Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=7+14+25+37+21+14+10=128$. Tần số tích lũy: 7, 21, 46, 83, 104, 118, 128.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=32$, nhóm chứa $Q_1$ là $[25;30)$ với $n_1=25$, $c=21$, $h=5$:
$$Q_1=25+\frac{5(32-21)}{25}=25+\frac{55}{25}=\frac{136}{5}.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=96$, nhóm chứa $Q_3$ là $[35;40)$ với $n_3=21$, $c=83$, $h=5$:
$$Q_3=35+\frac{5(96-83)}{21}=35+\frac{65}{21}=\frac{800}{21}.$$

Vậy $Q_1=\frac{136}{5},Q_3=\frac{800}{21}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (30 giá trị): 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 11, 12, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 24, 25, 26, 26, 28, 29, 29. Min = 3, max = 29, chọn 6 nhóm độ dài 4,5: [3;7,5) có 6; [7,5;12) có 4; [12;16,5) có 6; [16,5;21) có 4; [21;25,5) có 5; [25,5;30) có 5 (tổng 30).
a) Cỡ mẫu n = 30 → đúng.
b) Các giá trị đại diện: 5,25; 9,75; 14,25; 18,75; 23,25; 27,75. Trung bình = (6·5,25 + 4·9,75 + 6·14,25 + 4·18,75 + 5·23,25 + 5·27,75)/30 = 486/30 = 16,2 → đúng.
c) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là R = 30 − 3 = 27 ≠ 26 → sai.
d) Q1: vị trí 30/4 = 7,5 thuộc nhóm [7,5;12): Q1 = 7,5 + (7,5 − 6)/4 · 4,5 = 9,1875. Q3: vị trí 22,5 thuộc nhóm [21;25,5): Q3 = 21 + (22,5 − 20)/5 · 4,5 = 23,25. Khoảng tứ phân vị = 23,25 − 9,1875 = 14,0625 ≈ 14,1 ≠ 14,5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 30 giá trị nên cỡ mẫu n = 30.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với các nhóm [3;7,5), [7,5;12), [12;16,5), [16,5;21), [21;25,5), [25,5;30) có tần số 6, 4, 6, 4, 5, 5 và giá trị đại diện 5,25; 9,75; 14,25; 18,75; 23,25; 27,75, ta được x̄ = 486/30 = 16,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là R = 30 − 3 = 27, không phải 26.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 7,5 + (7,5 − 6)/4 · 4,5 = 9,1875; Q3 = 21 + (22,5 − 20)/5 · 4,5 = 23,25; ΔQ = 23,25 − 9,1875 = 14,0625 ≈ 14,1 ≠ 14,5.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm tần số từ dữ liệu: [6,0;6,5) có 2 giá trị (6,3; 6,2); [6,5;7,0) có 5 giá trị (6,5; 6,8; 6,9; 6,6; 6,7); [7,0;7,5) có 10 giá trị (7,0; 7,1; 7,2; 7,4; 7,3; 7,2; 7,1; 7,0; 7,1; 7,3); [7,5;8,0) có 9 giá trị (7,5; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,8; 7,5; 7,7; 7,8); [8,0;8,5) có 3 giá trị (8,2; 8,3; 8,4); [8,5;9,0) có 1 giá trị (8,7). Vậy bảng tần số ở mệnh đề a là đúng.

b) Số trung bình của mẫu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện): $\bar{x}=\frac{6,25\cdot 2+6,75\cdot 5+7,25\cdot 10+7,75\cdot 9+8,25\cdot 3+8,75\cdot 1}{30}=\frac{222}{30}=7,4$ giây, không phải 7,5 → sai.

c) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là hiệu hai đầu mút của lớp đầu và lớp cuối: $R=9,0-6,0=3,0\ne 3,1$ → sai.

