Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+(1-m)\ge 0$ với mọi $x$, tức $\Delta =144-12(1-m)\le 0\iff 12m+132\le 0\iff m\le -11$. Các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-20;20)$ thỏa mãn là $m\in \{-19,-18,\dots ,-11\}$, gồm 9 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 khi $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$ nên $t\in \{11,12,...,19\}$, tức có 9 ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (parabol cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=2$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;2)$). Ta có $g(x)=f(3-2x)+2024$ nên $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Hàm $g$ đồng biến khi $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(3-2x)<0\iff 3-2x\in (1;2)\iff 1<3-2x<2\iff \frac{1}{2}<x<1$. Vậy $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(2m+3)=3\left(x^2-2mx+2m+3\right)$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức là $x^2-2mx+2m+3\ge 0$ với mọi $x$. Điều kiện: ${\Delta }^{\prime }=m^2-(2m+3)\le 0\iff m^2-2m-3\le 0\iff (m-3)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 3$. Các giá trị nguyên của $m$: $-1,0,1,2,3$ — có 5 giá trị. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-9x^2+(3-m)x+m$ có $y^{\prime }=3x^2-18x+(3-m)$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x$, tức là $\Delta \le 0$: $\Delta =(-18{)}^2-4\cdot 3(3-m)=324-36+12m=288+12m\le 0\Rightarrow m\le -24$. Vậy $m\in (-\infty ;-24]$.

(AI giải đề cho tôi)
$$f^{\prime }(x)=x^2+2mx+9.$$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$, tức là ${\Delta }^{\prime }=m^2-9\le 0$, suy ra $-3\le m\le 3$. Các giá trị nguyên $m\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ đều thuộc khoảng $(-2024;2026)$, cho 7 giá trị. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-2x+2)(x+2)-(-x^2+2x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{-x^2-4x+5}{(x+2{)}^2}=\frac{-(x-1)(x+5)}{(x+2{)}^2}$. Vậy $y^{\prime }>0\iff x\in (-5;1)\setminus \{-2\}$; $y^{\prime }<0\iff x\in (-\infty ;-5)\cup (1;+\infty )$. a) Sai: trên $(-5;1)$ hàm số không liên tục tại $x=-2$ nên không đồng biến trên cả khoảng này (đồng biến trên $(-5;-2)$ và $(-2;1)$). b) Sai: trên $(-2;1)$ hàm đồng biến, chỉ nghịch biến trên $(1;+\infty )$. c) Đúng: $\left(-\frac{3}{2};1\right)\subset (-2;1)$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến. d) Đúng: với $x<-5$ thì $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-5)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=-2\in (-5;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng; chỉ đồng biến trên $(-5;-2)$ và $(-2;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-(x-1)(x+5)}{(x+2{)}^2}>0$ trên $(-2;1)$ nên hàm đồng biến ở đó; chỉ nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(-\frac{3}{2};1\right)\subset (-2;1)$, nơi $y^{\prime }>0$, nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-\infty ;-5)$, $y^{\prime }=\frac{-(x-1)(x+5)}{(x+2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+3x^2-mx+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.

a) Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+6x-m$. Đúng.

b) Với $m=9$: $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. Trên khoảng $(-3;1)$ ta có $x+3>0$, $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-3;1)$, không đồng biến. Sai.

c) Với $m=-3$: $y^{\prime }=3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (nói riêng đồng biến trên $(-\infty ;-1)$), không nghịch biến. Sai.

d) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x\in (-\infty ;0)$. $y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có đỉnh tại $x=-1$ với giá trị nhỏ nhất $3-6-m=-3-m$. Cần $-3-m\ge 0\iff m\le -3$. Với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ nên hàm vẫn đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Vậy khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3+3x^2-mx+1$ là $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=9$: $y^{\prime }=3(x+3)(x-1)<0$ trên $(-3;1)$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$: $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ bằng $-3-m$. Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $-3-m\ge 0\iff m\le -3$ (với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ vẫn cho hàm đồng biến).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;2)$. Xét $y=f(2-x^2)$, có $y^{\prime }=-2x{f}^{\prime }(2-x^2)$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-2x{f}^{\prime }(2-x^2)>0$. Với $x>0$: cần $f^{\prime }(2-x^2)<0\Rightarrow 2-x^2\in (1;2)\Rightarrow x^2\in (0;1)\Rightarrow x\in (0;1)$. Với $x<0$: cần $f^{\prime }(2-x^2)>0\Rightarrow 2-x^2<1$ hoặc $2-x^2>2\Rightarrow x<-1$ (nhánh $x>0$ loại). Vậy khoảng đồng biến hữu hạn dạng $(a;b)$ là $(0;1)$, nên $a=0$, $b=1$, do đó $a+2b=0+2\cdot 1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $x(x-1)(x+1)>0$, suy ra $x\in (-1;0)\cup (1;+\infty )$. Vậy $a=-1$, $b=0$, $c=1$. Do đó $a+2024b+c=-1+2024\cdot 0+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng chi phí gồm: chi phí cố định 5 triệu đồng, chi phí sản xuất 0,15x triệu đồng và chi phí bảo dưỡng 0,0005x² triệu đồng. Vậy với $0<x\le 200$:
$$C(x)=5+0,15x+0,0005x^2\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$
Chi phí trung bình mỗi mét khối:
$$\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{5}{x}+0,15+0,0005x{\text{ (triệu đoˆˋng/m}}^3),0<x\le 200.$$
b) Xét $\overline{c}(x)=\frac{5}{x}+0,15+0,0005x$ trên $(0;200]$. Ta có
$${\overline{c}}^{\prime }(x)=-\frac{5}{x^2}+0,0005=\frac{0,0005x^2-5}{x^2}.$$
${\overline{c}}^{\prime }(x)=0\iff x^2=10000\iff x=100$ (thỏa mãn). Với $0<x<100$ thì ${\overline{c}}^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến; với $100<x\le 200$ thì ${\overline{c}}^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Vậy trên khoảng $(0;100]$, chi phí trung bình $\overline{c}(x)$ giảm dần khi sản lượng tăng (nghĩa là khi sản lượng không vượt quá 100 m³, chi phí trung bình giảm xuống khi tăng sản lượng). Chi phí trung bình đạt nhỏ nhất $\overline{c}(100)=0,05+0,15+0,05=0,25$ triệu đồng/m³ tại $x=100$. Kết luận: Nhận định của nhân công là ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=2-3x$, ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }=-3f^{\prime }(2-3x)$. Hàm số $y=f(2-3x)$ đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff f^{\prime }(2-3x)<0$. Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;1)$. Xét $2-3x\in (0;1)\iff 1<3x<2\iff \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$, khoảng này nằm trong $(0;1)$. Xét $2-3x\in (-\infty ;-3)\iff x>\frac{5}{3}$, không khớp đáp án nào. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;1)$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=x^{\prime }(t)=2\cdot \frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)=\pi \cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s). Với $t\in (2;3)$ thì $\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{2\pi }{3};\frac{7\pi }{6}\right)$. Trên $(\frac{2\pi }{3};\pi )$ hàm cos nghịch biến nên $v(t)$ giảm; trên $(\pi ;\frac{7\pi }{6})$ hàm cos đồng biến nên $v(t)$ tăng. Vậy trong khoảng 2 giây đến 3 giây, vận tốc giảm rồi sau đó tăng → đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có dạng $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x+2{)}^2(x-1)$: đồ thị có điểm uốn/điểm thấp nhất $(0;-4)$, tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0), cắt trục tại $x=1$, và $f^{\prime }(-1)=-2$ (khớp các đường gián đoạn $y=-2$, $y=-4$ trên hình).
a) Với $x<-2$: $(x+2{)}^2>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$. Mệnh đề SAI.
b) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $(-\infty ;1)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=1$ (tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu). Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị. Mệnh đề SAI.
c) $f^{\prime }(2)=2^3+3\cdot 2^2-4=8+12-4=16\ne 4$. Mệnh đề SAI.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1)$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x+3>0$, $x+1<0$, $x-1<0$ nên $g^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$, $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ chỉ đổi dấu tại $x=1$ (âm rồi dương), nên $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)=8+12-4=16\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+3)(x+1)(x-1)>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ nên $g$ đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị 2) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $-2$), nên $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$. Xét $y=f(x^2)$: $y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2)$. Với $x\in (-\sqrt{2};0)$ thì $x^2\in (0;2)$ nên $f^{\prime }(x^2)<0$, và $2x<0$, do đó $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến. Kiểm tra các khoảng khác: trên $(0;\sqrt{2})$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(-\infty ;-\sqrt{2})$ thì $x^2>2$, $f^{\prime }(x^2)>0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(0;+\infty )$ hàm không đồng biến toàn khoảng. Vậy đáp án là $(-\sqrt{2};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (1;2)$. Xét $g(x)=f(3-2x)+2024$, ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Hàm số $g(x)$ đồng biến khi $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(3-2x)<0\iff 1<3-2x<2\iff \frac{1}{2}<x<1$. Vậy $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x-x$ trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-\sin x-1$. Vì $-1\le -\sin x\le 1$ nên $y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và $y^{\prime }=0$ khi và chỉ khi $\sin x=-1$, tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Do đó $y^{\prime }\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }$ chỉ triệt tiêu tại các điểm rời rạc, nên hàm số nghịch biến (giảm) trên toàn $\mathbb{R}$. a) Sai: hàm không đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Sai: tại $x=-\frac{\pi }{2}$, $y^{\prime }=0$ nhưng hàm vẫn nghịch biến qua điểm này (dấu $y^{\prime }$ không đổi, luôn âm hoặc bằng 0 hai bên), nên không phải điểm cực đại. c) Đúng: vì hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. d) Đúng: hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ trên $\mathbb{R}$, hàm nghịch biến chứ không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-\frac{\pi }{2}$ có $y^{\prime }=0$ nhưng dấu của $y^{\prime }$ không đổi qua điểm này (hàm vẫn nghịch biến), nên không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và chỉ bằng 0 tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=e^{x^2-1}$, có $y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}$. Vì $e^{x^2-1}>0$ nên dấu $y^{\prime }$ theo dấu của $2x$: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y_{CT}=e^{-1}=\frac{1}{e}$, và chỉ có đúng 1 điểm cực trị. a) Sai: trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng. b) Đúng: $(-3;-2)\subset (-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến. c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$. d) Đúng: $y^{\prime }=0$ chỉ tại $x=0$ và có đổi dấu, nên hàm có 1 điểm cực trị (cực tiểu).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}$ âm khi $x<0$ và dương khi $x>0$, nên trên $(-1;1)$ hàm vừa nghịch biến vừa đồng biến, không đồng biến trên cả khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(-3;-2)\subset (-\infty ;0)$ nơi $y^{\prime }<0$, nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}=0$ tại $x=0$ và đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ chỉ có nghiệm $x=0$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua đó, nên hàm có đúng 1 điểm cực trị.