Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. a) Sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$, không phải $(-\infty ;2)$. b) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. c) Sai vì hàm đạt cực đại tại $x=0$ ($f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$), còn $x=2$ không phải điểm cực trị. d) Đúng vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên giá trị cực tiểu là $f(3)=-4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ vì $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng đó, không phải trên $(-\infty ;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(0;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm đạt cực đại tại $x=0$ ($f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$); $x=2$ không phải điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu với giá trị $f(3)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(-2;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$. a) Sai vì trên $(0;2)$ hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;2)$. b) Đúng vì $(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ nơi hàm nghịch biến. c) Đúng vì hàm đồng biến trên $(-2;1)$. d) $y=f(2x-1)$ nghịch biến khi $2x-1>1\iff x>1$, nên trên $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ ta có $2x-1<-2$ nơi f đồng biến, do đó khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ hàm đồng biến nhưng trên $(1;2)$ hàm nghịch biến, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ và f nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;1)$ nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=f(2x-1)$ nghịch biến khi $2x-1>1\iff x>1$. Với $x<-\frac{1}{2}$ thì $2x-1<-2$, nơi f đồng biến, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+3x^2-mx+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.

a) Đạo hàm: $y^{\prime }=3x^2+6x-m$. Đúng.

b) Với $m=9$: $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. Trên khoảng $(-3;1)$ ta có $x+3>0$, $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-3;1)$, không đồng biến. Sai.

c) Với $m=-3$: $y^{\prime }=3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (nói riêng đồng biến trên $(-\infty ;-1)$), không nghịch biến. Sai.

d) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x\in (-\infty ;0)$. $y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có đỉnh tại $x=-1$ với giá trị nhỏ nhất $3-6-m=-3-m$. Cần $-3-m\ge 0\iff m\le -3$. Với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ nên hàm vẫn đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Vậy khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3+3x^2-mx+1$ là $y^{\prime }=3x^2+6x-m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=9$: $y^{\prime }=3(x+3)(x-1)<0$ trên $(-3;1)$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$: $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-m$ có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ bằng $-3-m$. Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ khi $-3-m\ge 0\iff m\le -3$ (với $m=-3$, $y^{\prime }=3(x+1{)}^2\ge 0$ vẫn cho hàm đồng biến).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$; $y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$. a) Sai: khoảng đồng biến là $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, không phải $(-\infty ;-5)$. b) Sai: $(-\infty ;5)$ không phải khoảng đồng biến (5 không liên quan, hàm nghịch biến từ $-2$). c) Đúng: $y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. d) Đúng: $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-3;-2)$, không phải $(-\infty ;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên không đồng biến trên $(-\infty ;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên $(-2;+\infty )$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)\cup (-3;-2)$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(m+1)x^2-2(m+1)x-4m}{(x-1{)}^2}$.

a) Với $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$. Đúng.

b) Với $m=0$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, âm trên $(1;2)$ và dương trên $(2;+\infty )$, nên hàm không nghịch biến trên toàn bộ $(1;+\infty )$. Sai.

c) Hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định $\iff (m+1)x^2-2(m+1)x-4m\ge 0$ với mọi $x\ne 1$. Với $m=-1$ thỏa mãn. Với $m\ne -1$: cần $m+1>0$ và $\Delta =4(m+1)(5m+1)\le 0\iff -1\le m\le -\frac{1}{5}$, kết hợp được $m\in \left[-1;-\frac{1}{5}\right]$. Khi đó $a=-1$, $b=-\frac{1}{5}$ nên $a+5b=-2\ne 0$. Sai.

d) Cần $y^{\prime }\ge 0$ trên $(4;+\infty )$. Với $m=-1$ thỏa. Với $m>-1$: tam thức bậc hai có hệ số dương, đỉnh tại $x=1$, nên trên $(4;+\infty )$ nó tăng và giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=8(m+1)-4m=4m+8>0$, thỏa. Với $m<-1$: hệ số $m+1<0$, tam thức $\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, không thỏa. Vậy điều kiện cần và đủ là $m\ge -1$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-1$, $y^{\prime }=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ âm trên $(1;2)$ và dương trên $(2;+\infty )$, nên hàm không nghịch biến trên toàn $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện là $m\in \left[-1;-\frac{1}{5}\right]$, suy ra $a+5b=-1+5\left(-\frac{1}{5}\right)=-2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(4;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\ge -1$, tức $m\in [-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;2)$. Xét $y=f(2-x^2)$, có $y^{\prime }=-2x{f}^{\prime }(2-x^2)$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-2x{f}^{\prime }(2-x^2)>0$. Với $x>0$: cần $f^{\prime }(2-x^2)<0\Rightarrow 2-x^2\in (1;2)\Rightarrow x^2\in (0;1)\Rightarrow x\in (0;1)$. Với $x<0$: cần $f^{\prime }(2-x^2)>0\Rightarrow 2-x^2<1$ hoặc $2-x^2>2\Rightarrow x<-1$ (nhánh $x>0$ loại). Vậy khoảng đồng biến hữu hạn dạng $(a;b)$ là $(0;1)$, nên $a=0$, $b=1$, do đó $a+2b=0+2\cdot 1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $x(x-1)(x+1)>0$, suy ra $x\in (-1;0)\cup (1;+\infty )$. Vậy $a=-1$, $b=0$, $c=1$. Do đó $a+2024b+c=-1+2024\cdot 0+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+3{)}^3(3-x)$. Vì $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+3{)}^3(3-x)$ quyết định. Xét $(x+3)(3-x)>0\iff -3<x<3$, khi đó $f^{\prime }(x)>0$ (trừ $x=1$ nơi $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu). Vậy hàm số đồng biến trên $(-3;3)$, do đó đồng biến trên khoảng con $(1;3)$. Các khoảng $(-\infty ;-1)$, $(3;+\infty )$, $(-\infty ;1)$ đều chứa đoạn $x<-3$ nơi hàm nghịch biến. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có cực đại điểm $(0;2)$, cực tiểu điểm $(2;-2)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và hai điểm khác, nên $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2$ (kiểm tra: $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=-2$, $f^{\prime \prime }(x)=3x(x-2)$ đổi dấu đúng tại $x=0,2$). $f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x+\frac{1}{2}$; kiểm tra $f(2)=4-8+4+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ đúng.

