Ta có y′=(2x+3)f′(x2+3x−m).
Với mọi x∈(0;2) thì 2x+3>0, nên hàm số đồng biến trên (0;2) khi và chỉ khi:
f′(x2+3x−m)≥0,∀x∈(0;2).
Vì f′(t)=(t−1)(t+3)≥0⇔t≤−3 hoặc t≥1.
Do đó ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: x2+3x−m≤−3,∀x∈(0;2)⇔m≥x2+3x+3,∀x∈(0;2).
Vì hàm số g(x)=x2+3x+3 đồng biến trên [0;2] nên max[0;2]g(x)=g(2)=13, suy ra m≥13.
- Trường hợp 2: x2+3x−m≥1,∀x∈(0;2)⇔m≤x2+3x−1,∀x∈(0;2).
Vì hàm số h(x)=x2+3x−1 đồng biến trên [0;2] nên min[0;2]h(x)=h(0)=−1, suy ra m≤−1.
Kết hợp điều kiện m∈[−10;20] và m∈Z, ta có m∈[−10;−1]∪[13;20].
Số giá trị nguyên của m là 10+8=18.
