Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ là parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên hai khoảng đó; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;3)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. Vậy khẳng định đúng là B. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(1;3)$ có $f^{\prime }<0$; C sai vì trên $(-1;1)$ có $f^{\prime }<0$ nhưng trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }>0$; D sai vì trên $(-1;3)$ hàm nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
a) $c(3)=\frac{3}{3^2+1}=\frac{3}{10}$ (mg/L) → đúng. b) $c^{\prime }(t)=\frac{(t^2+1)-t\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{1-t^2}{(t^2+1{)}^2}$ → đúng. c) $c^{\prime }(t)>0\iff 1-t^2>0\iff 0<t<1$, nên hàm tăng trên $(0;1)$ chứ không phải $(0;2)$ → sai. d) $c^{\prime }(t)=0\iff t=1$ (với $t>0$), $c$ tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;+\infty )$ nên nồng độ cao nhất tại $t=1$, không phải $t=\frac{1}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$c(3)=\frac{3}{3^2+1}=\frac{3}{10}$ (mg/L).
b) (AI giải đề cho tôi)
$c^{\prime }(t)=\frac{(t^2+1)-t\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{1-t^2}{(t^2+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c^{\prime }(t)>0\iff 1-t^2>0\iff 0<t<1$, nên hàm số tăng trên $(0;1)$, không phải $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c^{\prime }(t)=0\iff t=1$; $c$ tăng trên $(0;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$ nên nồng độ cao nhất khi $t=1$ (giá trị lớn nhất $c(1)=\frac{1}{2}$), không phải $t=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=\frac{T(x)}{x}=5+\frac{50000}{x}$, xác định trên $\mathcal{D}=[1;+\infty )$ → a đúng. $M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$ nên hàm nghịch biến trên $[1;+\infty )$ → b sai. Vì nghịch biến nên $M$ đạt GTLN tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD → c đúng. Khi $x\to +\infty$, $\frac{50000}{x}\to 0$ nên $M(x)\to 5$, tức chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=5+\frac{50000}{x}$ với $x\ge 1$, tập xác định $\mathcal{D}=[1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, nên $M(x)$ nghịch biến (không đồng biến) trên $[1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$ nên GTLN đạt tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }M(x)={\lim }_{x\to +\infty }\left(5+\frac{50000}{x}\right)=5$, nên khi $x$ đủ lớn chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $3$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-1$). Hàm bậc ba với $a>0$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x+4}{x-1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không xác định trên toàn $\mathbb{R}$, loại.
- B: $y=-x^3-2x-3$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=-x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$ đổi dấu, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$, loại.
- D: $y=-x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$, loại.
Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là hàm ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(3m+4)=3\left[x^2-2mx+(3m+4)\right]$. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x>2$, tức $g(x)=x^2-2mx+3m+4\ge 0$ trên $(2;+\infty )$.

Trường hợp 1: $m\le 1$ thì đỉnh parabol $x=2m\le 2$, hàm $g$ tăng dần trên $(2;+\infty )$, khi đó cần $g(2)=4-4m+3m+4=8-m\ge 0$, đúng với mọi $m\le 1$.

Trường hợp 2: $m>1$ thì cần ${\Delta }^{\prime }=m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$, kết hợp $m>1$ ta được $1<m\le 4$.