a) $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$, nghiệm $x=1-\sqrt{3}\approx -0,73$; $x=1$; $x=1+\sqrt{3}\approx 2,73$. Trên $(2;1+\sqrt{3})$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (ví dụ $f^{\prime }(2,5)=15,625-18,75+2<0$), nên $f$ nghịch biến trên khoảng đó → khẳng định SAI.

b) Trên $[1;3]$: $f$ giảm trên $(1;1+\sqrt{3})$ và tăng trên $(1+\sqrt{3};3)$ nên GTNN tại $x=1+\sqrt{3}$ với $f(1+\sqrt{3})=-\frac{1}{2}<f(2)=\frac{1}{2}$ → khẳng định SAI.

c) Đặt $h(x)=18f\left(1-\frac{x}{3}\right)-x^2$. Với $t=1-\frac{x}{3}$: $h^{\prime }(x)=-6f^{\prime }(t)-2x=-6\left[f^{\prime }(t)+1-t\right]$. $h^{\prime }(x)=0\iff t^3-3t^2+2=t-1\iff (t-3)(t-1)(t+1)=0\iff t\in \{-1;1;3\}\iff x\in \{12;0;-6\}$. Tại đó: $h(12)=18f(-1)-144=-148,5<0$; $h(0)=18f(1)=31,5>0$; $h(-6)=18f(3)-36=-40,5<0$. Nghiệm của $h(x)=0$: $2f(t)=(1-t{)}^2\iff t(t^3-4t^2-2t+12)=0\iff t(t-2)(t^2-2t-6)=0\iff t\in \{0;2;1\pm \sqrt{7}\}\iff x\in \{3;-3;-3\sqrt{7};3\sqrt{7}\}$, cả 4 nghiệm đơn nên $h$ đổi dấu qua mỗi nghiệm. Hàm $g=|h|$ đạt cực trị tại: 4 nghiệm của $h=0$ (cực tiểu) và 3 điểm $x=-6;0;12$ với $h\ne 0$ (cực đại). Tổng cộng 7 điểm cực trị → khẳng định ĐÚNG.

