Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Gọi $A$: “con thỏ bắt ở chuồng 2 chính là thỏ được chuyển từ chuồng 1”, $B$: “con thỏ bắt ra màu trắng”. Chuồng 1: 7 trắng, 5 nâu $\Rightarrow$ tổng 12. Chuồng 2 ban đầu: 5 trắng, 3 nâu $\Rightarrow$ tổng 8. Chuyển 2 con từ chuồng 1 sang chuồng 2 $\Rightarrow$ chuồng 2 có tổng 10. Gọi $E_k$: “là số thỏ trắng được chuyển sang (từ chuồng 1)”, $k\in \{0,1,2\}$. Khi đó:
$$P(E_k)=\frac{C_7^k\cdot C_5^{2-k}}{C_{12}^2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}P(E_0)=\frac{10}{66}\\ P(E_1)=\frac{35}{66}\\ P(E_2)=\frac{21}{66}\end{array}$$
Nếu chuyển $k$ con trắng thì trong chuồng 2 có $5+k$ con trắng (tổng 10). Xác suất bắt được thỏ chuyển và màu trắng: $P\left(A\cap B|E_k\right)=\frac{k}{10}.$ Xác suất bắt được màu trắng: $P\left(B|E_k\right)=\frac{5+k}{10}.$
Suy ra $P(A\cap B)={\sum }_{k=0}^{2}P(E_k)\frac{k}{10}=\frac{77}{660}$ và $P(B)={\sum }_{k=0}^{2}P(E_k)\frac{5+k}{10}=\frac{37}{60}$. Do đó theo Bayes: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{77}{660}}{\frac{37}{60}}=\frac{7}{37}\approx 0,19$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_k$ là biến cố chuyển $k$ con thỏ trắng từ chuồng nhất sang chuồng hai ($k=0,1,2$):
$$P(A_2)=\frac{C_7^2}{C_{12}^2}=\frac{21}{66}=\frac{7}{22},P(A_1)=\frac{7\cdot 5}{C_{12}^2}=\frac{35}{66},P(A_0)=\frac{C_5^2}{C_{12}^2}=\frac{10}{66}.$$
Sau khi chuyển, chuồng hai có 10 con. Xác suất bắt được thỏ trắng:
$$P(W\mid A_2)=\frac{7}{10},P(W\mid A_1)=\frac{6}{10},P(W\mid A_0)=\frac{5}{10}.$$
Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(W)=\frac{7}{22}\cdot \frac{7}{10}+\frac{35}{66}\cdot \frac{6}{10}+\frac{10}{66}\cdot \frac{5}{10}=\frac{147+210+50}{660}=\frac{407}{660}.$$
Xác suất cần tìm (Bayes):
$$P=\frac{P(A_2)P(W\mid A_2)+P(A_1)P(W\mid A_1)}{P(W)}=\frac{147+210}{407}=\frac{357}{407}\approx 0,8771\approx 0,88.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cơ sở chung: với số nguyên $n$, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ lẻ và $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ chẵn. Do đó tổng bình phương của 5 phiếu bốc từ hộp II chia hết cho 4 khi và chỉ khi số phiếu lẻ trong 5 phiếu đó là 0 hoặc 4.

a) Nếu cả 5 phiếu đều chẵn thì số phiếu lẻ bằng 0, tổng bình phương chia hết cho 4 → trúng thưởng. Đúng.

b) Xác suất bốc 2 phiếu lẻ từ hộp I (5 lẻ trong 10 phiếu): $\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$. Khi đó hộp II có 17 phiếu (10 lẻ, 7 chẵn); $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$. Vậy $P=\frac{2}{9}\cdot \frac{1491}{6188}\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.

c) Gọi $k$ là số phiếu lẻ chuyển sang hộp II, $k\in \{0,1,2\}$ với xác suất $\frac{10}{45},\frac{25}{45},\frac{10}{45}$. Hộp II khi đó có $8+k$ lẻ và $9-k$ chẵn:
- $k=0$: $P=\frac{C_9^5+C_8^4{C}_9^1}{C_{17}^5}=\frac{126+630}{6188}=\frac{756}{6188}$.
- $k=1$: $P=\frac{C_8^5+C_9^4{C}_8^1}{C_{17}^5}=\frac{56+1008}{6188}=\frac{1064}{6188}$.
- $k=2$: $P=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}$.

