Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2(x-3)e^{2x}=e^{2x}(2x-5)$. Vì $e^{2x}>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<\frac{5}{2}$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>\frac{5}{2}$. Hàm số đạt cực tiểu (và là GTNN trên $\mathbb{R}$) tại $x=\frac{5}{2}$: $f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}-3\right)e^5=-\frac{e^5}{2}$. Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\min }f(x)=-\frac{e^5}{2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=-1$ (cực đại), $f(1)=-5$ (cực tiểu), $f(0)=-3$, $f(-2)=-5$, $f(2)=-1$.
a) Trên $[-2;2]$: GTLN $=\max \{f(-2),f(-1),f(1),f(2)\}=\max \{-5,-1,-5,-1\}=-1$ → đúng.
b) Trên $[0;+\infty )$: hàm giảm từ $f(0)=-3$ đến $f(1)=-5$ rồi tăng lên $+\infty$, nên GTNN $=-5$ → đúng.
c) Trên $(-\infty ;1]$: GTLN $=-1$ (tại $x=-1$), GTNN $=-5$ (tại $x=-2$ và $x=1$), hiệu $=-1-(-5)=4\ne 2$ → sai.
d) Trên $[-1;2]$: $f(-1)=-1$, $f(1)=-5$, $f(2)=-1$, nên GTNN $=-5$ đạt tại $x=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, giá trị lớn nhất là $f(-1)=f(2)=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;+\infty )$, hàm giảm đến $f(1)=-5$ rồi tăng lên $+\infty$, nên GTNN $=-5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;1]$: max $=-1$, min $=-5$, hiệu bằng $4$ chứ không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, GTNN $=-5$ đạt tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba đi lên: $f(0)=-4$ (cực tiểu), $f(2)=0$ (cực đại, tiếp xúc trục hoành), $f(1)=-2$, $f(3)=-4$. a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất là $y=-4$ tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn) nên $m=-4$ → đúng. b) Trên $[1;3]$, hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ nên $M=0\ne -2$ → sai. c) $M+m=0+(-4)=-4$ → đúng. d) Trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$, đồ thị tại $x=-1$ nằm phía trên trục hoành nên $f(-1)>0$, do đó $\max f>f(2)=0$ và giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, khác $0$ → sai.
a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất của đồ thị là $y=-4$ đạt tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn), nên $m=-4$.
b) Trên $[1;3]$, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ (tiếp xúc trục hoành), nên $M=0$, không phải $-2$ ($f(1)=-2$ chỉ là giá trị tại đầu đoạn).
c) Vì $M=0$ và $m=-4$ nên $M+m=-4$.
d) Trên $[-1;+\infty )$, theo đồ thị $f(-1)>0$ nên giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên nửa khoảng này lớn hơn $f(2)=0$. Do đó giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, chắc chắn khác $0$; mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f tăng trên (-∞;-1), giảm trên (-1;0), tăng trên (0;1), giảm trên (1;+∞), với f(-1)=5, f(0)=2, f(1)=3, và f(x)→-∞ khi x→±∞.
a) Trên ℝ, hàm số đạt giá trị lớn nhất 5 tại x=-1 (hai đầu tiến tới -∞). Đúng.
b) Trên ℝ, f(x)→-∞ khi x→±∞ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; min f(x)=2 là sai (2 chỉ là cực tiểu). Sai.
c) Trên [-1;1]: giá trị lớn nhất là max{f(-1), f(0), f(1)} = max{5, 2, 3} = 5; giá trị nhỏ nhất là min{5, 2, 3} = 2. Tổng = 5 + 2 = 7. Đúng.
d) Với x∈[0;π/2] thì sin x∈[0;1]. Trên đoạn [0;1], f tăng từ f(0)=2 đến f(1)=3 nên max f(sin x) = f(1) = 3, không phải 5. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt max bằng 5 tại x=-1 vì f(x)→-∞ ở hai đầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)→-∞ khi x→±∞ nên hàm không có giá trị nhỏ nhất trên ℝ; 2 chỉ là giá trị cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-1;1]: max = 5 (tại x=-1), min = 2 (tại x=0), tổng = 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x∈[0;1], trên [0;1] hàm f đồng biến nên max f(sin x)=f(1)=3 ≠ 5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 28: $f(-1)=1$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=3$.
