Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=45+34+23+18+5=125$.

**Tứ phân vị thứ nhất:** $\frac{n}{4}=31,25$. Vì $31,25\le 45$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[0;2)$ với $x_1=0$, $f_1=45$, $h=2$:
$$Q_1=0+\frac{31,25-0}{45}\cdot 2=\frac{62,5}{45}\approx 1,39\text{ (phuˊt)}.$$

**Tứ phân vị thứ hai (trung vị):** $\frac{n}{2}=62,5$. Tần số tích lũy: $45;79;102;120;125$. Vì $45<62,5\le 79$ nên $Q_2$ thuộc nhóm $[2;4)$:
$$Q_2=2+\frac{62,5-45}{34}\cdot 2=2+\frac{35}{34}\approx 3,03\text{ (phuˊt)}.$$

**Tứ phân vị thứ ba:** $\frac{3n}{4}=93,75$. Vì $79<93,75\le 102$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[4;6)$:
$$Q_3=4+\frac{93,75-79}{23}\cdot 2=4+\frac{29,5}{23}\approx 5,28\text{ (phuˊt)}.$$

Vậy $Q_1\approx 1,39$ phút; $Q_2\approx 3,03$ phút; $Q_3\approx 5,28$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+16+4+2+2=32$. Đại diện mỗi nhóm là giá trị trung tâm: $2,5$; $7,5$; $12,5$; $17,5$; $22,5$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 2,5+16\cdot 7,5+4\cdot 12,5+2\cdot 17,5+2\cdot 22,5}{32}=\frac{20+120+50+35+45}{32}=\frac{270}{32}=8,4375$ giờ. Vậy thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh này khoảng $8,44$ giờ (tức $8$ giờ $26$ phút $15$ giây).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu là tổng số xe quan sát: $n=17+33+25+20+5=100$.

Đây là mẫu số liệu ghép nhóm. Ta chuyển các lớp về dạng $[a;b)$ bằng cách lấy biên dưới và biên trên cách nhau 1 đơn vị (vì mỗi lớp gồm 2 giá trị nguyên):
$[0,5;2,5),[2,5;4,5),[4,5;6,5),[6,5;8,5),[8,5;10,5)$ với tần số tương ứng $17,33,25,20,5$; độ dài mỗi lớp $h=2$.

Tần số tích lũy: $17;50;75;95;100$.

• Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $[2,5;4,5)$ (tần số tích lũy trước là 17):
$$Q_1=2,5+\frac{25-17}{33}\cdot 2=2,5+\frac{16}{33}\approx 2,98.$$

• Tứ phân vị thứ hai (trung vị): $\frac{n}{2}=50$, nhóm chứa $Q_2$ là nhóm $[2,5;4,5)$:
$$Q_2=2,5+\frac{50-17}{33}\cdot 2=2,5+2=4,5.$$

• Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $[4,5;6,5)$ (tần số tích lũy trước là 50):
$$Q_3=4,5+\frac{75-50}{25}\cdot 2=4,5+2=6,5.$$

Vậy cỡ mẫu $n=100$, $Q_1\approx 2,98$; $Q_2=4,5$; $Q_3=6,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[10,5;20,5)$ với $n_1=10$ học sinh. Khi đó $n_0=2$ (tần số nhóm trước), $n_2=6$ (tần số nhóm sau), độ dài nhóm $h=20,5-10,5=10$.

Áp dụng công thức mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$M_o=10,5+\frac{n_1-n_0}{(n_1-n_0)+(n_1-n_2)}\cdot h=10,5+\frac{10-2}{(10-2)+(10-6)}\cdot 10.$$

Tính toán:
$$M_o=10,5+\frac{8}{8+4}\cdot 10=10,5+\frac{8}{12}\cdot 10=10,5+\frac{20}{3}=\frac{63}{6}+\frac{40}{6}=\frac{103}{6}\approx 17,17\text{ (phuˊt)}.$$

