Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 2: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ mang dấu $+$ trên $(-\infty ;-1)$, dấu $-$ trên $(-1;0)$, dấu $+$ trên $(0;1)$, dấu $-$ trên $(1;+\infty )$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các phương án, chỉ có $(0;1)$ thỏa mãn, tương ứng phương án D. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{x^2+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-4x}{(x^2+1{)}^2}$. Với $x>0$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Với $x<0$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Do đó đáp án là $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2-12x-(2m+9)$.
a) $y^{\prime }(-1)=-3+12-(2m+9)=-2m$ → đúng.
b) Với $m=4$: $y^{\prime }=-3x^2-12x-17$, $\Delta =144-4\cdot 3\cdot 17=-60<0$ nên $y^{\prime }<0$ với mọi $x$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ → đúng.
c) Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\le 0\forall x\iff \Delta \le 0\iff 144-12(2m+9)\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$ → đúng.
d) Trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime \prime }=-6x-12>0$ nên $y^{\prime }$ đồng biến, $\sup y^{\prime }=y^{\prime }(-2)=3-2m$. Hàm nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ $\iff 3-2m\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$. Các giá trị nguyên thuộc $[-8;8]$ là $m\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$: 7 giá trị → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2-12x-(2m+9)$; $y^{\prime }(-1)=-3+12-(2m+9)=-2m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=4$, $y^{\prime }=-3x^2-12x-17<0$ với mọi $x$ vì $\Delta =-60<0$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\le 0\forall x\iff 144-12(2m+9)\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime \prime }=-6x-12>0$ nên $y^{\prime }$ đồng biến, cần $y^{\prime }(-2)=3-2m\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$. Giá trị nguyên trong $[-8;8]$: $\{2;3;4;5;6;7;8\}$ — đúng 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ne -m$. Ta có $y^{\prime }=\frac{m(x+m)-(mx+4m)}{(x+m{)}^2}=\frac{m(m-4)}{(x+m{)}^2}$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }<0$ với mọi $x\ne -m$, tức $m(m-4)<0\iff 0<m<4$. Các giá trị nguyên: $m\in \{1,2,3\}$, nên $S$ có $3$ phần tử. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$, $x=1$ và $x=4$. Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị của $f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. Trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến; trên $(1;+\infty )$ hàm số không đồng biến toàn bộ vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;4)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=-x^3+3x^2+9x+2$, TXĐ $\mathbb{R}$.

a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$. Với $x\in (-1;3)$ thì $f^{\prime }(x)>0$; với $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-1;3)$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Đổi dấu $f^{\prime }$ từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ nên điểm cực tiểu $(-1;-3)$ (vì $f(-1)=1+3-9+2=-3$); đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ nên điểm cực đại $(3;29)$ (vì $f(3)=-27+27+27+2=29$). Khoảng cách $d=\sqrt{(3+1{)}^2+(29+3{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}$.

c) Trên $[-2;0]$: $f(-2)=8+12-18+2=4$, $f(0)=2$, $f(-1)=-3$. Hàm nghịch biến trên $[-2;-1]$ và đồng biến trên $[-1;0]$ nên ${\min }_{[-2;0]}f=-3$ tại $x=-1$; ${\max }_{[-2;0]}f=4$ tại $x=-2$.

