Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [7; 9) với tần số 14. Ta có: $x_{Mo}=7$, $n_1=10$ (tần số nhóm trước), $n_2=14$, $n_3=7$ (tần số nhóm sau), độ dài nhóm $h=2$. Áp dụng công thức mốt: $Mo=7+\frac{14-10}{(14-10)+(14-7)}\cdot 2=7+\frac{4}{11}\cdot 2=7+\frac{8}{11}\approx 7,73$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy của nhóm 3 là: $1+(x-4)+(x^2-3x+11)=x^2-2x+8=23$, suy ra $x^2-2x-15=0$, tức $(x-5)(x+3)=0$, nên $x=5$ hoặc $x=-3$. Vì tần số nhóm 2 là $x-4>0$ nên $x>4$, do đó $x=5$. Kiểm tra: các tần số là $1,1,21,12,3,2$, tần số tích lũy nhóm 3 là $1+1+21=23$ đúng. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=10+7+16+4+2+3=42$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $43;48;53;58;63;68$. Cân nặng trung bình: $\bar{x}=\frac{43\cdot 10+48\cdot 7+53\cdot 16+58\cdot 4+63\cdot 2+68\cdot 3}{42}=\frac{430+336+848+232+126+204}{42}=\frac{2176}{42}\approx 51,8095\approx 51,81$ (kg). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+8+12+12+4=39$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 39}{4}=29,25$. Tần số tích lũy: $3;11;23;35;39$. Vì $23<29,25\le 35$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[6;8)$ với $c=6$, $h=2$, $f=12$, $cf=23$. Do đó $Q_3=6+\frac{2(29,25-23)}{12}=6+\frac{12,5}{12}\approx 7,042$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=40. Tần số tích lũy: 2; 12; 28; 36; 38; 40.
Q1: vị trí n/4=10, thuộc nhóm [40;50): Q1=40+10·(10−2)/10=48 (kg).
Q2: vị trí n/2=20, thuộc nhóm [50;60): Q2=50+10·(20−12)/16=55 (kg).
Q3: vị trí 3n/4=30, thuộc nhóm [60;70): Q3=60+10·(30−28)/8=62,5 (kg).
Vậy chỉ mệnh đề b) đúng; a), c), d) sai vì các giá trị Q1, Q2, Q3 đều khác kết quả tính được.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Q1=48, Q2=55, Q3=62,5 nên các giá trị 49; 50; 52,5 đều sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Q1=40+10·(10−2)/10=48; Q2=50+10·(20−12)/16=55; Q3=60+10·(30−28)/8=62,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Các giá trị đúng là Q1=48, Q2=55, Q3=62,5, khác 47; 54; 63,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Các giá trị đúng là Q1=48, Q2=55, Q3=62,5, khác 46; 53; 64,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=2+10+16+8+2+2=40$, nên mệnh đề a đúng. Tần số tích lũy: $[30;40)$: 2; $[40;50)$: 12; $[50;60)$: 28; $[60;70)$: 36; $[70;80)$: 38; $[80;90)$: 40.
- $Q_1$: giá trị thứ $\frac{40}{4}=10$ nằm trong nhóm $[40;50)$: $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$ → mệnh đề b đúng.
- $Q_2$: giá trị thứ $\frac{40}{2}=20$ nằm trong nhóm $[50;60)$: $Q_2=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55\ne 45$ → mệnh đề c sai.
- $Q_3$: giá trị thứ $\frac{3\cdot 40}{4}=30$ nằm trong nhóm $[60;70)$: $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5\ne 61,5$ → mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=2+10+16+8+2+2=40$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 10 nằm trong nhóm $[40;50)$: $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 20 nằm trong nhóm $[50;60)$: $Q_2=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55\ne 45$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 30 nằm trong nhóm $[60;70)$: $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5\ne 61,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=45+34+23+18+5=125$.

**Tứ phân vị thứ nhất:** $\frac{n}{4}=31,25$. Vì $31,25\le 45$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[0;2)$ với $x_1=0$, $f_1=45$, $h=2$:
$$Q_1=0+\frac{31,25-0}{45}\cdot 2=\frac{62,5}{45}\approx 1,39\text{ (phuˊt)}.$$

**Tứ phân vị thứ hai (trung vị):** $\frac{n}{2}=62,5$. Tần số tích lũy: $45;79;102;120;125$. Vì $45<62,5\le 79$ nên $Q_2$ thuộc nhóm $[2;4)$:
$$Q_2=2+\frac{62,5-45}{34}\cdot 2=2+\frac{35}{34}\approx 3,03\text{ (phuˊt)}.$$

**Tứ phân vị thứ ba:** $\frac{3n}{4}=93,75$. Vì $79<93,75\le 102$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[4;6)$:
$$Q_3=4+\frac{93,75-79}{23}\cdot 2=4+\frac{29,5}{23}\approx 5,28\text{ (phuˊt)}.$$

Vậy $Q_1\approx 1,39$ phút; $Q_2\approx 3,03$ phút; $Q_3\approx 5,28$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+16+4+2+2=32$. Đại diện mỗi nhóm là giá trị trung tâm: $2,5$; $7,5$; $12,5$; $17,5$; $22,5$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 2,5+16\cdot 7,5+4\cdot 12,5+2\cdot 17,5+2\cdot 22,5}{32}=\frac{20+120+50+35+45}{32}=\frac{270}{32}=8,4375$ giờ. Vậy thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh này khoảng $8,44$ giờ (tức $8$ giờ $26$ phút $15$ giây).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[10,5;20,5)$ với $n_1=10$ học sinh. Khi đó $n_0=2$ (tần số nhóm trước), $n_2=6$ (tần số nhóm sau), độ dài nhóm $h=20,5-10,5=10$.

