Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=25$ giá trị. Tổng: hàng thứ nhất bằng 775, hàng thứ hai bằng 738, tổng cộng 1513, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{1513}{25}=60,52$. Tổng bình phương: hàng thứ nhất bằng 49935, hàng thứ hai bằng 46950, tổng cộng 96885. Phương sai $s^2=\frac{96885}{25}-(60,52{)}^2=3875,4-3662,6704=212,7296$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{212,7296}\approx 14,5866\approx 14,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi tổ.
Tổ 1: các điểm 7; 8; 7,5; 7; 6; 6,5; 8; 7 có tổng ${\bar{x}}_1=\frac{57}{8}=7,125$.
Tổng bình phương: $49+64+56,25+49+36+42,25+64+49=409,5$.
Phương sai: $s_1^2=\frac{409,5}{8}-(7,125{)}^2=51,1875-50,765625=0,421875$, nên $s_1\approx 0,65$.
Tổ 2: các điểm 6; 7; 8; 6,5; 8,5; 7,7; 8; 8,5 có tổng ${\bar{x}}_2=\frac{60,2}{8}=7,525$.
Tổng bình phương: $36+49+64+42,25+72,25+59,29+64+72,25=459,04$.
Phương sai: $s_2^2=\frac{459,04}{8}-(7,525{)}^2=57,38-56,625625=0,754375$, nên $s_2\approx 0,87$.
Vì $s_1<s_2$ (các điểm tổ 1 phân tán quanh số trung bình ít hơn), nên tổ 1 học Ngữ văn đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=5$ giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa đầu (152, 154): $Q_1=153$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa sau (158, 160): $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu. Giá trị lớn nhất là 164, giá trị nhỏ nhất là 156, nên $R=164-156=8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=15$): 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14. Khoảng biến thiên $R=14-6=8$. $Q_1$ là giá trị thứ $(15+1)/4=4$ → $Q_1=8$; $Q_3$ là giá trị thứ $3(15+1)/4=12$ → $Q_3=12$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=12-8=4$. Vậy $R=8$ và ${\Delta }_Q=4$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu hai vùng đều bằng 335 nên trung bình cùng bằng 335/7 ≈ 47,86 → A đúng. Khoảng biến thiên: A = 54 − 41 = 13, B = 52 − 43 = 9 → D đúng. Khoảng tứ phân vị: vùng A có Q1 = 44, Q3 = 53 nên Δq = 9; vùng B có Q1 = 44, Q3 = 51 nên Δq = 7 → B đúng. Phương sai vùng A (các số liệu phân tán hơn) lớn hơn vùng B, nên vùng B ổn định hơn vùng A; khẳng định C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình: $\bar{x}=\frac{34+34+36+35+33+31+30}{7}=\frac{233}{7}\approx 33,29$. Tổng bình phương độ lệch: $(34-\bar{x}{)}^2\cdot 2+(36-\bar{x}{)}^2+(35-\bar{x}{)}^2+(33-\bar{x}{)}^2+(31-\bar{x}{)}^2+(30-\bar{x}{)}^2\approx 27,43$. Phương sai mẫu $s^2\approx 27,43/7\approx 3,92$, nên $s\approx 1,98\in (1;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=1+3+12+4+20+8=48$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 1+7\cdot 3+8\cdot 12+8,5\cdot 4+9\cdot 20+10\cdot 8}{48}=\frac{416}{48}\approx 8,667$. Tổng $\sum f_i{x}_i^2=25+147+768+289+1620+800=3649$. Phương sai: $s^2=\frac{3649}{48}-{\left(\frac{416}{48}\right)}^2\approx 76,021-75,111\approx 0,91$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{0,91}\approx 0,95$. Vậy phương sai và độ lệch chuẩn lần lượt gần nhất với $0,91$ và $0,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (n=13): 35, 38, 43, 43, 43, 45, 45, 45, 48, 48, 48, 50, 50. Tứ phân vị: Q1 ở vị trí 0,25·12=3 → Q1=43; Q3 ở vị trí 0,75·12=9 → Q3=48; IQR=5. Khoảng xác định giá trị bất thường: [Q1−1,5·IQR; Q3+1,5·IQR]=[35,5; 55,5]. Giá trị 35 nằm ngoài khoảng này nên 35 là giá trị bất thường. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=20-15=5$. Giới hạn xác định giá trị bất thường: dưới $Q_1-1,5\cdot IQR=15-7,5=7,5$ và trên $Q_3+1,5\cdot IQR=20+7,5=27,5$. Trong các giá trị $8,10,27,28$, chỉ có $28>27,5$ nên $28$ là giá trị bất thường. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 14 giá trị: hàng 1: 1884+1600+1645+2049,9+1913,8+1664,1+1846,5 = 12603,3; hàng 2: 1964,8+1951+2023,6+1996,2+1699,1+1845+2190,4 = 13670,1. Tổng cộng 26273,4, nên số giờ nắng trung bình là 26273,4/14 ≈ 1876,67 giờ, không phải 1826,67 giờ → (a) Sai. Giá trị nhỏ nhất là 1600 → (b) Đúng. Giá trị lớn nhất là 2190,4 → (c) Đúng. Khoảng biến thiên R = 2190,4 − 1600 = 590,4 ≠ 520,4 → (d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 26273,4/14 ≈ 1876,67 giờ, không phải 1826,67 giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu là 1600 giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu là 2190,4 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên R = 2190,4 − 1600 = 590,4, không phải 520,4.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu A: $n=33$, $\sum x_i{n}_i=1+4+9+12+10+24+14+32+9+30+44+24+13+14=240$, nên $\overline{x_A}=240/33\approx 7,27$ → (a) đúng. $\sum x_i^2{n}_i=2150$ nên $s_A^2=2150/33-(240/33{)}^2\approx 65,15-52,90=12,25$, $s_A\approx 3,50\ne 2,5$ → (c) sai. Mẫu B: $n=33$, $\sum x_i{n}_i=269$, $\overline{x_B}\approx 8,15$; $\sum x_i^2{n}_i=2407$ nên $s_B^2=2407/33-(269/33{)}^2\approx 72,94-66,45=6,49\ne 6,21$ → (b) sai. Vì $s_A^2\approx 12,25>s_B^2\approx 6,49$ nên mẫu A có độ phân tán cao hơn mẫu B → (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=33$, $\sum x_i{n}_i=240$, $\overline{x_A}=240/33\approx 7,27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s_B^2=2407/33-(269/33{)}^2\approx 6,49$, không phải 6,21.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=2150/33-(240/33{)}^2\approx 12,25$ nên $s_A\approx 3,50\ne 2,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2\approx 12,25>s_B^2\approx 6,49$ nên mẫu A phân tán cao hơn mẫu B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu (đã sắp xếp): 1; 4; 5; 6; 6; 8; 10; 11; 12; 25 (n = 10).