d) Đặt $g(x)=f(1-x)$, $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(1-x)$. $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(1-x)<0\iff 1-x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$. Vậy $f(1-x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{3x}+2m{e}^{2x}+(m-3)e^x=e^x\left(e^{2x}+2m{e}^x+m-3\right)$. Đặt $t=e^x$, với $x\in [0;\ln 2]$ thì $t\in [1;2]$. Hàm số đồng biến trên $[0;\ln 2]$ khi và chỉ khi $g(t)=t^2+2mt+m-3\ge 0$ với mọi $t\in [1;2]$. Vì $g$ là tam thức bậc hai với hệ số dương, xét ba trường hợp theo vị trí đỉnh $t=-m$: (1) Nếu $-m\in [1;2]$ tức $m\in [-2;-1]$, giá trị nhỏ nhất $g(-m)=-m^2+m-3\ge 0$ tương đương $m^2-m+3\le 0$, vô nghiệm. (2) Nếu $-m<1$ tức $m>-1$, min tại $t=1$: $g(1)=3m-2\ge 0\Rightarrow m\ge \frac{2}{3}$, thỏa mãn $m>-1$. (3) Nếu $-m>2$ tức $m<-2$, min tại $t=2$: $g(2)=5m+1\ge 0\Rightarrow m\ge -\frac{1}{5}$, mâu thuẫn với $m<-2$. Vậy điều kiện là $m\ge \frac{2}{3}$. Các giá trị nguyên của $m$ thuộc khoảng $(-2026;2026)$ là $m\in \{1,2,\dots ,2025\}$, gồm $2025$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+2)-(x^2+2x+4)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$. Vì $(x+2{)}^2>0$ với mọi $x\ne -2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $x(x+4)$: $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<0$ (với $x\ne -2$). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-2)$ và $(-2;0)$, tức là nghịch biến trên khoảng $(-4;0)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(3;7)$ nên hàm số nghịch biến trên $(3;7).$ Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ truyền bệnh là f'(t)=90t−3t². Tốc độ giảm khi f”(t)=90−6t<0, tức t>15. Trên đoạn [0;25], tốc độ giảm từ ngày thứ 15 đến ngày thứ 25, nên m=15, n=25 và n−m=10.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3-3x^2-9x+16$, xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$.

$y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.

- Với $x<-1$: $y^{\prime }>0$ (cả hai nhân tố âm), hàm số đồng biến.
- Với $-1<x<3$: $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến.
- Với $x>3$: $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến.

Bảng biến thiên:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-1</td><td></td><td>3</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>\nearrow </td><td>21</td><td>\searrow </td><td>-11</td><td>\nearrow </td><td></td></tr></tbody></table>$$
Trong đó $y(-1)=-1-3+9+16=21$ (cực đại) và $y(3)=27-27-27+16=-11$ (cực tiểu).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$.

Tập xác định của đạo hàm là $[0;+\infty )$.
Với $x>0$, $\sqrt{x}>0$, dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào $(x-2{)}^3$:
- Khi $0<x<2⟹x-2<0⟹f^{\prime }(x)<0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
- Khi $x>2⟹x-2>0⟹f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$.

Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{m^2-1}{(x+m{)}^2}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ thì:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0,\forall x\in (1;+\infty )\\ -m\notin (1;+\infty )\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-1>0\\ -m\le 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>1\text{ hoặc }m<-1\\ m\ge -1\end{array}\iff m>1$.

Ta có $f^{\prime }(x)<0\iff (x+4)(x-3)<0\iff -4<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;3)$. Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)<0\iff (x+2)(x-1)<0\iff -2<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$. Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)<0\iff (x+1)(x-2)<0\iff -1<x<2$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$. Chọn C.

Tập xác định trên $(0;+\infty )$. Đạo hàm:
$y^{\prime }=3x^3-2(3m-1)x+\frac{1}{x^5}$.
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )⟺y^{\prime }\ge 0\forall x>0$
$⟺3x^3+\frac{1}{x^5}\ge 2(3m-1)x⟺3x^2+\frac{1}{x^6}\ge 2(3m-1)$ (do $x>0$).
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương $x^2,x^2,x^2,\frac{1}{x^6}$:
$3x^2+\frac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\frac{1}{x^6}\ge 4\sqrt[4]{x^2\cdot x^2\cdot x^2\cdot \frac{1}{x^6}}=4$.
Đẳng thức xảy ra khi $x^2=\frac{1}{x^6}⟺x=1>0$.
Do đó ${\min }_{(0;+\infty )}\left(3x^2+\frac{1}{x^6}\right)=4$.
Bất đẳng thức đúng với mọi $x>0⟺2(3m-1)\le 4⟺3m-1\le 2⟺3m\le 3⟺m\le 1$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m=1$. Vậy có đúng 1 giá trị của $m$. Chọn A.

Xét hàm số $y=-x^3+3x^2-3x+1$, ta có đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x-3=-3(x-1{)}^2\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=x^2-x-6=(x+2)(x-3)$. Cho $y^{\prime }=0⟺x=-2$ hoặc $x=3$. Trong khoảng $(-2;3)$ thì $y^{\prime }<0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;3)$.