Vậy điều kiện là $m\le 4$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3,4\}$, tổng $T=1+2+3+4=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-2;0)$ hoặc $x\in (2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-2;0)$ xuất hiện, nên chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$; $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$, đồng thời nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. Do đó A, B, D sai (A: $(-1;3)$ chứa khoảng đồng biến $(-1;1)$; B: $(-\infty ;1)$ chứa $(-1;1)$ đồng biến; D: $(-1;+\infty )$ chứa $(-1;1)$ đồng biến). Chỉ có C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+(2m-1)x^2+(m-2)x+5$ có $y^{\prime }=-3x^2+2(2m-1)x+(m-2)$. Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì $y^{\prime }$ là tam thức bậc hai với hệ số $-3<0$ nên điều kiện là $\Delta \le 0$: $4(2m-1{)}^2+12(m-2)\le 0\iff 4m^2-m-5\le 0\iff (4m-5)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le \frac{5}{4}$. Vậy $\left[a;\frac{b}{c}\right]=\left[-1;\frac{5}{4}\right]$, tức $a=-1,b=5,c=4$. Khi đó $P=\frac{b^2-c^2}{2a}=\frac{25-16}{2\cdot (-1)}=-\frac{9}{2}=-4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{mx+5}{2x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$, xác định trên hai khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$. Ta có $y^{\prime }=\frac{m(2x+1)-2(mx+5)}{(2x+1{)}^2}=\frac{m-10}{(2x+1{)}^2}$. Vì $(2x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }>0$, tức $m-10>0\iff m>10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Xét các mệnh đề: A sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$; B sai vì $f^{\prime }<0$ trên $(-2;0)$ nên hàm nghịch biến; C sai vì trên $(-\infty ;0)$ hàm không đồng biến (nghịch biến trên $(-2;0)$); D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x) âm trên (-∞;1), dương trên (1;3), âm trên (3;7), dương trên (7;+∞); f(1)=-17, f(3)=-13, f(7)=-18.
a) Trên (7;+∞) có f'(x)>0 nên hàm đồng biến → đúng.
b) f(1)=-17 < -13=f(3) → đúng.
c) Trên (1;3) hàm đồng biến, trên (3;7) hàm nghịch biến, nên khẳng định nghịch biến trên toàn (1;7) là sai.
d) f'(3x-1)=0 ⟺ 3x-1∈{1;3;7} ⟺ x∈{2/3; 4/3; 8/3}. Vậy x=2/3 là nghiệm nhưng không phải nghiệm duy nhất → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)>0 trên (7;+∞) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên f(1)=-17 và f(3)=-13, nên f(1)<f(3).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên (1;3) và nghịch biến trên (3;7), do đó không nghịch biến trên toàn khoảng (1;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(3x-1)=0 ⟺ 3x-1∈{1;3;7} ⟺ x∈{2/3; 4/3; 8/3}, nên x=2/3 không phải nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số giảm dần từ $-\infty$ đến $x=1$ (điểm cực tiểu tại $(1;0)$), sau đó tăng dần trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$: đáp án D. A sai vì trên $(0;2)$ hàm vừa giảm vừa tăng; B sai vì hàm giảm trên $(-1;1)$; C sai vì hàm tăng trên $(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ bán hàng là $f^{\prime }(t)=500(2t-m{e}^{-t})$. Tốc độ luôn tăng trên $[0;10]$ nghĩa là $f^{\prime \prime }(t)\ge 0$ với mọi $t\in [0;10]$. Ta có $f^{\prime \prime }(t)=500(2+m{e}^{-t})$. Vì $m\le 0$ nên $m{e}^{-t}$ tăng theo $t$ (vì $e^{-t}$ giảm, nhân với $m<0$ làm $m{e}^{-t}$ tăng), do đó $2+m{e}^{-t}$ nhỏ nhất tại $t=0$. Điều kiện: $2+m\ge 0\iff m\ge -2$. Kết hợp $m\le 0$ ta được $-2\le m\le 0$, vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Ta có $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f^{\prime }(x)$ là dấu của $(x+1{)}^3(3-x)$, tức dấu của $(x+1)(3-x)$. Với $x<-1$: $(x+1)<0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Với $-1<x<3$: $(x+1)>0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Với $x>3$: $(x+1)>0$, $(3-x)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;3)$. Trong các đáp án, khoảng thuộc $(-1;3)$ là $(1;3)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^4(x-1)(2-x{)}^3$. Vì $(x+1{)}^4\ge 0$ và $(2-x{)}^3$ cùng dấu với $2-x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do tích $(x-1)(2-x)$ quyết định. Xét $(x-1)(2-x)>0\iff 1<x<2$. Kiểm tra: trên $(1;2)$, $x-1>0$ và $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Trên $(-\infty ;-1)$: $x-1<0$, $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Trên $(-1;1)$: $x-1<0$, $2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Trên $(2;+\infty )$: $x-1>0$, $2-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$, đáp án A.

Xác định dạng của $f^{\prime }$: Vì $f$ là hàm số đa thức bậc sáu nên $f^{\prime }$ là hàm số đa thức bậc năm. Từ đồ thị, $f^{\prime }$ có ba nghiệm $x=-2$, $x=1$, $x=5$; tại $x=-2$ và $x=5$ đồ thị tiếp xúc với trục hoành nên đó là các nghiệm bội chẵn, còn tại $x=1$ đồ thị cắt trục hoành và $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên đó là nghiệm bội lẻ. Do tổng các bội bằng 5, ta được $$f^{\prime }(x)=k(x+2{)}^2(x-1)(x-5{)}^2,k>0.$$ Tính đạo hàm của hàm hợp: Với $g(x)=f(x^2)$ ta có $$g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2kx(x^2+2{)}^2(x^2-1)(x^2-5{)}^2.$$ Xét dấu: Vì $k>0$ và $(x^2+2{)}^2>0$ với mọi $x$, còn $(x^2-5{)}^2\ge 0$ nên $$g^{\prime }(x)\ge 0⟺x(x^2-1)(x^2-5{)}^2\ge 0⟺\left[x=\pm \sqrt{5}\text{ hoặc }x(x-1)(x+1)\ge 0\right].$$ Lập bảng xét dấu của $x(x-1)(x+1)$ ta được $x(x-1)(x+1)\ge 0⟺x\in [-1;0]\cup [1;+\infty )$. Đếm nghiệm nguyên: Hai giá trị $x=\pm \sqrt{5}$ không nguyên. Các nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$ gồm: $x\in [-1;0]$: có 2 số nguyên là $-1$ và $0$; $x\in [1;2027]$: có 2027 số nguyên là $1;2;\dots ;2027$. Tổng cộng có $2+2027=2029$ nghiệm nguyên. Đáp số: Bất phương trình có 2029 nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-2026;2027]$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về dấu đạo hàm: nếu $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (a;b)$ thì hàm số nghịch biến trên $(a;b)$. Vậy mệnh đề B đúng. A sai vì $f^{\prime }(x)<0$ cho nghịch biến; C sai vì $f^{\prime }(x)>0$ cho đồng biến; D sai vì chiều đảo ngược không đúng (hàm nghịch biến có thể có $f^{\prime }(x_0)=0$ tại một điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x^2-1)$. Cho $y^{\prime }>0\iff x^2<1\iff -1<x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{7}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$; không đồng biến trên toàn miền xác định vì gián đoạn tại $x=-2$. Hàm số không có cực trị nên D sai. Đáp án C.