$P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng.

d) Tổng hai phiếu ở hộp I chẵn ⟺ hai phiếu cùng tính chẵn lẻ ($k=0$ hoặc $k=2$). $P(\text{tổng cha˘˜n}\wedge \text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{22470}{278460}\approx 0,0807$. Xác suất có điều kiện $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6: Đ S Đ Đ); ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán độc lập ≈ 0,46.
a) 5 phiếu chẵn → 0 phiếu lẻ → tổng bình phương dư 0 mod 4 → trúng thưởng. Đúng.
b) $P(2\text{ lẻ})=\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{2}{9}$; $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$; tích $\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.
c) $P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng, khớp đáp án nguồn Đ S Đ Đ.
d) Tính toán độc lập: $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6) ghi ý d là Đúng nên ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn; ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán ≈ 0,46.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi k là số bóng trắng chuyển từ hộp I. Các xác suất chuyển: P(2 trắng)=C(5,2)/C(12,2)=10/66=5/33; P(1 trắng,1 đỏ)=5·7/66=35/66; P(2 đỏ)=C(7,2)/66=21/66=7/22. Hộp II sau chuyển có 27 bóng. Xác suất lấy được bóng trắng từ hộp II: P(W)=[(5/33)·12+(35/66)·11+(7/22)·10]/27=(120+385+210)/66/27=715/1782. Xác suất bóng trắng và là bóng chuyển từ hộp I: P(W∩chuyển)=[(5/33)·2+(35/66)·1]/27=(10/33+35/66)/27=(55/66)/27=55/1782. Vậy xác suất cần tìm = (55/1782)/(715/1782)=55/715=11/143. Do đó a=11, b=143, M=a²+b²=121+20449=20570.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là tỷ lệ cặp sinh đôi thật. Xác suất một cặp có cùng giới tính: $x+(1-x)\cdot 0,5=0,64$ (vì $30\%+34\%=64\%$ cùng giới tính). Suy ra $0,5+0,5x=0,64\Rightarrow x=0,28$. Tỷ lệ sinh đôi thật trong số các cặp cùng giới tính: $\frac{0,28}{0,64}=\frac{7}{16}$, nên $a+b=7+16=23$. Khớp với đáp án nguồn (đề 1210, câu 6: 23).

Gọi $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) là số quả bóng màu xanh ở hộp I. Gọi $A$ là biến cố "quả bóng lấy ra từ hộp I là bóng đỏ" và $B$ là biến cố "hai quả bóng lấy ra từ hộp II có ít nhất một quả bóng đỏ".
Ta có $P(A)=\frac{6}{n+6}$, $P(\overline{A})=\frac{n}{n+6}$.
Khi xảy ra $A$, hộp II có $8$ đỏ và $3$ xanh nên $P(\overline{B}\mid A)=\frac{C_3^2}{C_{11}^2}=\frac{3}{55}\Rightarrow P(B\mid A)=\frac{52}{55}$.
Khi xảy ra $\overline{A}$, hộp II có $7$ đỏ và $4$ xanh nên $P(\overline{B}\mid \overline{A})=\frac{C_4^2}{C_{11}^2}=\frac{6}{55}\Rightarrow P(B\mid \overline{A})=\frac{49}{55}$.
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=\frac{6}{n+6}\cdot \frac{52}{55}+\frac{n}{n+6}\cdot \frac{49}{55}=\frac{312+49n}{55(n+6)}=\frac{32}{35}\iff n=8$.
Khi đó $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{14}\cdot \frac{52}{55}}{\frac{32}{35}}=\frac{39}{88}\approx 0,44$.

