Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên $(-3;-1)$, hằng (không đổi) bằng $-1$ trên $[-1;1]$, đồng biến trên $(1;3)$. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(-3;0)$ hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (trên $(-1;0)$ hàm không đổi); B đúng vì trên $(1;2)$ hàm đồng biến; C sai vì trên $(0;1)$ hàm không đổi nên không đồng biến trên $(0;3)$; D sai vì trên $(-1;1)$ hàm không đổi, không nghịch biến. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$ (đồ thị đi xuống đến đáy tại $x=-1$ rồi đi lên đến đỉnh tại $x=1$, sau đó đi xuống). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là $(-1;1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-3)$ và $(-1;1)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào đó khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng đó. Do đó $f$ đồng biến trên $(-3;-1)$ và $(1;2)$, tương ứng phương án D. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 110, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $$y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-6x+4-x^2+2x-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}.$$ Vì $(x-2{)}^2>0$ với mọi $x\ne 2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x-3)$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 6 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x+2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-2$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$. B) $y=2x^2-3x+2$ là hàm bậc hai với $a=2>0$ nên nghịch biến rồi đồng biến, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3-3x^2+9x$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+9=3(x-1{)}^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^3-x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-1$ đổi dấu tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ thỏa mãn. Loại A vì trên $(-\infty ;-1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến); loại C vì trên $(-1;1)$ hàm có cả đoạn đồng biến $(-1;0)$ và nghịch biến $(0;1)$; loại D vì trên $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $4x-x^2>0\iff 0<x<4$. Ta có $y^{\prime }=\frac{4-2x}{4x-x^2}$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff 4-2x>0\iff x<2$. Kết hợp điều kiện xác định $0<x<4$ ta được hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Trong các đáp án, khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Các khoảng $(1;3)$, $(2;4)$ chứa điểm $x>2$ nên không thỏa mãn; $(4;+\infty )$ ngoài tập xác định. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x-5{)}^3$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ phụ thuộc $(x+2)(x-5{)}^3$. Với $x<-2$: $(+)(-)=+$... cụ thể: $x<-2$: $(x+2)<0$, $(x-5{)}^3<0$ nên tích dương; $-2<x<5$: $(x+2)>0$, $(x-5{)}^3<0$ nên $f^{\prime }<0$; $x>5$: cả hai dương nên $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;5)$ và $f^{\prime }(-2)=0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;5)$ (vì $f^{\prime }<0$ trên mọi khoảng con của $(-\infty ;5)$ khác điểm $x=-2$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-\infty ;3]$ (tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ và cắt trục tại $x=3$), nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên mọi khoảng con của $(-\infty ;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-4;0)$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty ;3)$, còn $(3;4)$, $(-4;4)$, $(0;4)$ đều chứa điểm $x>3$ nơi $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-4;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-1;2)$ (tại $x=0$ hàm liên tục, dấu $\Vert$ chỉ thể hiện không xác định tại một điểm). Vậy $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$, tức $a=-1$, $b=2$, nên $a+b=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 3 = 1).

Vì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$. Suy ra $a=-1,b=2$. Vậy $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C) $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ nên nghịch biến. D) $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ là $y=x^3+x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng đó → a) Đúng. Trên $(0;4)$: hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;3)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$ → b) Sai. Xét $f(x)=3$: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;1)$ hàm tăng từ $0$ đến $4$ nên có 1 nghiệm; trên $(1;3)$ hàm giảm từ $4$ về $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$ hàm tăng từ $0$ đến $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm → c) Đúng. Hàm có cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $f(1)=4$, không phải 1 → d) Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 102: DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;3)$, nên không đồng biến trên $(0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(3;+\infty )$ đều có đúng 1 nghiệm của $f(x)=3$ vì $3$ nằm giữa hai giá trị giới hạn tại hai đầu của mỗi khoảng; tổng cộng 4 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại bằng $f(1)=4$, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên $(0;2)$. Vậy hàm số đồng biến trong khoảng $(0;2)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án ma đề 102 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ trên $[0;8]$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Khinh khí cầu giảm độ cao khi $h^{\prime }(t)<0$, tức $3<t<6$. Vậy khoảng giảm dần là $(a;b)=(3;6)$, suy ra $a=3$, $b=6$ và $P=2b-3a=2\cdot 6-3\cdot 3=12-9=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đáp án 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(1;3)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$ và $(3;+\infty )$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=3$ với $f(0)=f(3)=0$, đạt cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$; khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to +\infty$.
a) Đúng. Xét $f(x)=3$: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;1)$ hàm tăng từ $0$ lên $4$ nên có 1 nghiệm; trên $(1;3)$ hàm giảm từ $4$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$ hàm tăng từ $0$ lên $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Tổng cộng phương trình có 4 nghiệm.
b) Đúng. $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) Sai. Hàm số có giá trị cực đại bằng $f(1)=4$, không phải bằng 1.
d) Sai. Trên $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$. Kết quả khớp đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(3;+\infty )$, do tính đơn điệu và giới hạn tại hai đầu, phương trình $f(x)=3$ mỗi lần có đúng 1 nghiệm, tổng cộng 4 nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị $f(1)=4$, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;3)$ nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ trên $[0;8]$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Khinh khí cầu giảm độ cao khi $h^{\prime }(t)<0$, tức $3<t<6$. Vậy khoảng giảm dần là $(a;b)=(3;6)$, suy ra $P=2b-3a=2\cdot 6-3\cdot 3=12-9=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 22, mã đề 101: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A và C là hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ac<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (còn bị gián đoạn tại $x=2$ và $x=-3$). B: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D: $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). Do đó $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$, với $a>0$ (vì nhánh trái đi lên). Khi đó $y^{\prime }>0$ trên $(0;2)$ và $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, Mã đề 101: D).