Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là $50{\text{ m}}^2$. Vụ trước ông nuôi với mật độ là $20{\text{ con/m}}^2$ và thu được $1,5\text{ taˆˊn}$ cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi $8{\text{ con/m}}^2$ thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên $0,5\text{ kg}$. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

Trong một trò chơi thử thách, bạn Giáp đang ở trên thuyền (vị trí $A$) cách bờ hồ (vị trí $C$) $300\text{ m}$ và cần đi đến vị trí $B$ trên bờ hồ như hình vẽ dưới đây, khoảng cách từ $C$ đến $B$ là $400\text{ m}$. Lưu ý là Giáp có thể chèo thuyền thẳng từ $A$ đến $B$ hoặc chèo thuyền từ $A$ đến một điểm nằm giữa $C$ và $B$ rồi chạy bộ đến $B$.

Biết rằng Giáp chèo thuyền với tốc độ $50\text{ m/phuˊt}$ và chạy bộ với tốc độ $100\text{ m/phuˊt}$.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một xí nghiệp A chuyên cung cấp sản phẩm S cho nhà phân phối B. Hai bên thỏa thuận rằng, nếu đầu tháng B đặt hàng $x$ tạ sản phẩm S thì giá bán mỗi tạ sản phẩm S là $P(x)=6-0,0005x^2$ (triệu đồng) ($x\le 40$). Chi phí A phải bỏ ra cho $x$ tạ sản phẩm S trong một tháng là $C(x)=10+3,5x$ (triệu đồng) và mỗi sản phẩm bán ra phải chịu thêm mức thuế là $1$ triệu đồng. Hỏi trong một tháng B cần đặt hàng bao nhiêu tạ sản phẩm S thì A có được lợi nhuận lớn nhất, kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3+3x-6$ trên đoạn $[1;3]$ là:

Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-t^3+15t^2$. Ta xem $f^{\prime }(t)$ là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?

Doanh số bán hệ thống âm thanh mới đưa ra thị trường trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $R(x)=\frac{5000e^x}{e^x+5},x\ge 0$, trong đó thời gian $x$ tính bằng năm. Khi đó, đạo hàm $R^{\prime }(x)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm thứ bao nhiêu?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Biết công ty này có $30$ máy và mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ (nghìn đồng) cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ (nghìn đồng) một giờ. Số máy công ty nên sử dụng để sản xuất đơn hàng trên là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{100000x}{x^2+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm $1\%$ cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm $2\%$ cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$, có đồ thị trên đoạn $[-2;2]$ như hình vẽ.

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[-2;2]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó $M-m$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;0]$ bằng:

Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và $p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi nhuận.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $1000{\text{ m}}^2$, người ta muốn mở rộng thêm $4$ phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn (Tham khảo hình vẽ). Biết tâm của hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Tìm diện tích nhỏ nhất $S_{\min }$ của $4$ phần đất mở rộng (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $f(x)=3x+\sin 3x$.

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-8x^2+a$, $(a\in \mathbb{R})$ trên đoạn $[-1;3]$ bằng

Câu 1. Một doanh nghiệp dự kiến sản xuất không quá $2000$ sản phẩm cùng loại. Giả sử rằng doanh thu của doanh nghiệp khi sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};0\le x\le 2000$) là $R(x)=16x-0,005x^2$ (triệu đồng) và doanh nghiệp phải nộp một khoản thuế là $5\%$ của doanh thu $R(x)$. Chi phí để sản xuất mỗi sản phẩm là bốn triệu đồng. Lợi nhuận của doanh nghiệp (khi sản xuất $x$ sản phẩm) được tính theo công thức: Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi thuế và chi phí. Doanh nghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+4$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Nếu có $x$ sản phẩm được bán ra thì bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán trên mỗi sản phẩm là $q(x)=10000-250x$ (nghìn đồng), với $0<x<40$. Gọi $f(x)$ là hàm doanh thu của công ty (đơn vị: nghìn đồng). Xem $y=f(x)$ là một hàm số xác định trên khoảng $(0;40)$.

Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính $AB=150\text{ m}$. Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 3 km/h từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ bất kỳ trên cung $AB$. Tại vị trí $C$ người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục chạy bộ dọc theo cung nhỏ $CB$ đến $B$, sau đó chạy theo đường thẳng $BA$ để quay về $A$ với vận tốc 6 km/h (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến $A$ là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một công ty vận tải cần tối ưu tổng chi phí cho mỗi chuyến xe chạy quãng đường $200\text{ km}$. Biết rằng tổng chi phí gồm có $2$ phần: phần thứ nhất là chi phí vận hành $C_1(x)=\frac{10000}{x+2}$ (nghìn đồng), với $x\in (20;100)$ là tốc độ trung bình ($\text{km/h}$); phần thứ hai là chi phí bảo trì xe theo tốc độ $C_2(x)=\frac{2x^2+60x+1000}{x+2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí $C(x)=C_1(x)+C_2(x)$.

Bác Minh lên kế hoạch làm các hàng rào cho khu đất hình chữ nhật để bảo vệ cho rau trồng của mình. Bác rào $3$ mặt xung quanh và một hàng rào ở giữa chia đôi khu đất, để trống một mặt phía bờ sông (như hình minh họa). Biết rằng, chi phí để làm chiều dài hàng rào là $60$ nghìn đồng/mét, ba hàng rào theo chiều rộng còn lại có chi phí như nhau và bằng $50$ nghìn đồng/mét và tổng chi phí cho việc làm hàng rào là $15$ triệu đồng. Hỏi Bác Minh có thể rào được khu đất có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?