a) Sai: Xác suất cả hai mô hình đều dự báo sai là $0,2\cdot 0,1=0,02$.
b) Sai: Khi M1 báo không mưa và M2 báo có mưa, xác suất thực tế không mưa (tức M1 đúng) là $\frac{0,8\cdot 0,8\cdot 0,1}{0,8\cdot 0,8\cdot 0,1+0,2\cdot 0,2\cdot 0,9}=\frac{16}{25}>\frac{9}{25}$ (hoặc xét xác suất có điều kiện từng mô hình $\frac{16}{17}>\frac{9}{13}$).
c) Đúng: $P(M_1{M}_2)=0,2\cdot 0,8\cdot 0,9+0,8\cdot 0,2\cdot 0,1=0,16$.
d) Đúng: $P(M\mid M_1{M}_2)=\frac{0,144}{0,16}=0,9$.

Gọi $A$ là biến cố "An lấy được viên bi màu đỏ" ($P(A)=\frac{6}{18}=\frac{1}{3},P(\overline{A})=\frac{2}{3}$) và $B$ là biến cố "Các viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi khác màu với viên bi của An".
- Nếu $A$ xảy ra (còn $12$ xanh, $5$ đỏ, Bình lấy $4$ viên): $P(B\mid A)=1-\frac{C_5^4}{C_{17}^4}=\frac{475}{476}$.
- Nếu $\overline{A}$ xảy ra (còn $11$ xanh, $6$ đỏ, Bình lấy $2$ viên): $P(B\mid \overline{A})=1-\frac{C_{11}^2}{C_{17}^2}=\frac{81}{136}$.
Theo công thức Bayes: $P(A\mid B)=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{475}{476}}{\frac{1}{3}\cdot \frac{475}{476}+\frac{2}{3}\cdot \frac{81}{136}}=\frac{475}{1042}\approx 0,46$.

Gọi $A$ là biến cố "Quả bóng chuyển từ hộp I sang hộp II là màu đỏ", $B$ là biến cố "Hai quả bóng lấy ra từ hộp II có ít nhất một quả màu đỏ".
Ta có $P(A)=\frac{5}{8},P(\overline{A})=\frac{3}{8}$.
$P(B\mid A)=1-\frac{C_6^2}{C_{11}^2}=\frac{8}{11}$; $P(B\mid \overline{A})=1-\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{34}{55}$.
Theo công thức Bayes: $P(A\mid B)=\frac{\frac{5}{8}\cdot \frac{8}{11}}{\frac{5}{8}\cdot \frac{8}{11}+\frac{3}{8}\cdot \frac{34}{55}}=\frac{200}{302}=\frac{100}{151}\approx 0,66$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 1 (Phần III) có kết quả là: 4,24.

Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện:
Xác suất cần tìm xấp xỉ bằng $4,24\%$.

Gọi $E$ là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn ($P(E)=0,5$) và $O$ là biến cố xuất hiện mặt lẻ ($P(O)=0,5$). Gọi $B_2$ là biến cố $2$ viên bi lấy ra cuối cùng đều màu đen.
- Tính $P(B_2|E)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp II rồi lấy $2$ bi từ Hộp II gồm $7$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$): Hộp II có $3$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_7^2}=\frac{6}{21}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{C_3^1{C}_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}$): Hộp II có $2$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_7^2}=\frac{10}{21}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$): Hộp II có $1$ trắng, $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_6^2}{C_7^2}=\frac{15}{21}$.
Do đó $P(B_2|E)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{21}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{21}+\frac{1}{10}\cdot \frac{15}{21}=\frac{93}{210}=\frac{31}{70}$.
- Tính $P(B_2|O)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp III rồi lấy $2$ bi từ Hộp III gồm $6$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{3}{10}$): Hộp III có $2$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{6}{10}$): Hộp III có $1$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{10}{15}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{1}{10}$): Hộp III có $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $1$.
Do đó $P(B_2|O)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{15}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{15}+\frac{1}{10}\cdot 1=\frac{93}{150}=\frac{31}{50}$.
Áp dụng công thức Bayes:
$P(E|B_2)=\frac{0,5\cdot \frac{31}{70}}{0,5\cdot \frac{31}{70}+0,5\cdot \frac{31}{50}}=\frac{\frac{1}{70}}{\frac{1}{70}+\frac{1}{50}}=\frac{5}{12}\approx 0,42$.
Đáp số: 0,42.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 378, trang 7), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $P(B)=\frac{7!}{8!}=\frac{1}{8}$ (a đúng). Số hoán vị có đúng $3$ phần tử sai vị trí là $C_8^3\cdot 2=112⟹P(A)=\frac{112}{8!}=\frac{1}{360}\ne \frac{1}{180}$ (b sai). Tương tự $P(A\mid B)=\frac{C_7^3\cdot 2}{7!}=\frac{1}{72}\ne \frac{1}{36}$ (c sai). Số phần tử của $BC$ là $7!-2\cdot 6!+5!=3720$ và số phần tử của $ABC$ là $C_5^1\cdot 2=10$, nên $P(A\mid BC)=\frac{10}{3720}=\frac{1}{372}$ (d đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $545$.

