Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=-x^2-4\le -4<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x=\frac{250-p}{0,01p}=\frac{250}{0,01p}-100=\frac{25000}{p}-100$ với $0<p<250$. Đạo hàm $x^{\prime }(p)=-\frac{25000}{p^2}<0$ trên $(0;250)$, nên $x$ là hàm số nghịch biến theo $p$. Vậy khi giá bán tăng thì số lượng sản phẩm bán ra luôn giảm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $p=\frac{354}{1+0,01x}$ ta giải theo $x$: $1+0,01x=\frac{354}{p}\Rightarrow x=\frac{354-p}{0,01p}=\frac{35400}{p}-354$. Đạo hàm $x^{\prime }(p)=-\frac{35400}{p^2}<0$ với mọi $p>0$, nên khi giá bán $p$ tăng thì số lượng sản phẩm bán được $x$ giảm đi. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-2;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ là khoảng nghịch biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(3-x)$ nên $y^{\prime }=-f^{\prime }(3-x)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(3-x)>0$. Theo bảng biến thiên, $f^{\prime }(t)>0$ khi $t\in (-1;1)$. Do đó $-1<3-x<1\iff 2<x<4$, tức hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f$ đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị 2) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $-2$), nên $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$. Xét $y=f(x^2)$: $y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2)$. Với $x\in (-\sqrt{2};0)$ thì $x^2\in (0;2)$ nên $f^{\prime }(x^2)<0$, và $2x<0$, do đó $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến. Kiểm tra các khoảng khác: trên $(0;\sqrt{2})$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(-\infty ;-\sqrt{2})$ thì $x^2>2$, $f^{\prime }(x^2)>0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(0;+\infty )$ hàm không đồng biến toàn khoảng. Vậy đáp án là $(-\sqrt{2};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (1;2)$. Xét $g(x)=f(3-2x)+2024$, ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Hàm số $g(x)$ đồng biến khi $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(3-2x)<0\iff 1<3-2x<2\iff \frac{1}{2}<x<1$. Vậy $g(x)$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ (đáp án D) nằm hoàn toàn trong miền nghịch biến. Đáp án A $(-1;1)$ sai vì hàm không nghịch biến trên toàn khoảng này (đứt tại $x=0$ và đổi chiều biến thiên); B $(4;+\infty )$ và C $(-\infty ;2)$ không phải miền nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3^x-9$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow 3^x=9\Rightarrow x=2$. Với $x<2$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>2$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $y(2)=\frac{9}{\ln 3}-18+17=\frac{9}{\ln 3}-1$. Xét các mệnh đề: A đúng vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;0)$; B sai vì trên $(0;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi mới đồng biến trên $(2;+\infty )$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$; C đúng; D đúng. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-6x+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff 3x^2-6>0\iff x^2>2\iff x<-\sqrt{2}$ hoặc $x>\sqrt{2}$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-\sqrt{2})$ và $(\sqrt{2};+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-\infty ;-\sqrt{2})$ (đáp án A) thỏa mãn. Kiểm tra: với $x\in (0;+\infty )$, tại $x=1$ có $y^{\prime }=-3<0$ nên C sai; với $x\in (-\infty ;0)$, tại $x=-1$ có $y^{\prime }=-3<0$ nên B sai; khoảng $(-\sqrt{2};\sqrt{2})$ là khoảng nghịch biến nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đạo hàm trên $\mathbb{R}$: A) $y^{\prime }=4x^3$, âm khi $x<0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y^{\prime }=3x^2+2>0$ với mọi $x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y^{\prime }=2x+1$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y^{\prime }=-3<0$ nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=\sqrt{x^2-6x+5}$ xác định khi $x^2-6x+5\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 5$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+5}}$. Với $x\ge 5$ thì $x-3>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm đồng biến trên $(5;+\infty )$, suy ra đồng biến trên $(6;+\infty )$ (khoảng con của $(5;+\infty )$). Với $x\le 1$ thì $x-3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$. Vậy A đúng; B sai vì $(2;5)$ không thuộc tập xác định; C sai vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$; D sai vì hàm đồng biến trên $(6;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x\ln x$ xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\ln x+1$. $y^{\prime }=0\iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Với $x\in (0;\frac{1}{e})$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$; với $x\in (\frac{1}{e};+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(\frac{1}{e};+\infty )$. Do đó: A sai (hàm không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$); B sai (hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$, không phải $(0;1)$); C sai; D đúng vì $(1;+\infty )\subset (\frac{1}{e};+\infty )$ nên hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc bốn có cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $-3$), cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$), cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-1$). a) Sai: trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến nên $f(x)$ không đồng biến trên toàn khoảng $(-3;2)$. b) Đúng: $y=f(x+2)$ đồng biến khi $x+2$ thuộc khoảng đồng biến của $f$, tức $x+2\in (1;+\infty )\iff x\in (-1;+\infty )$. c) Sai: hàm bậc bốn có ba điểm cực trị $x=-1,0,1$. d) Đúng: trên đoạn $[-1;1]$, so sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=2$, $f(1)=-1$ nên giá trị lớn nhất bằng $2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;0)$ hàm số nghịch biến (đi từ cực tiểu $x=-1$ lên cực đại $x=0$ là tăng, nhưng giữa $-1$ và $0$... thực tế đồ thị đi lên từ $x=-1$ đến $x=0$), tuy nhiên trên khoảng $(-3;-1)$ hàm nghịch biến, nên $f(x)$ không đồng biến trên toàn khoảng $(-3;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên $f(x+2)$ đồng biến khi $x+2>1$, tức $x\in (-1;+\infty )$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=1$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=2$, $f(1)=-1$, nên $\max f=2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1), f'(x)=-2/(x-1)^2<0 với mọi x≠1. a) Đúng. b) Đúng vì f'<0 trên (-∞;1). c) Sai: hàm nghịch biến trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞) nhưng không nghịch biến trên tập hợp ℝ\{1} (ví dụ f(0)=-1 < f(2)=3, vi phạm tính nghịch biến). d) Đúng vì f'(x)≠0 với mọi x trong tập xác định nên hàm không có cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=1+2/(x-1) nên f'(x)=-2/(x-1)^2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;1), f'(x)=-2/(x-1)^2<0 nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ nghịch biến trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞); trên ℝ\{1} không nghịch biến vì f(0)=-1<f(2)=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-2/(x-1)^2≠0 trên tập xác định nên hàm không có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x-x$ trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-\sin x-1$. Vì $-1\le -\sin x\le 1$ nên $y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và $y^{\prime }=0$ khi và chỉ khi $\sin x=-1$, tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Do đó $y^{\prime }\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }$ chỉ triệt tiêu tại các điểm rời rạc, nên hàm số nghịch biến (giảm) trên toàn $\mathbb{R}$. a) Sai: hàm không đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Sai: tại $x=-\frac{\pi }{2}$, $y^{\prime }=0$ nhưng hàm vẫn nghịch biến qua điểm này (dấu $y^{\prime }$ không đổi, luôn âm hoặc bằng 0 hai bên), nên không phải điểm cực đại. c) Đúng: vì hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. d) Đúng: hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ trên $\mathbb{R}$, hàm nghịch biến chứ không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-\frac{\pi }{2}$ có $y^{\prime }=0$ nhưng dấu của $y^{\prime }$ không đổi qua điểm này (hàm vẫn nghịch biến), nên không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và chỉ bằng 0 tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=e^{x^2-1}$, có $y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}$. Vì $e^{x^2-1}>0$ nên dấu $y^{\prime }$ theo dấu của $2x$: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y_{CT}=e^{-1}=\frac{1}{e}$, và chỉ có đúng 1 điểm cực trị. a) Sai: trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng. b) Đúng: $(-3;-2)\subset (-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến. c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$. d) Đúng: $y^{\prime }=0$ chỉ tại $x=0$ và có đổi dấu, nên hàm có 1 điểm cực trị (cực tiểu).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}$ âm khi $x<0$ và dương khi $x>0$, nên trên $(-1;1)$ hàm vừa nghịch biến vừa đồng biến, không đồng biến trên cả khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(-3;-2)\subset (-\infty ;0)$ nơi $y^{\prime }<0$, nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{e}^{x^2-1}=0$ tại $x=0$ và đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm đạt cực tiểu tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ chỉ có nghiệm $x=0$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua đó, nên hàm có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;3)$, có dạng $f^{\prime }(x)=\frac{k}{(x+1{)}^2}$. Vì $f^{\prime }(0)=k=3$ nên $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Suy ra $f(x)=-\frac{3}{x+1}+C$. Trên đoạn $[0;2]\subset (-1;+\infty )$, $f$ đồng biến nên GTNN đạt tại $x=0$: $f(0)=C-3=-2\Rightarrow C=1$. Vậy $f(x)=1-\frac{3}{x+1}$.
a) Trên $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến → Sai.
b) $f(2)=1-\frac{3}{3}=0\ne -2$ → Sai.
c) $f^{\prime }(0)=\frac{3}{(0+1{)}^2}=3$ → Đúng.
d) $f(-2)=1-\frac{3}{-1}=4$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ trên $(-1;+\infty )$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=1-\frac{3}{x+1}$ nên $f(2)=1-1=0\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ đi qua $(0;3)$ nên $f^{\prime }(0)=3$; kiểm tra $f^{\prime }(0)=\frac{3}{1}=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(-2)=1-\frac{3}{-1}=4$.