d) Tần số tích lũy: 2; 7; 17; 26; 29; 30. Vì $\frac{n}{4}=7,5$ nên $Q_1$ thuộc lớp [7,0;7,5): $Q_1=7,0+\frac{7,5-7}{10}\cdot 0,5=7,025$. Vì $\frac{3n}{4}=22,5$ nên $Q_3$ thuộc lớp [7,5;8,0): $Q_3=7,5+\frac{22,5-17}{9}\cdot 0,5\approx 7,6528$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q\approx 7,6528-7,025=0,628\ne 0,781$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm được tần số các lớp lần lượt là 2; 5; 10; 9; 3; 1, đúng như bảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu ghép nhóm là 222/30 = 7,4 giây, không phải 7,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = 9,0 − 6,0 = 3,0 ≠ 3,1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 7,025; Q3 ≈ 7,6528 nên ΔQ ≈ 0,628 ≠ 0,781.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i{n}_i$ với $n=43$. Ta có: $152,5\cdot 5=762,5$; $157,5\cdot 10=1575$; $162,5\cdot 12=1950$; $167,5\cdot 9=1507,5$; $172,5\cdot 4=690$; $177,5\cdot 3=532,5$. Tổng $=762,5+1575+1950+1507,5+690+532,5=7017,5$. Vậy $\bar{x}=\frac{7017,5}{43}\approx 163,1977\approx 163,20$ (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai Q2 là trung vị. Ta có n = 43 nên n/4 = 10,75 và 2n/4 = 21,5. Tần số tích lũy: 5; 15; 27; 36; 40; 43. Vì 15 < 21,5 ≤ 27 nên Q2 thuộc nhóm [160; 165). Áp dụng công thức tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: Q2 = 160 + ((21,5 - 15)/12)·5 = 160 + 32,5/12 = 160 + 2,7083... ≈ 162,92 (cm). Vậy tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là Q2 ≈ 162,92 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 6, 8, 10, 12, 14. Số trung bình x̄ = (6·2 + 8·7 + 10·7 + 12·3 + 14·1)/20 = (12 + 56 + 70 + 36 + 14)/20 = 188/20 = 9,4 (triệu đồng). Vì 9,4 ∈ [9;11) nên số trung bình thuộc khoảng [9;11).

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=10+7+16+4+2+3=42$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $43;48;53;58;63;68$. Cân nặng trung bình: $\bar{x}=\frac{10\cdot 43+7\cdot 48+16\cdot 53+4\cdot 58+2\cdot 63+3\cdot 68}{42}=\frac{430+336+848+232+126+204}{42}=\frac{2176}{42}\approx 51,81$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $n=25+35+37+15+8=120$. Giá trị đại diện các nhóm: $10;30;50;70;90$. Điểm trung bình: $\bar{x}=\frac{25\cdot 10+35\cdot 30+37\cdot 50+15\cdot 70+8\cdot 90}{120}=\frac{250+1050+1850+1050+720}{120}=\frac{4920}{120}=41$. Vậy $\bar{x}=41\in [40;45]$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: 51, 53, 55, 57, 59 với tần số 15, 20, 45, 15, 5 (n=100).
a) Tần suất nhóm [52;54) = 20/100 = 20% → đúng.
b) Số trung vị: n/2 = 50, tần số tích lũy 15, 35, 80 nên trung vị thuộc nhóm [54;56): Me = 54 + (50−35)/45 · 2 = 54 + 30/45 ≈ 54,667 ≠ 54,909 → sai.
c) Khoảng biến thiên = 60 − 50 = 10 → đúng.
d) Số trung bình x̄ = (15·51+20·53+45·55+15·57+5·59)/100 = 5450/100 = 54,5. Σnᵢxᵢ² = 15·2601+20·2809+45·3025+15·3249+5·3481 = 297460, nên s² = 2974,6 − 54,5² = 2974,6 − 2970,25 = 4,35 và s = √4,35 ≈ 2,09 ≠ 4,35 (4,35 là phương sai, không phải độ lệch chuẩn) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tần suất = 20/100 = 20%.
b) (AI giải đề cho tôi)
Me = 54 + (50−35)/45·2 ≈ 54,667, không phải 54,909.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = 60 − 50 = 10.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 4,35 nên s = √4,35 ≈ 2,09; 4,35 là phương sai chứ không phải độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=45+34+23+18+5=125$. Tần số tích lũy: $45;79;102;120;125$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=31,25$ nằm trong nhóm $[0;2)$ nên
$$Q_1=0+\frac{31,25-0}{45}\cdot 2=\frac{62,5}{45}\approx 1,389.$$

Trung vị: vị trí $\frac{n}{2}=62,5$ nằm trong nhóm $[2;4)$ nên
$$Q_2=2+\frac{62,5-45}{34}\cdot 2=2+\frac{35}{34}\approx 3,029.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=93,75$ nằm trong nhóm $[4;6)$ nên
$$Q_3=4+\frac{93,75-79}{23}\cdot 2=4+\frac{29,5}{23}\approx 5,283.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 5,283-1,389\approx 3,89\text{ (phuˊt)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+6+15+12+3=40$. Tần số tích lũy: 4, 10, 25, 37, 40.

