta có $P(H_1)=\frac{450}{1000}=0,45$, $P(H_2)=\frac{550}{1000}=0,55$; $P(A|H_1)=0,06$, $P(A|H_2)=0,07$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=0,45\cdot 0,06+0,55\cdot 0,07=0,027+0,0385=0,0655$. Theo công thức Bayes: $P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{0,027}{0,0655}\approx 0,4122\approx 0,41$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố "lần thứ nhất lấy được bóng loại II", $B$ là biến cố "lần thứ hai lấy được bóng loại II". Cần tính $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

$P(A)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ (2 quả loại II trong 20 quả).

$P(A\cap B)=\frac{2}{20}\cdot \frac{1}{19}=\frac{1}{190}$ (sau khi lấy 1 quả loại II, còn 1 quả loại II trong 19 quả).

Vậy $P(B|A)=\frac{1/190}{1/10}=\frac{10}{190}=\frac{1}{19}$.

Cách khác: biết lần thứ nhất lấy được loại II thì hộp còn 19 quả trong đó 1 quả loại II, nên $P(B|A)=\frac{1}{19}\approx 0,0526$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố 'người đó mắc bệnh', $D$ là biến cố 'xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(B)=0,005$; $P(D|B)=0,98$; $P(\overline{D}|\overline{B})=0,95$ nên $P(D|\overline{B})=0,05$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(B)P(D|B)+P(\overline{B})P(D|\overline{B})=0,005\cdot 0,98+0,995\cdot 0,05=0,0049+0,04975=0,05465.$$

Theo công thức Bayes, xác suất người đó mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính là:
$$P(B|D)=\frac{P(B)P(D|B)}{P(D)}=\frac{0,0049}{0,05465}\approx 0,0897.$$

Vậy xác suất người đó mắc bệnh là khoảng $8,97\%$. Kết quả này cho thấy dù xét nghiệm khá chính xác, do bệnh hiếm gặp nên xác suất mắc bệnh khi dương tính vẫn thấp (hiện tượng cơ sở Bayes).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Q$ là biến cố 'khách hàng đã xem quảng cáo Vinamilk', $M$ là biến cố 'khách hàng có mua sản phẩm Vinamilk'. Theo đề: $P(Q)=0,4$; $P(M)=0,25$; $P(Q\mid M)=0,6$ (trong số người mua sản phẩm thì số người xem quảng cáo chiếm 60%).

Từ công thức nhân xác suất:
$$P(Q\cap M)=P(M)\cdot P(Q\mid M)=0,25\cdot 0,6=0,15.$$

Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện của $M$ khi biết $Q$:
$$P(M\mid Q)=\frac{P(Q\cap M)}{P(Q)}=\frac{0,15}{0,4}=0,375=\frac{3}{8}=37,5\%.$$

Vậy xác suất khách hàng đó mua sản phẩm Vinamilk khi đã xem quảng cáo là $0,375$ (tức $37,5\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$ là biến cố 'Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất', $H_2$ là biến cố 'Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất', và $A$ là biến cố 'Sản phẩm đạt tiêu chuẩn'. Theo đề bài: $P(H_1)=0,7$, $P(H_2)=0,3$, $P(A|H_1)=0,95$, $P(A|H_2)=0,8$.

Bước 1: Tính xác suất toàn phần để sản phẩm đạt tiêu chuẩn:
$$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=0,7\cdot 0,95+0,3\cdot 0,8=0,665+0,24=0,905.$$

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes, xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn được sản xuất bởi máy thứ nhất:
$$P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{0,665}{0,905}=\frac{133}{181}\approx 0,7348.$$

Vậy xác suất cần tìm là $P(H_1|A)=\frac{133}{181}\approx 0,735$ (khoảng $73,5\%$).