Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện hai bước: Bước 1: Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước. Bước 2: Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm và lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm. Đây chính là nội dung phương án A. Phương án B sai vì đếm số giá trị giống nhau chỉ dùng để lập bảng tần số cho mẫu số liệu không ghép nhóm, không phải mẫu số liệu ghép nhóm.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài nhóm $[160;167)$ là $167-160=7$. Các nhóm khác: $[150;160)$ dài $10$, $[167;170)$ dài $3$, $[175;180)$ dài $5$. Vậy nhóm có độ dài bằng $7$ là $[160;167)$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài mỗi nhóm là hiệu hai đầu mút: $400-350=450-400=\cdots =600-550=50$. Vậy các nhóm có độ dài bằng 50.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+14+10+8+3 = 40. Giá trị đại diện các nhóm: 2; 5; 8; 11; 14. Số trung bình: x̄ = (2·5 + 5·14 + 8·10 + 11·8 + 14·3)/40 = (10+70+80+88+42)/40 = 290/40 = 7,25. Mốt: nhóm có tần số lớn nhất là [4;6] với n_2 = 14 (nhóm trước có 5, nhóm sau có 10), độ dài nhóm h = 3. Mô = 4 + (14−5)/((14−5)+(14−10)) · 3 = 4 + 9/13 · 3 = 4 + 27/13 = 79/13 ≈ 6,08.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu: $n=1+6+12+14+8=41$. Giá trị đại diện nhóm $[2;4)$ là trung điểm: $(2+4)/2=3$. Độ dài nhóm $[8;10)$ là $10-8=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm) để tính số trung bình ước lượng.

Các giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 (gam).

Lô hàng A:
$${\bar{x}}_A=\frac{152,5\cdot 2+157,5\cdot 6+162,5\cdot 12+167,5\cdot 4+172,5\cdot 1}{25}=\frac{4042,5}{25}=161,7\text{ (gam)}.$$

Lô hàng B:
$${\bar{x}}_B=\frac{152,5\cdot 1+157,5\cdot 3+162,5\cdot 7+167,5\cdot 10+172,5\cdot 4}{25}=\frac{4127,5}{25}=165,1\text{ (gam)}.$$

Vì ${\bar{x}}_B=165,1>{\bar{x}}_A=161,7$ nên cân nặng trung bình quả cam ở lô hàng B lớn hơn ở lô hàng A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 16,8; 18,7; 19,1; 19,2; 20,6; 21,1; 23,5; 25,2. Theo đề bài, chia thành ba nhóm tương ứng ba tình trạng cân nặng: nhóm [16,5; 18,5) (thiếu cân) chứa giá trị 16,8 nên tần số là 1; nhóm [18,5; 23) (cân nặng lí tưởng) chứa các giá trị 18,7; 19,1; 19,2; 20,6; 21,1 nên tần số là 5; nhóm [23; 25,5) (thừa cân) chứa các giá trị 23,5; 25,2 nên tần số là 2. Tổng tần số bằng 1 + 5 + 2 = 8, đúng bằng cỡ mẫu. Bảng tần số ghép nhóm: Nhóm [16,5; 18,5) có tần số 1; nhóm [18,5; 23) có tần số 5; nhóm [23; 25,5) có tần số 2. Như vậy trong tổ có 1 học sinh thiếu cân, 5 học sinh có cân nặng lí tưởng và 2 học sinh thừa cân.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu có giá trị nhỏ nhất là 40 và giá trị lớn nhất là 63. Vì phải có nhóm $[40;45)$ nên các nhóm có độ dài bằng 5, gồm 5 nhóm: $[40;45)$, $[45;50)$, $[50;55)$, $[55;60)$, $[60;65)$.

Đếm tần số từng nhóm:
- Nhóm $[40;45)$: 43, 40, 40, 42, 44 → 5 giá trị.
- Nhóm $[45;50)$: 47, 48, 48, 46, 45, 47, 48 → 7 giá trị.
- Nhóm $[50;55)$: 51, 50, 53, 53, 50, 52, 54, 52, 50, 54, 53 → 11 giá trị.
- Nhóm $[55;60)$: 56, 56, 55, 55, 58, 55, 58 → 7 giá trị.
- Nhóm $[60;65)$: 62, 62, 60, 63, 60 → 5 giá trị.