(a) Tổng các giá trị: 1+4+5+6+6+8+10+11+12+25 = 88, nên $\overline{x}=\frac{88}{10}=8,8$ phút. Mệnh đề ĐÚNG.

(b) Tách mẫu thành nửa dưới 1; 4; 5; 6; 6 và nửa trên 8; 10; 11; 12; 25. Khi đó $Q_1=5$, $Q_3=11$, nên ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=11-5=6\ne 5$ phút. Mệnh đề SAI.

(c) Phương sai: $\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=(-7,8{)}^2+(-4,8{)}^2+(-3,8{)}^2+2(-2,8{)}^2+(-0,8{)}^2+(1,2{)}^2+(2,2{)}^2+(3,2{)}^2+(16,2{)}^2=393,6$.
- Nếu dùng phương sai hiệu chỉnh: $s^2=\frac{393,6}{9}\approx 43,73\Rightarrow s\approx 6,61$.
- Nếu dùng phương sai của tổng thể: $s^2=\frac{393,6}{10}=39,36\Rightarrow s\approx 6,27$.
Cả hai cách đều cho $s\ne 5,27$. Mệnh đề SAI.

(d) Khoảng biến thiên hợp lệ: $[Q_1-1,5{\Delta }_Q;Q_3+1,5{\Delta }_Q]=[5-9;11+9]=[-4;20]$. Vì $25>20$ nên 25 là giá trị bất thường. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu là 88, n = 10 nên $\overline{x}=8,8$ phút.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=5$, $Q_3=11$ nên ${\Delta }_Q=6$, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương độ lệch là 393,6; $s\approx 6,61$ (hiệu chỉnh) hoặc $\approx 6,27$ (tổng thể), đều khác 5,27.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bất thường là $Q_3+1,5{\Delta }_Q=11+9=20<25$, nên 25 là giá trị bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 22, 24, 37, 38, 38, 43, 47, 48, 48, 70.