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_o=\frac{103}{6}\approx 17,17$ phút, tức thời gian mà học sinh hoàn thành câu hỏi thi nhiều nhất xấp xỉ $17,17$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là [15;20) với n2 = 47 công nhân. Ta có: x_1 = 15, x_2 = 20, n_1 = 35 (tần số nhóm trước), n_3 = 25 (tần số nhóm sau). Mốt: Mo = 15 + (47-35)/((47-35)+(47-25)) · (20-15) = 15 + 12/34 · 5 = 15 + 30/17 = 285/17 ≈ 16,76 (triệu đồng). Ý nghĩa: mức thưởng tết điển hình của công nhân nhà máy khoảng 16,76 triệu đồng, tức là phần lớn công nhân nhận mức thưởng xấp xỉ giá trị này.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Mẫu số liệu ghép nhóm với các lớp [10;15), [15;20), [20;25), [25;30), [30;35), [35;40) có tần số tương ứng 2; 5; 15; 8; 9; 1 (N = 40). Giá trị đại diện của mỗi lớp là trung điểm: 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{12,5\cdot 2+17,5\cdot 5+22,5\cdot 15+27,5\cdot 8+32,5\cdot 9+37,5\cdot 1}{40}=\frac{25+87,5+337,5+220+292,5+37,5}{40}=\frac{1000}{40}=25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=21$ nên trung vị là $x_{11}$ (vì $\frac{21+1}{2}=11$). Theo phân bố: $x_1,\dots ,x_3$ thuộc $[0;5)$, $x_4,\dots ,x_{11}$ thuộc $[5;10)$. Vậy $x_{11}$ thuộc nhóm $[5;10)$, tức trung vị thuộc nhóm $[5;10)$ (nhóm thứ hai, có tần số 8).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=200$, nên trung vị là trung bình cộng của phần tử thứ 100 và thứ 101. Tần số tích lũy: 18, 46, 81, 124, 165, 200. Cả hai phần tử thứ 100 và 101 đều thuộc nhóm $[165;170)$ vì tần số tích lũy trước nhóm này là 81. Áp dụng công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Me=165+\frac{\frac{200}{2}-81}{43}\cdot 5=165+\frac{100-81}{43}\cdot 5=165+\frac{95}{43}\approx 167,21$ (km/h). Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ $167,21$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm): $[4;6)\to 5$, $[6;8)\to 7$, $[8;10)\to 9$, $[10;12)\to 11$, $[12;14)\to 13$. Khối lượng trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+7\cdot 12+9\cdot 19+11\cdot 9+13\cdot 4}{50}=\frac{30+84+171+99+52}{50}=\frac{436}{50}=8,72(kg)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm): $[4;6)\to 5$, $[6;8)\to 7$, $[8;10)\to 9$, $[10;12)\to 11$, $[12;14)\to 13$. Khối lượng trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 6+7\cdot 12+9\cdot 19+11\cdot 9+13\cdot 4}{50}=\frac{30+84+171+99+52}{50}=\frac{436}{50}=8,72(kg)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 12 ứng với nhóm $[40;60)$. Vậy nhóm chứa mốt là $[40;60)$, khớp với đáp án D của đề 1008.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả. b) Đúng: thùng B có 10+4=14 quả nặng từ 280g trở lên, thùng A có 4+3=7 quả, 14>7. c) Đúng: thùng A có 12+4+3=19 quả nặng từ 270g trở lên nên P(A)=19/25; thùng B có 7+10+4=21 quả nên P(B)=21/25; hai lần lấy độc lập nên xác suất = (19/25)(21/25)=399/625=0,6384. d) Đúng: số trung bình thùng A = (255·2+265·4+275·12+285·4+295·3)/25 = 6895/25 = 275,8g; thùng B = (255·1+265·3+275·7+285·10+295·4)/25 = 7005/25 = 280,2g; 275,8 < 280,2. Kết quả khớp đáp án mã đề 1008: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả, không phải 25 quả.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thùng B: 10+4=14 quả nặng từ 280g trở lên; thùng A: 4+3=7 quả. Vì 14>7 nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A) = (12+4+3)/25 = 19/25; P(B) = (7+10+4)/25 = 21/25. Hai lần lấy độc lập nên P = 19/25 · 21/25 = 399/625 = 0,6384.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình thùng A = 6895/25 = 275,8g; thùng B = 7005/25 = 280,2g. Vì 275,8 < 280,2 nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi thùng chứa 25 quả nên tổng số táo hai thùng là 50 quả, không phải 25 quả → Sai. b) Số trung bình thùng A: ${\bar{x}}_A=\frac{255\cdot 2+265\cdot 4+275\cdot 12+285\cdot 4+295\cdot 3}{25}=\frac{6895}{25}=275,8$ g; thùng B: ${\bar{x}}_B=\frac{255\cdot 1+265\cdot 3+275\cdot 7+285\cdot 10+295\cdot 4}{25}=\frac{7005}{25}=280,2$ g. Vì $275,8<280,2$ → Đúng. c) Thùng A có $4+3=7$ quả nặng từ 280g trở lên; thùng B có $10+4=14$ quả; $14>7$ → Đúng. d) $P(A\ge 270)=\frac{12+4+3}{25}=\frac{19}{25}=0,76$; $P(B\ge 270)=\frac{7+10+4}{25}=\frac{21}{25}=0,84$. Hai lần lấy độc lập nên $P=0,76\cdot 0,84=0,6384$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1007: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi thùng 25 quả nên tổng là 50 quả, không phải 25 quả.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=275,8$ g < ${\bar{x}}_B=280,2$ g.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thùng B có 14 quả ≥ 280g, thùng A có 7 quả; 14 > 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{19}{25}\cdot \frac{21}{25}=0,76\cdot 0,84=0,6384$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Tần số các nhóm lần lượt là 5, 9, 12, 10, 6; tần số lớn nhất là 12 ứng với nhóm $[40;60)$. Vậy nhóm chứa mốt là $[40;60)$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là $[31;36)$ với tần số lớn nhất $n_4=18$, tần số nhóm trước $n_3=8$, nhóm sau $n_5=4$, độ dài nhóm $h=5$. Áp dụng công thức mốt: $M_o=31+\frac{18-8}{(18-8)+(18-4)}\cdot 5=31+\frac{10}{24}\cdot 5\approx 33,08\approx 33$. Vậy mốt gần nhất với 33, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 40, ứng với nhóm $[162;168)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+9+12+10+6=42$. Vị trí tứ phân vị thứ nhất là $n/4=42/4=10,5$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 5, nhóm $[20;40)$ có $5+9=14$. Vì $5<10,5\le 14$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[20;40)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$. Tần số tích lũy: nhóm 1 là 3, nhóm 2 là 15, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ với $n_2=12$. Áp dụng công thức: $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot (15,5-12,5)=12,5+\frac{11}{12}\cdot 3=12,5+2,75=15,25$. Vậy $Q_1=15,25$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+10+12+9+4 = 40. Vị trí tứ phân vị thứ ba: 3n/4 = 30. Tần số tích lũy: 5, 15, 27, 39, 40. Vì 27 < 30 ≤ 39, giá trị 30 nằm trong nhóm [60;80). Vậy nhóm chứa Q3 là [60;80), đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42. Vị trí tứ phân vị thứ ba: 3n/4 = 31,5. Tần số tích lũy: [0;20): 5; [20;40): 14; [40;60): 26; [60;80): 36. Vì 26 < 31,5 ≤ 36 nên Q3 thuộc nhóm [60;80). Đáp án C.