Áp dụng công thức mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$M_o=10,5+\frac{n_1-n_0}{(n_1-n_0)+(n_1-n_2)}\cdot h=10,5+\frac{10-2}{(10-2)+(10-6)}\cdot 10.$$

Tính toán:
$$M_o=10,5+\frac{8}{8+4}\cdot 10=10,5+\frac{8}{12}\cdot 10=10,5+\frac{20}{3}=\frac{63}{6}+\frac{40}{6}=\frac{103}{6}\approx 17,17\text{ (phuˊt)}.$$

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_o=\frac{103}{6}\approx 17,17$ phút, tức thời gian mà học sinh hoàn thành câu hỏi thi nhiều nhất xấp xỉ $17,17$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [15;20) với n2 = 47 công nhân. Ta có: x_1 = 15, x_2 = 20, n_1 = 35 (tần số nhóm trước), n_3 = 25 (tần số nhóm sau). Mốt: Mo = 15 + (47-35)/((47-35)+(47-25)) · (20-15) = 15 + 12/34 · 5 = 15 + 30/17 = 285/17 ≈ 16,76 (triệu đồng). Ý nghĩa: mức thưởng tết điển hình của công nhân nhà máy khoảng 16,76 triệu đồng, tức là phần lớn công nhân nhận mức thưởng xấp xỉ giá trị này.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Mẫu số liệu ghép nhóm với các lớp [10;15), [15;20), [20;25), [25;30), [30;35), [35;40) có tần số tương ứng 2; 5; 15; 8; 9; 1 (N = 40). Giá trị đại diện của mỗi lớp là trung điểm: 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{12,5\cdot 2+17,5\cdot 5+22,5\cdot 15+27,5\cdot 8+32,5\cdot 9+37,5\cdot 1}{40}=\frac{25+87,5+337,5+220+292,5+37,5}{40}=\frac{1000}{40}=25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=21$ nên trung vị là $x_{11}$ (vì $\frac{21+1}{2}=11$). Theo phân bố: $x_1,\dots ,x_3$ thuộc $[0;5)$, $x_4,\dots ,x_{11}$ thuộc $[5;10)$. Vậy $x_{11}$ thuộc nhóm $[5;10)$, tức trung vị thuộc nhóm $[5;10)$ (nhóm thứ hai, có tần số 8).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=200$, nên trung vị là trung bình cộng của phần tử thứ 100 và thứ 101. Tần số tích lũy: 18, 46, 81, 124, 165, 200. Cả hai phần tử thứ 100 và 101 đều thuộc nhóm $[165;170)$ vì tần số tích lũy trước nhóm này là 81. Áp dụng công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Me=165+\frac{\frac{200}{2}-81}{43}\cdot 5=165+\frac{100-81}{43}\cdot 5=165+\frac{95}{43}\approx 167,21$ (km/h). Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ $167,21$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm): $[4;6)\to 5$, $[6;8)\to 7$, $[8;10)\to 9$, $[10;12)\to 11$, $[12;14)\to 13$. Khối lượng trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+7\cdot 12+9\cdot 19+11\cdot 9+13\cdot 4}{50}=\frac{30+84+171+99+52}{50}=\frac{436}{50}=8,72(kg)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm): $[4;6)\to 5$, $[6;8)\to 7$, $[8;10)\to 9$, $[10;12)\to 11$, $[12;14)\to 13$. Khối lượng trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+7\cdot 12+9\cdot 19+11\cdot 9+13\cdot 4}{50}=\frac{30+84+171+99+52}{50}=\frac{436}{50}=8,72(kg)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là $[31;36)$ với tần số lớn nhất $n_4=18$, tần số nhóm trước $n_3=8$, nhóm sau $n_5=4$, độ dài nhóm $h=5$. Áp dụng công thức mốt: $M_o=31+\frac{18-8}{(18-8)+(18-4)}\cdot 5=31+\frac{10}{24}\cdot 5\approx 33,08\approx 33$. Vậy mốt gần nhất với 33, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+9+12+10+6=42$. Vị trí tứ phân vị thứ nhất là $n/4=42/4=10,5$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 5, nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$. Vì $5<10,5\le 14$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[20;40)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$. Tần số tích lũy: nhóm 1 là 3, nhóm 2 là 15, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ với $n_2=12$. Áp dụng công thức: $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot (15,5-12,5)=12,5+\frac{11}{12}\cdot 3=12,5+2,75=15,25$. Vậy $Q_1=15,25$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+10+12+9+4 = 40. Vị trí tứ phân vị thứ ba: 3n/4 = 30. Tần số tích lũy: 5, 15, 27, 39, 40. Vì 27 < 30 ≤ 39, giá trị 30 nằm trong nhóm [60;80). Vậy nhóm chứa Q3 là [60;80), đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42. Vị trí tứ phân vị thứ ba: 3n/4 = 31,5. Tần số tích lũy: [0;20): 5; [20;40): 14; [40;60): 26; [60;80): 36. Vì 26 < 31,5 ≤ 36 nên Q3 thuộc nhóm [60;80). Đáp án C.