a) Tứ phân vị:
- $Q_1$: vị trí $\frac{n}{4}=10$ nằm trong nhóm $[30;60)$ nên $Q_1=30+\frac{10-4}{6}\cdot 30=60$ (phút).
- $Q_2$: vị trí $\frac{n}{2}=20$ nằm trong nhóm $[60;90)$ nên $Q_2=60+\frac{20-10}{15}\cdot 30=80$ (phút).
- $Q_3$: vị trí $\frac{3n}{4}=30$ nằm trong nhóm $[90;120)$ nên $Q_3=90+\frac{30-25}{12}\cdot 30=102,5$ (phút).

b) Khoảng tứ phân vị: $\Delta Q=Q_3-Q_1=102,5-60=42,5$ (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Tần số tích lũy: 5, 17, 40, 71, 100.

a) Tứ phân vị:
- $\frac{n}{4}=25$: vì 25 > 17 và 25 ≤ 40 nên $Q_1$ thuộc nhóm $[40;60)$:
$$Q_1=40+20\cdot \frac{25-17}{23}=40+\frac{160}{23}\approx 46,96\text{ (ngaˋy)}.$$
- $\frac{n}{2}=50$: vì 50 > 40 và 50 ≤ 71 nên $Q_2$ thuộc nhóm $[60;80)$:
$$Q_2=60+20\cdot \frac{50-40}{31}=60+\frac{200}{31}\approx 66,45\text{ (ngaˋy)}.$$
- $\frac{3n}{4}=75$: vì tần số tích lũy đến nhóm $[60;80)$ là 71 < 75 và tần số tích lũy đến nhóm $[80;100)$ là 100 ≥ 75, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[80;100)$:
$$Q_3=80+20\cdot \frac{75-71}{29}=80+\frac{80}{29}\approx 82,76\text{ (ngaˋy)}.$$

b) Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 82,76-46,96=35,8\text{ (ngaˋy)}.$$

Vậy $Q_1\approx 46,96$ ngày, $Q_2\approx 66,45$ ngày, $Q_3\approx 82,76$ ngày, khoảng tứ phân vị $\approx 35,8$ ngày.

Xác định nhóm chứa mốt: Nhóm có tần số lớn nhất là [90; 100) với tần số 12. Vậy nhóm chứa mốt là [90; 100), do đó $u_m=90$, $u_{m+1}=100$, $n_m=12$, $n_{m-1}=5$, $n_{m+1}=6$. Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $$M_o=u_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{(n_m-n_{m-1})+(n_m-n_{m+1})}\cdot (u_{m+1}-u_m)=90+\frac{12-5}{(12-5)+(12-6)}\cdot 10=90+\frac{70}{13}=\frac{1240}{13}.$$ Đáp số: $M_o=\frac{1240}{13}\approx 95,38$ (gam).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hộ: $24+57+42+29+18=170$. Số hộ cần gửi thông báo: $25\%\cdot 170=42,5$ hộ (các hộ tiêu thụ nhiều nhất). Xét từ nhóm có lượng nước cao nhất xuống: nhóm $[15;18)$ có 18 hộ, nhóm $[12;15)$ có 29 hộ, cộng dồn $18+29=47>42,5$, nên mốc nằm trong nhóm $[12;15)$. Số hộ cần thêm từ nhóm $[12;15)$: $42,5-18=24,5$ hộ. Theo công thức nội suy, ngưỡng $x$ thỏa $\frac{15-x}{3}=\frac{24,5}{29}$, suy ra $x=15-\frac{24,5\cdot 3}{29}=15-2,\mathrm{5345...}\approx 12,5$. Vậy công ty cần gửi thông báo cho các hộ tiêu thụ từ khoảng $12,5m^3$ trở lên, khớp với đáp án 12.5.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: 38,5; 45,5; 52,5; 59,5; 66,5. Tổng tích: $2\cdot 38,5+3\cdot 45,5+13\cdot 52,5+35\cdot 59,5+31\cdot 66,5=77+136,5+682,5+2082,5+2061,5=5040$. Cân nặng trung bình $=5040:84=60$ kg. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$. Cộng dồn tần số: nhóm $[9,5;12,5)$ có 3, nhóm $[12,5;15,5)$ có 15. Vì $3<14\le 15$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$ với $n_1=12$, $c=3$. Do đó $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 3=12,5+\frac{11}{4}=15,25$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng số liệu ghép nhóm có 7 nhóm: $[150;152)$, $[152;154)$, $[154;156)$, $[156;158)$, $[158;160)$, $[160;162)$, $[162;168)$. Vậy mẫu số liệu có 7 nhóm.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[60;80)$ là trung bình cộng hai đầu mút: $(60+80)/2=70$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng tần số của Câu 46, nhóm $[20;40)$ có tần số là $9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số lớn nhất là 12 ứng với nhóm $[40;60)$, nên nhóm chứa mốt là $[40;60)$.