a) Trên $[-1;3]$, giá trị lớn nhất là $3$ đạt tại $x=3$, nên $\underset{x\in [-1;3]}{\max }f(x)=f(3)=3$. Đúng.
b) Giá trị nhỏ nhất là $-2$ đạt tại $x=2$, nên $\underset{x\in [-1;3]}{\min }f(x)=-2$. Đúng.
c) Trên $[-1;2]$: hàm tăng từ $f(-1)=1$ đến $f(0)=2$, sau đó giảm đến $f(2)=-2$, nên tập giá trị là $[-2;2]$, không phải $[-2;3]$. Sai.
d) Đặt $t=3{\sin }^{2}x-1$. Vì $\frac{\pi }{2}\in [-1;3]$ nên ${\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[0;1]$, suy ra $t\in [-1;2]$. Trên $[-1;2]$, $\max f=f(0)=2$, nên $\underset{x\in [-1;3]}{\max }f(3{\sin }^{2}x-1)=2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $\underset{x\in [-1;3]}{\max }f(x)=3=f(3)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-1;3]$ là $-2$ tại $x=2$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, $\max f=2$, $\min f=-2$ nên tập giá trị là $[-2;2]$, không phải $[-2;3]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}\in [-1;3]$, ${\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[0;1]$ nên $t=3{\sin }^{2}x-1\in [-1;2]$; trên $[-1;2]$ ta có $\max f=f(0)=2$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+3x$ liên tục trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $[0;2]$. Do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $M=y(2)=2^3+3\cdot 2=8+6=14$. Vậy $M=14$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=12t-3t^2=-3t^2+12t$, với $t\ge 0$. Đây là parabol bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=-\frac{12}{2(-3)}=2$ (s). Khi đó $v_{\max }=12\cdot 2-3\cdot 4=12$ m/s. Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ s, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+7=(t-2{)}^2+3$. Trên đoạn $[0;5]$, hàm $v(t)$ là parabol có đỉnh tại $t=2$ (điểm nhỏ nhất $v=3$), nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút: $v(0)=7$, $v(5)=25-20+7=12$. Vậy $v_{\max }=12$ m/s tại $t=5$ giây. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu tại $(-1;-1)$ và cực đại tại $(1;3)$, hai nhánh đi lên vô cực khi $x\to -\infty$ và xuống vô cực khi $x\to +\infty$. a) Sai: vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ nên hàm số không có GTLN cũng không có GTNN trên $\mathbb{R}$; $-1$ và $3$ chỉ là giá trị cực tiểu, cực đại. b) Đúng: trên $[0;1]$ hàm đồng biến, GTLN đạt tại $x=1$ bằng $f(1)=3$. c) Sai: trên $[-1;1]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(-1)=-1$, không phải $0$. d) Đúng: trên $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến từ $3$ (không đạt được) xuống $-\infty$, nên không có GTNN.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không có GTLN và GTNN trên ℝ vì hai nhánh đi tới ±∞; -1 và 3 chỉ là giá trị cực tiểu, cực đại.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] hàm đồng biến nên GTLN bằng f(1)=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-1;1] hàm đồng biến nên GTNN bằng f(-1)=-1, không phải 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;+∞) hàm nghịch biến từ 3 xuống -∞ nên không có GTNN.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+2$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ (và $x=1$ là điểm cực tiểu) nên ${\min }_{[0;1]}y=0$. Đúng.
b) Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$. Sai.
c) Trên $[-1;0]$: $y(-1)=4$, $y(0)=2$ nên ${\min }_{[-1;0]}y=2$. Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\max }_{[0;1]}y=2$. Tổng $=2+2=4$. Đúng.
d) Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=-\frac{27}{8}+\frac{9}{2}+2=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}+2=\frac{27}{8}$. Vậy $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$ nên ${\min }_{[0;1]}y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=4$ nên ${\min }_{[0;2]}y=0=y(1)\ne y(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{[-1;0]}y=2$ (tại $x=0$) và ${\max }_{[0;1]}y=2$ (tại $x=0$), tổng bằng 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}]$: $y(-\frac{3}{2})=\frac{25}{8}$, $y(-1)=4$, $y(-\frac{1}{2})=\frac{27}{8}$ nên $\min =\frac{25}{8}\ne \frac{8}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,25x^2(30-x)=7,5x^2-0,25x^3$ với $x>0$. Tính đạo hàm: $G^{\prime }(x)=15x-0,75x^2=0,75x(20-x)$. Cho $G^{\prime }(x)=0$ với $x>0$ ta được $x=20$. Với $0<x<20$ thì $G^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến), với $x>20$ thì $G^{\prime }(x)<0$ (hàm nghịch biến), nên $G(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=20$. Vậy để huyết áp giảm nhiều nhất cần tiêm liều lượng $20$ (mg).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh song song với tường là $x$, cạnh vuông góc là $y$ ($x,y>0$). Lượng lưới chỉ rào 3 cạnh nên $2y+x=100$, suy ra $x=100-2y$ với $0<y<50$. Diện tích $S=xy=y(100-2y)=100y-2y^2$. Hàm số đạt cực đại tại $y=\frac{100}{2\cdot 2}=25$, khi đó $x=50$ và $S_{\max }=50\cdot 25=1250m^2$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-2x+3$ có $y^{\prime }=2x-2$. Trên đoạn $[2;4]$ ta có $y^{\prime }=2x-2>0$ nên hàm số đồng biến, do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=4-4+3=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-4;0)$, ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$; trong khoảng $(-4;0)$ chỉ có $x=-2$. Với $x\in (-4;-2)$, ví dụ $x=-3$: $f^{\prime }(-3)=1-\frac{4}{9}>0$; với $x\in (-2;0)$, ví dụ $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=1-4=-3<0$. Vậy hàm số tăng trên $(-4;-2)$ rồi giảm trên $(-2;0)$, nên $x=-2$ là điểm cực đại. Giá trị $f(-2)=-2+\frac{4}{-2}=-4$. So sánh với giới hạn hai đầu: ${\lim }_{x\to -4^{+}}f(x)=-4-1=-5<-4$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$. Do đó GTLN của $f(x)$ trên $(-4;0)$ là $-4$, đạt tại $x=-2\in (-4;0)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$; hàm đồng biến rồi đạt cực đại $f(0)=4$, giảm xuống cực tiểu $f(2)=-5$, rồi tăng trở lại và khi $x\to +\infty$, $y\to 2$. Trên $\mathbb{R}$, giá trị lớn nhất là $\max \{4,2\}=4$ (đạt tại $x=0$) và giá trị nhỏ nhất là $\min \{-5,2\}=-5$ (đạt tại $x=2$). Tổng $\max +\min =4+(-5)=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[0;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ $x=2$ với tung độ $y=4$ (đỉnh cao nhất của đồ thị trên đoạn này, cao hơn giá trị tại hai đầu mút). Vậy ${\max }_{[0;3]}f(x)=4$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^3+3x^2-12x+2$ trên $[-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$. Trên đoạn $[-1;2]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ (nghiệm $x=-2$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $y(-1)=2(-1{)}^3+3(-1{)}^2-12(-1)+2=19$; $y(1)=2+3-12+2=-5$; $y(2)=16+12-24+2=6$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-5$ đạt được tại $x_0=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-5;7)$: hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, khi $x$ tiến đến $7$ (không thuộc tập xác định vì khoảng mở phải) thì $f(x)$ tiến đến $9$ nhưng không đạt giá trị $9$. Do đó trên $[-5;7)$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $\min f(x)=2$ tại $x=1$, và giá trị lớn nhất là $\max f(x)=6$ tại $x=-5$ (vì $9$ không đạt được). Vậy mệnh đề đúng là $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền hãng thu về khi đại lí nhập $x$ chiếc điện thoại là $$f(x)=x(6000-3x)=6000x-3x^2\text{ (nghıˋn đoˆˋng)},x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<200.$$ Xét $f(x)=-3x^2+6000x$ trên tập $\{1,2,\dots ,199\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=6000-6x=6(1000-x)>0$ với mọi $x<200$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;200)$. Do đó $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=199$ (giá trị lớn nhất của tập xác định), với $$f(199)=199\cdot (6000-3\cdot 199)=199\cdot 5403=1075197\text{ nghıˋn đoˆˋng}\approx 1,075\text{ tỷ đoˆˋng}.$$ Vậy đại lí nên nhập cùng lúc 199 chiếc điện thoại để hãng thu về nhiều tiền nhất.