d) $f^{\prime }(\sin x)=0\iff \sin x\in \{1-\sqrt{3};1\}$ (hai nghiệm thuộc $[-1;1]$; nghiệm $1+\sqrt{3}>1$ loại). Với $\sin x=1-\sqrt{3}\in (-1;1)$: trên $[0;10\pi ]$ (5 chu kỳ) có 10 nghiệm. Với $\sin x=1$: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \cdot 2$, $k=0,..,4$ → 5 nghiệm. Tổng 15 nghiệm $\ne 10$ → khẳng định SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+2<0$ trên $(2;1+\sqrt{3})$ nên $f$ không đồng biến trên toàn $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$, $f$ đạt GTNN tại $x=1+\sqrt{3}$ với $f(1+\sqrt{3})=-\frac{1}{2}<f(2)=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=0$ tại $x\in \{-6;0;12\}$ (với $h\ne 0$) và $h(x)=0$ có 4 nghiệm đơn $x\in \{\pm 3;\pm 3\sqrt{7}\}$; $g=|h|$ có $3+4=7$ điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x\in \{1-\sqrt{3};1\}$: giá trị $1-\sqrt{3}$ cho 10 nghiệm, giá trị $1$ cho 5 nghiệm trên $[0;10\pi ]$, tổng 15 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Miền cần xét là $x\in (50;53)$. Ta có $C^{\prime }(x)=\frac{9\left[(x-m{)}^2-9\right]}{81(x-m{)}^2}=\frac{(x-m{)}^2-9}{9(x-m{)}^2}$. Để $C$ giảm liên tục trên $(50;53)$ cần $(x-m{)}^2\le 9$ với mọi $x\in (50;53)$, tức $|x-m|\le 3$ với mọi $x$ trong khoảng, suy ra $m-3\le 50$ và $m+3\ge 53$, cho $m\in [50;53]$. Đồng thời mẫu số $9(x-m)\ne 0$ trên $(50;53)$ nên $m\notin (50;53)$. Vậy $m\in \{50;53\}$, tổng các giá trị nguyên là $50+53=103$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2).$ Các khoảng khác $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng chi phí gồm: chi phí cố định 5 triệu đồng, chi phí sản xuất 0,15x triệu đồng và chi phí bảo dưỡng 0,0005x² triệu đồng. Vậy với $0<x\le 200$:
$$C(x)=5+0,15x+0,0005x^2\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$
Chi phí trung bình mỗi mét khối:
$$\overline{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{5}{x}+0,15+0,0005x{\text{ (triệu đoˆˋng/m}}^3),0<x\le 200.$$
b) Xét $\overline{c}(x)=\frac{5}{x}+0,15+0,0005x$ trên $(0;200]$. Ta có
$${\overline{c}}^{\prime }(x)=-\frac{5}{x^2}+0,0005=\frac{0,0005x^2-5}{x^2}.$$
${\overline{c}}^{\prime }(x)=0\iff x^2=10000\iff x=100$ (thỏa mãn). Với $0<x<100$ thì ${\overline{c}}^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến; với $100<x\le 200$ thì ${\overline{c}}^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Vậy trên khoảng $(0;100]$, chi phí trung bình $\overline{c}(x)$ giảm dần khi sản lượng tăng (nghĩa là khi sản lượng không vượt quá 100 m³, chi phí trung bình giảm xuống khi tăng sản lượng). Chi phí trung bình đạt nhỏ nhất $\overline{c}(100)=0,05+0,15+0,05=0,25$ triệu đồng/m³ tại $x=100$. Kết luận: Nhận định của nhân công là ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=2-3x$, ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }=-3f^{\prime }(2-3x)$. Hàm số $y=f(2-3x)$ đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff f^{\prime }(2-3x)<0$. Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;1)$. Xét $2-3x\in (0;1)\iff 1<3x<2\iff \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$, khoảng này nằm trong $(0;1)$. Xét $2-3x\in (-\infty ;-3)\iff x>\frac{5}{3}$, không khớp đáp án nào. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;1)$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=x^{\prime }(t)=2\cdot \frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)=\pi \cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s). Với $t\in (2;3)$ thì $\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{2\pi }{3};\frac{7\pi }{6}\right)$. Trên $(\frac{2\pi }{3};\pi )$ hàm cos nghịch biến nên $v(t)$ giảm; trên $(\pi ;\frac{7\pi }{6})$ hàm cos đồng biến nên $v(t)$ tăng. Vậy trong khoảng 2 giây đến 3 giây, vận tốc giảm rồi sau đó tăng → đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có dạng $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x+2{)}^2(x-1)$: đồ thị có điểm uốn/điểm thấp nhất $(0;-4)$, tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cực đại của $f^{\prime }$ bằng 0), cắt trục tại $x=1$, và $f^{\prime }(-1)=-2$ (khớp các đường gián đoạn $y=-2$, $y=-4$ trên hình).
a) Với $x<-2$: $(x+2{)}^2>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$. Mệnh đề SAI.
b) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $(-\infty ;1)$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$; $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần tại $x=1$ (tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu). Vậy $f$ chỉ có một điểm cực trị. Mệnh đề SAI.
c) $f^{\prime }(2)=2^3+3\cdot 2^2-4=8+12-4=16\ne 4$. Mệnh đề SAI.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1)$. Trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$: $x+3>0$, $x+1<0$, $x-1<0$ nên $g^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-2$, $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ chỉ đổi dấu tại $x=1$ (âm rồi dương), nên $f$ chỉ có một điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)=8+12-4=16\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+3)(x+1)(x-1)>0$ trên $\left(-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right)$ nên $g$ đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$. Trong các phương án, chỉ có phương án D là $(-1;0)$ thỏa mãn. Kiểm tra các phương án khác: A $(-\infty ;-1)$: $f^{\prime }<0$ nghịch biến; B $(0;1)$: $f^{\prime }<0$ nghịch biến; C $(-1;1)$: chứa điểm $x=0$ với $f^{\prime }(0)=0$ và đoạn nghịch biến, không đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$, nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ (nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$).
- B: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- D: $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Vì $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+1{)}^3(3-x)$ quyết định. Xét $(x+1{)}^3(3-x)>0\iff x>-1$ và $x<3$, tức $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;3)$. Trong các đáp án, khoảng $(1;3)$ nằm trong $(-1;3)$ nên hàm số đồng biến trên $(1;3)$. Các khoảng $(-\infty ;1)$, $(-\infty ;-1)$, $(3;+\infty )$ đều chứa điểm với $f^{\prime }(x)<0$ (ví dụ $x=-2$ hoặc $x=4$) nên không đồng biến. Vậy chọn C.