Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1$ đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu (từ tứ phân vị thứ nhất đến tứ phân vị thứ ba), nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn đều phụ thuộc vào mọi giá trị, kể cả giá trị ngoại lệ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 5 giá trị đã sắp xếp: 152, 154, 156, 158, 160. Trung vị là 156. Nửa dưới gồm 152, 154 nên $Q_1=153$; nửa trên gồm 158, 160 nên $Q_3=159$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=159-153=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất = 164 − 156 = 8. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, độ lệch chuẩn $S$ là căn bậc hai của phương sai, nên phương sai $S^2$ bằng bình phương của độ lệch chuẩn. Do đó đáp án đúng là C. Phương án D sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{N}$ (đó chỉ là tổng bình phương độ lệch, chưa chia cho $N$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: A sai vì các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn) đều không âm. B sai vì khoảng tứ phân vị dựa trên $Q_1$ và $Q_3$, không dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. C đúng: khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$ chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bỏ qua các giá trị còn lại. D sai vì dữ liệu càng tập trung quanh trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ.

(AI giải đề cho tôi)
Học 'lệch' hơn nghĩa là điểm phân tán nhiều hơn quanh giá trị trung bình, tức phương sai lớn hơn. Trung bình An: (8,0+6,5+8,8+8,3+8,0+8,0+7,2+9,0)/8 = 63,8/8 = 7,975. Trung bình Bình: (8,5+9,0+7,5+8,0+6,5+8,5+7,5+7,0)/8 = 62,5/8 = 7,8125. Phương sai An: tổng bình phương độ lệch = 0,025²+(-1,475)²+0,825²+0,325²+0,025²+0,025²+(-0,775)²+1,025² = 4,615, nên S²_An = 4,615/8 ≈ 0,577. Phương sai Bình: 0,6875²+1,1875²+(-0,3125)²+0,1875²+(-1,3125)²+0,6875²+(-0,3125)²+(-0,8125)² = 4,96875, nên S²_Bình = 4,96875/8 ≈ 0,621. Vì phương sai của Bình lớn hơn, Bình học 'lệch' hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=20$ giá trị đã sắp xếp. Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Q_1=\frac{9+11}{2}=10$. Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là trung bình cộng của giá trị thứ 15 và thứ 16: $Q_3=\frac{31+33}{2}=32$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-10=22$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 164, 159, 170, 166, 163, 168, 170, 158, 162. Giá trị lớn nhất là 170, giá trị nhỏ nhất là 158. Khoảng biến thiên $R=170-158=12$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 21, 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 5 giá trị đầu: Q1 = 25. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của 5 giá trị cuối: Q3 = 34. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 34 − 25 = 9. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{34+34+36+35+33+31+30}{7}=\frac{233}{7}\approx 33,286$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{7}\left[2(34-\bar{x}{)}^2+(36-\bar{x}{)}^2+(35-\bar{x}{)}^2+(33-\bar{x}{)}^2+(31-\bar{x}{)}^2+(30-\bar{x}{)}^2\right]\approx \frac{27,43}{7}\approx 3,918$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{3,918}\approx 1,98\in (1;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu (n=24). Đường A: tổng tốc độ = 1795 nên mean_A = 1795/24 ≈ 74,7917; tổng bình phương = 136175 nên phương sai = 136175/24 − (1795/24)^2 ≈ 80,1649, suy ra s_A ≈ 8,9535 → mệnh đề (i) đúng. Đường B: tổng = 1762 nên mean_B = 1762/24 ≈ 73,4167; tổng bình phương = 130964 nên phương sai = 130964/24 − (1762/24)^2 ≈ 66,8264, suy ra s_B ≈ 8,1747 → mệnh đề (ii) đúng. Về mệnh đề (iii): xe chạy an toàn hơn thường được đánh giá qua mức độ phân tán (độ lệch chuẩn nhỏ hơn là đều đặn/an toàn hơn). Vì s_A ≈ 8,9535 > s_B ≈ 8,1747, tốc độ trên đường B phân tán ít hơn, tức xe trên đường B an toàn hơn chứ không phải đường A → (iii) sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu gồm 14 giá trị: 85, 82, 84, 83, 80, 82, 84, 85, 80, 81, 80, 82, 85, 85.

Tổng: $\sum x_i=1158$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{1158}{14}\approx 82,71$.

Tổng bình phương: $\sum x_i^2=4\cdot 85^2+3\cdot 82^2+2\cdot 84^2+83^2+3\cdot 80^2+81^2=28900+20172+14112+6889+19200+6561=95834$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{14}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{95834}{14}-(82,71{)}^2\approx 6845,29-6841,65\approx 3,63$.

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{3,63}\approx 1,91$.