Tứ phân vị: Q1 ở vị trí 0,25(n+1) = 2,75, tức giữa giá trị thứ 2 và thứ 3: Q1 = 24 + 0,75(37 − 24) = 33,75.
Q3 ở vị trí 0,75(n+1) = 8,25, tức giữa giá trị thứ 8 và thứ 9: Q3 = 48 + 0,25(48 − 48) = 48.

Khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 − Q1 = 48 − 33,75 = 14,25.

Giới hạn xác định giá trị ngoại lệ:
- Dưới: Q1 − 1,5·IQR = 33,75 − 21,375 = 12,375.
- Trên: Q3 + 1,5·IQR = 48 + 21,375 = 69,375.

Giá trị 70 > 69,375 nên 70 là giá trị ngoại lệ (không có giá trị nào nhỏ hơn 12,375).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+2+5+2+6=19$.

Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{2\cdot 4+3\cdot 2+4\cdot 5+5\cdot 2+6\cdot 6}{19}=\frac{8+6+20+10+36}{19}=\frac{80}{19}\approx 4,2105.$$

Tổng bình phương giá trị:
$$\sum x_i^2{n}_i=4\cdot 2^2+2\cdot 3^2+5\cdot 4^2+2\cdot 5^2+6\cdot 6^2=16+18+80+50+216=380.$$

Phương sai:
$$s^2=\frac{380}{19}-{\left(\frac{80}{19}\right)}^2=20-\frac{6400}{361}=\frac{820}{361}\approx 2,2715.$$

Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{\frac{820}{361}}\approx 1,507\approx 1,5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=20$): $0;50;70;100;130;140;140;150;160;180;180;180;190;200;200;210;210;220;290;340$.

Tính tứ phân vị:
- $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_1=\frac{130+140}{2}=135$.
- $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16: $Q_3=\frac{200+210}{2}=205$.
- Khoảng tứ phân vị: $IQR=Q_3-Q_1=205-135=70$.

Giới hạn phát hiện giá trị bất thường:
- Dưới: $Q_1-1,5\cdot IQR=135-105=30$.
- Trên: $Q_3+1,5\cdot IQR=205+105=310$.

So sánh với dữ liệu: giá trị $0<30$ và giá trị $340>310$ là bất thường; các giá trị còn lại đều nằm trong khoảng $[30;310]$.

Vậy mẫu số liệu có 2 giá trị bất thường: $0$ và $340$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 159, 161, 163, 165, 167, 168, 170, 172. Giá trị lớn nhất là 172 cm, giá trị nhỏ nhất là 159 cm. Khoảng biến thiên R = 172 − 159 = 13 (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (đã sắp): 5, 6, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 48, 49 (n = 19).
- Tứ phân vị thứ nhất: Q1 là giá trị thứ (19+1)/4 = 5 → Q1 = 22.
- Tứ phân vị thứ ba: Q3 là giá trị thứ 3(19+1)/4 = 15 → Q3 = 32.
- Khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 − Q1 = 32 − 22 = 10.
- Giới hạn dưới: Q1 − 1,5·IQR = 22 − 15 = 7; giới hạn trên: Q3 + 1,5·IQR = 32 + 15 = 47.
Giá trị bất thường là giá trị nhỏ hơn 7 hoặc lớn hơn 47: đó là 5, 6, 48, 49.
Vậy có 4 giá trị bất thường trong mẫu số liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu gồm 8 giá trị: 27, 26, 28, 32, 34, 35, 30, 28.

Bước 1: Tính số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{27+26+28+32+34+35+30+28}{8}=\frac{240}{8}=30.$$

Bước 2: Tính tổng bình phương độ lệch:
$$(27-30{)}^2+(26-30{)}^2+(28-30{)}^2+(32-30{)}^2+(34-30{)}^2+(35-30{)}^2+(30-30{)}^2+(28-30{)}^2$$
$$=9+16+4+4+16+25+0+4=78.$$

Bước 3: Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{78}{8}=\mathrm{9.75.}$$

Bước 4: Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{9.75}\approx 3.1225\approx \mathrm{3.12.}$$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s\approx 3.12$ (độ C).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 9) theo thứ tự tăng dần: 7, 8, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 22.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n+1}{4}=\frac{10}{4}=2,5$, tức nằm giữa giá trị thứ 2 và thứ 3:
$$Q_1=\frac{8+11}{2}=9,5.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=7,5$, tức nằm giữa giá trị thứ 7 và thứ 8:
$$Q_3=\frac{19+20}{2}=19,5.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=19,5-9,5=10.$$