Hai ghế kề ngang cách $1,4\text{ m}\le 1,8\text{ m}$, kề dọc cách $1\text{ m}\le 1,8\text{ m}$, kề chéo cách $\sqrt{1,4^2+1^2}=\sqrt{2,96}\approx 1,72\text{ m}\le 1,8\text{ m}$. Tính số cặp ghế trong bán kính $1,8\text{ m}$ trên lưới $4\times 6$ và áp dụng công thức Bayes cho biến cố không bị nhiễm cúm A, ta thu được phân số tối giản $\frac{a}{b}$ với $S=a+2b=545$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

a) Xác suất lấy được thỏ đen ở chuồng I là $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ (Sai).
b) Xác suất lấy được $2$ thỏ đen ở chuồng II là $\frac{1}{3}\cdot \frac{C_8^2}{C_{11}^2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{14}{33}$ (Đúng).
c) $P(\text{tra˘ˊng I}\mid \text{2 đen II})=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{21}{55}}{\frac{14}{33}}=\frac{3}{5}$ (Đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 6), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $901$.

Sử dụng công thức xác suất Bayes để tính xác suất 2 viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 trắng và 1 đỏ khi biết viên bi lấy ra từ hộp II là bi trắng. Sau khi rút gọn thành phân số tối giản $\frac{a}{b}$, ta có $a+b=10$.

Đáp án: 0,29. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $A$ là biến cố con thỏ lấy từ chuồng 1 là thỏ đực: $P(A)=\frac{6}{10}=0,6$.
Gọi $\bar{A}$ là biến cố con thỏ lấy từ chuồng 1 là thỏ cái: $P(\bar{A})=\frac{4}{10}=0,4$.
Gọi $B$ là biến cố lấy ra 3 con thỏ ở chuồng 2 có số thỏ đực nhiều hơn số thỏ cái (2 đực 1 cái hoặc 3 đực):
- Nếu xảy ra $A$, chuồng 2 có 5 đực, 5 cái: $P(B|A)=\frac{C_5^2{C}_5^1+C_5^3}{C_{10}^3}=\frac{10\times 5+10}{120}=\frac{60}{120}=0,5$.
- Nếu xảy ra $\bar{A}$, chuồng 2 có 4 đực, 6 cái: $P(B|\bar{A})=\frac{C_4^2{C}_6^1+C_4^3}{C_{10}^3}=\frac{6\times 6+4}{120}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$.
Xác suất toàn phần của biến cố $B$:
$P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})=0,6\times 0,5+0,4\times \frac{1}{3}=0,3+\frac{0,4}{3}=\frac{1,3}{3}=\frac{13}{30}$.
Theo công thức xác suất Bayes, xác suất con thỏ lấy từ chuồng 1 là thỏ đực biết biến cố $B$ đã xảy ra:
$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,3}{\frac{13}{30}}=\frac{9}{13}\approx 0,\mathrm{6923...}\approx 0,69$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 0201: Kết quả là 0,69).

Theo lời giải chi tiết trang 14 của đề, phân số xác suất tối giản có tử số $a=419$.

Sử dụng công thức xác suất Bayes có điều kiện tính được xác suất xấp xỉ $0,89$.