Vậy chọn phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 0, 7, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 19, 26 (n = 10). Tứ phân vị: Q1 là trung vị của nửa dưới (0, 7, 10, 12, 13) nên Q1 = 10; Q3 là trung vị của nửa trên (15, 15, 16, 19, 26) nên Q3 = 16. Khoảng tứ phân vị IQR = 16 − 10 = 6. Giới hạn dưới: Q1 − 1,5·IQR = 10 − 9 = 1; giới hạn trên: Q3 + 1,5·IQR = 16 + 9 = 25. Giá trị 0 < 1 và 26 > 25 nên cả 0 và 26 là giá trị bất thường. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu liệu: 140, 142, 143, 150, 155, 156, 157, 158, 185 (n = 9). Số trung vị là 155. Tứ phân vị thứ nhất Q1 = 142, tứ phân vị thứ ba Q3 = 157, nên khoảng tứ phân vị IQR = 157 − 142 = 15. Các cột mốc của biểu đồ hộp: dưới = Q1 − 1,5·IQR = 142 − 22,5 = 119,5; trên = Q3 + 1,5·IQR = 157 + 22,5 = 179,5. Giá trị bất thường là giá trị nằm ngoài khoảng [119,5; 179,5]. Trong mẫu, 140 > 119,5 nên không bất thường; 185 > 179,5 nên là giá trị bất thường. Vậy chỉ có 185 là giá trị bất thường, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (12 giá trị): 1,5; 3; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 9; 10.

- Số trung vị: $(6+6)/2=6$.
- Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị nửa dưới: 1,5; 3; 5; 6; 6; 6 → $Q_1=(5+6)/2=5,5$.
- Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị nửa trên: 6; 7; 7; 7; 9; 10 → $Q_3=(7+7)/2=7$.
- Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_q=Q_3-Q_1=1,5$.

Giới hạn xác định giá trị bất thường:
- Dưới: $Q_1-1,5\cdot {\Delta }_q=5,5-2,25=3,25$.
- Trên: $Q_3+1,5\cdot {\Delta }_q=7+2,25=9,25$.

Giá trị nhỏ hơn 3,25: 1,5 và 3. Giá trị lớn hơn 9,25: 10.

Vậy các giá trị bất thường là 1,5; 3 và 10 → chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 13): 35, 38, 43, 43, 43, 45, 45, 45, 48, 48, 48, 50, 50. Số trung vị là giá trị thứ 7: 45. Q1 là trung vị của 6 giá trị đầu: (43+43)/2 = 43. Q3 là trung vị của 6 giá trị cuối: (48+48)/2 = 48. Khoảng tứ phân vị IQR = 48 − 43 = 5. Giới hạn dưới = Q1 − 1,5·IQR = 43 − 7,5 = 35,5; giới hạn trên = Q3 + 1,5·IQR = 48 + 7,5 = 55,5. Giá trị 35 < 35,5 nên 35 là giá trị bất thường (ngoại lệ); các giá trị khác đều nằm trong [35,5; 55,5]. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 5+6\cdot 12+7\cdot 8+8\cdot 9+9\cdot 4+10\cdot 2}{40}=\frac{25+72+56+72+36+20}{40}=\frac{281}{40}=7,025$.

Tính tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=25\cdot 5+36\cdot 12+49\cdot 8+64\cdot 9+81\cdot 4+100\cdot 2=125+432+392+576+324+200=2049$.

Vậy phương sai: $S_x^2=\frac{2049}{40}-{\left(\frac{281}{40}\right)}^2=51,225-49,350625=1,874375\approx 1,87$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các giá trị: $3\cdot 1+4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 7+7\cdot 12+8\cdot 14+9\cdot 2+10\cdot 1=259$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{259}{40}=6,475$. Tổng bình phương: $9+16+50+252+588+896+162+100=2073$, nên $\frac{1}{40}\sum x_i^2=\frac{2073}{40}=51,825$. Phương sai $S^2=51,825-(6,475{)}^2=51,825-41,925625=9,899375$. Độ lệch chuẩn $S=\sqrt{9,899375}\approx 3,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 22, 24, 37, 38, 38, 43, 47, 48, 48, 70 (n = 10). Tính tứ phân vị theo vị trí: Q1 ở vị trí (n+1)/4 = 2,75 nên Q1 = 24 + 0,75(37 − 24) = 33,75; Q3 ở vị trí 3(n+1)/4 = 8,25 nên Q3 = 48 + 0,25(48 − 48) = 48. Khoảng tứ phân vị IQR = 48 − 33,75 = 14,25. Các mốc xác định ngoại lệ: [Q1 − 1,5·IQR; Q3 + 1,5·IQR] = [33,75 − 21,375; 48 + 21,375] = [12,375; 69,375]. Giá trị 70 nằm ngoài khoảng này (70 > 69,375), còn mọi giá trị khác đều nằm trong khoảng. Vậy giá trị ngoại lệ là 70.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu (n = 19): 5, 6, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 48, 49.

- Số trung vị: giá trị thứ 10 là $\text{Me}=28$.
- Tứ phân vị thứ nhất: trung vị của 9 giá trị đầu (5, 6, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26) là $Q_1=22$.
- Tứ phân vị thứ ba: trung vị của 9 giá trị cuối (28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 48, 49) là $Q_3=32$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-22=10$.

Xác định giá trị bất thường bằng quy tắc $1,5\cdot {\Delta }_Q$:
- Cận dưới: $Q_1-1,5{\Delta }_Q=22-15=7$.
- Cận trên: $Q_3+1,5{\Delta }_Q=32+15=47$.

Các giá trị nhỏ hơn 7 hoặc lớn hơn 47 là bất thường: $5,6$ (nhỏ hơn 7) và $49$ (lớn hơn 47).

Vậy có 3 giá trị bất thường trong mẫu số liệu.