Kiểm tra: $5+7+11+7+5=35$, đúng bằng số người trưởng thành.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$<table><tbody><tr><td>\text{Caˆn nặng (kg)}</td><td>[40;45)</td><td>[45;50)</td><td>[50;55)</td><td>[55;60)</td><td>[60;65)</td></tr><tr><td>\text{Taˆˋn soˆˊ}</td><td>5</td><td>7</td><td>11</td><td>7</td><td>5</td></tr></tbody></table>$$

Tổng cộng $n=35$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu gồm 24 giá trị: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27.

Bước 1: Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất:
$$x_{\min }=5,x_{\max }=54.$$

Bước 2: Cần lập 6 nhóm có độ dài bằng nhau, hiệu
$$\frac{54-5}{6}=\frac{49}{6}\approx 8,17.$$
Chọn độ dài nhóm bằng 10 (số nguyên thuận tiện) và bắt đầu từ 5.

Bước 3: Lập các nhóm và đếm tần số (giá trị $x$ thuộc nhóm $[a;b)$ nếu $a\le x<b$):
- Nhóm $[5;15)$: 12, 8, 5 → tần số 3.
- Nhóm $[15;25)$: 18, 19, 22, 20, 19, 17, 18, 23 → tần số 8 (giá trị 25 thuộc nhóm sau).
- Nhóm $[25;35)$: 25, 27, 25, 28, 25, 34, 27 → tần số 7.
- Nhóm $[35;45)$: 39, 36, 44 → tần số 3.
- Nhóm $[45;55)$: 54, 46, 46 → tần số 3.
- Nhóm $[55;65)$: không có giá trị nào → tần số 0.

Kiểm tra tổng tần số: $3+8+7+3+3+0=24$, đúng bằng cỡ mẫu $n=24$.

Bảng tần số ghép nhóm:



Lưu ý: các giá trị đầu mút (ví dụ 25) thuộc nhóm bên phải theo quy ước $[a;b)$, nên tần số nhóm $[15;25)$ là 8 và nhóm $[25;35)$ là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có giá trị nhỏ nhất $\min =492$ và giá trị lớn nhất $\max =653$, nên biên độ là $R=653-492=161$. Chia thành 7 nhóm có độ dài bằng nhau, ta chọn độ dài nhóm là $\frac{161}{7}\approx 23$, làm tròn lên thành $24$ để đảm bảo phủ hết toàn bộ dữ liệu (từ $492$ đến $660>653$). Các nhóm lần lượt là $[492;516),[516;540),[540;564),[564;588),[588;612),[612;636),[636;660)$. Đếm tần số: nhóm $[492;516)$ chứa $492,496,499,503,504,504,505,508,514$ nên có tần số $9$; nhóm $[516;540)$ chứa $516,535$ nên có tần số $2$; nhóm $[540;564)$ không chứa giá trị nào nên tần số $0$; nhóm $[564;588)$ chứa $565,572$ nên có tần số $2$; nhóm $[588;612)$ chứa $609$ nên có tần số $1$; nhóm $[612;636)$ chứa $632$ nên có tần số $1$; nhóm $[636;660)$ chứa $653$ nên có tần số $1$. Tổng $9+2+0+2+1+1+1=16$ đúng bằng cỡ mẫu $n=16$. Bảng phân bố tần số ghép nhóm: Thời gian ra sân (giờ): $[492;516)$ — tần số $9$; $[516;540)$ — $2$; $[540;564)$ — $0$; $[564;588)$ — $2$; $[588;612)$ — $1$; $[612;636)$ — $1$; $[636;660)$ — $1$; Cộng: $N=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+22+35+15=80$, nên trung vị là giá trị thứ $40$. Tần số tích lũy: nhóm $[2;3,5)$ có $8$; nhóm $[3,5;5)$ có $8+22=30<40$; nhóm $[5;6,5)$ có $30+35=65\ge 40$. Vậy giá trị thứ $40$ nằm trong nhóm $[5;6,5)$, tức nhóm chứa trung vị là $[5;6,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm thứ tư là $[156;158)$, giá trị đại diện là trung điểm: $(156+158)/2=157$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị trung tâm của lớp $[50;52)$ là $(50+52)/2=51$, nên A sai. Tần số lớp $[58;60)$ là $5$, nên B sai. Tần số lớp $[52;54)$ là $20$, nên C sai. Lớp $[54;56)$ chứa các giá trị từ $54$ đến dưới $56$, nên số $50$ không thuộc lớp này; D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [7; 9) với tần số 14. Ta có: $x_{Mo}=7$, $n_1=10$ (tần số nhóm trước), $n_2=14$, $n_3=7$ (tần số nhóm sau), độ dài nhóm $h=2$. Áp dụng công thức mốt: $Mo=7+\frac{14-10}{(14-10)+(14-7)}\cdot 2=7+\frac{4}{11}\cdot 2=7+\frac{8}{11}\approx 7,73$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu là tổng các tần số: $n=1+4+8+12+3+2=30$. Bảng có 6 nhóm chiều cao: $[85;90),[90;95),[95;100),[100;105),[105;110),[110;115)$. Vậy số liệu và nhóm là $30$ và $6$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy của nhóm 3 là: $1+(x-4)+(x^2-3x+11)=x^2-2x+8=23$, suy ra $x^2-2x-15=0$, tức $(x-5)(x+3)=0$, nên $x=5$ hoặc $x=-3$. Vì tần số nhóm 2 là $x-4>0$ nên $x>4$, do đó $x=5$. Kiểm tra: các tần số là $1,1,21,12,3,2$, tần số tích lũy nhóm 3 là $1+1+21=23$ đúng. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=10+7+16+4+2+3=42$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $43;48;53;58;63;68$. Cân nặng trung bình: $\bar{x}=\frac{43\cdot 10+48\cdot 7+53\cdot 16+58\cdot 4+63\cdot 2+68\cdot 3}{42}=\frac{430+336+848+232+126+204}{42}=\frac{2176}{42}\approx 51,8095\approx 51,81$ (kg). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+8+12+12+4=39$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 39}{4}=29,25$. Tần số tích lũy: $3;11;23;35;39$. Vì $23<29,25\le 35$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[6;8)$ với $c=6$, $h=2$, $f=12$, $cf=23$. Do đó $Q_3=6+\frac{2(29,25-23)}{12}=6+\frac{12,5}{12}\approx 7,042$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=40. Tần số tích lũy: 2; 12; 28; 36; 38; 40.
Q1: vị trí n/4=10, thuộc nhóm [40;50): Q1=40+10·(10−2)/10=48 (kg).
Q2: vị trí n/2=20, thuộc nhóm [50;60): Q2=50+10·(20−12)/16=55 (kg).
Q3: vị trí 3n/4=30, thuộc nhóm [60;70): Q3=60+10·(30−28)/8=62,5 (kg).
Vậy chỉ mệnh đề b) đúng; a), c), d) sai vì các giá trị Q1, Q2, Q3 đều khác kết quả tính được.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Q1=48, Q2=55, Q3=62,5 nên các giá trị 49; 50; 52,5 đều sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng. Q1=40+10·(10−2)/10=48; Q2=50+10·(20−12)/16=55; Q3=60+10·(30−28)/8=62,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Các giá trị đúng là Q1=48, Q2=55, Q3=62,5, khác 47; 54; 63,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai. Các giá trị đúng là Q1=48, Q2=55, Q3=62,5, khác 46; 53; 64,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=2+10+16+8+2+2=40$, nên mệnh đề a đúng. Tần số tích lũy: $[30;40)$: 2; $[40;50)$: 12; $[50;60)$: 28; $[60;70)$: 36; $[70;80)$: 38; $[80;90)$: 40.
- $Q_1$: giá trị thứ $\frac{40}{4}=10$ nằm trong nhóm $[40;50)$: $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$ → mệnh đề b đúng.
- $Q_2$: giá trị thứ $\frac{40}{2}=20$ nằm trong nhóm $[50;60)$: $Q_2=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55\ne 45$ → mệnh đề c sai.
- $Q_3$: giá trị thứ $\frac{3\cdot 40}{4}=30$ nằm trong nhóm $[60;70)$: $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5\ne 61,5$ → mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=2+10+16+8+2+2=40$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 10 nằm trong nhóm $[40;50)$: $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 20 nằm trong nhóm $[50;60)$: $Q_2=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55\ne 45$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 30 nằm trong nhóm $[60;70)$: $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5\ne 61,5$.