Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$: tại $x=-1$ hàm số có giá trị $f(-1)=3$ (cực đại cục bộ), tại $x=1$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $f(1)=-1$, và tại $x=3$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $f(3)=4$. So sánh các giá trị: giá trị lớn nhất $M=4$, giá trị nhỏ nhất $m=-1$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
$$h^{\prime }(t)=-t^2+10t+24=0\Rightarrow t=12\text{ (nhận, }t>0\text{) hoặc }t=-2\text{ (loại).}$$
Vì $h^{\prime }(t)>0$ với $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ với $t>12$ nên mực nước cao nhất tại $t=12$, tức lúc $7+12=19$ giờ. Phải thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo lúc $19-5=14$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,25x^2(30-x)=7,5x^2-0,25x^3$ với $x>0$. Vì $G(x)\ge 0$ chỉ khi $0<x\le 30$ (với $x>30$ thì $G<0$, huyết áp không giảm), xét $G$ trên $(0;30)$. $G^{\prime }(x)=15x-0,75x^2=0,75x(20-x)$. $G^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (0;20)$ và $G^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (20;30)$, nên $G$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=20$. Kiểm tra: $G(20)=0,25\cdot 400\cdot 10=1000$ lớn hơn $G(30)=0$. Vậy cần tiêm $20$ mg, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;4]$ hàm số đạt giá trị cao nhất tại $x=-2$ với $f(-2)=7$ (các giá trị khác: $f(1)=-2$, $f(3)=2$, $f(4)=-4$). Vậy giá trị lớn nhất là $7$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=600$ và $P(3)=4500$, sức chứa $c=6000$. Ta có $P(0)=\frac{c}{1+a}=600\Rightarrow 1+a=10\Rightarrow a=9$. Với $P(3)=4500$: $\frac{6000}{1+9b^{-3}}=4500\Rightarrow 1+9b^{-3}=\frac{4}{3}\Rightarrow b^{-3}=\frac{1}{27}\Rightarrow b=3$. Tốc độ tăng trưởng $P^{\prime }(t)=\frac{ca\ln b\cdot b^{-t}}{{\left(1+a{b}^{-t}\right)}^2}$ đạt cực đại khi $a{b}^{-t}=1$, tức $t={\log }_{3}9=2$, với giá trị $P_{\max }^{\prime }=\frac{c\ln b}{4}=\frac{6000\ln 3}{4}=1500\ln 3\approx 1647,9\approx 1648$ con/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3-\frac{8}{x^3}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\approx 1,3867$. Với $0<x<\sqrt[3]{8/3}$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>\sqrt[3]{8/3}$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{8/3}$. Tại đó $\frac{4}{x^2}=\frac{3x}{2}$, suy ra $y_{\min }=3x+\frac{3x}{2}=\frac{9x}{2}=\frac{9}{2}\sqrt[3]{\frac{8}{3}}\approx 6,2402\approx 6,24$. Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $6,24$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $AB\perp BC$ với $AB=5$ km, $BC=7$ km, $D$ nằm trên đoạn $BC$. Gọi $BD=x$ với $0\le x\le 7$, khi đó $DC=7-x$ và $AD=\sqrt{A{B}^2+B{D}^2}=\sqrt{25+x^2}$.

Thời gian đi từ $A$ đến $C$ là:
$$T(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{4}+\frac{7-x}{6},0\le x\le 7.$$

Ta có:
$$T^{\prime }(x)=\frac{x}{4\sqrt{25+x^2}}-\frac{1}{6}.$$

$T^{\prime }(x)=0\iff \frac{x}{4\sqrt{25+x^2}}=\frac{1}{6}\iff 6x=4\sqrt{25+x^2}\iff 36x^2=16(25+x^2)\iff 20x^2=400\iff x=5$ (thỏa $0\le x\le 7$).

Xét dấu: với $x<5$ thì $T^{\prime }(x)<0$; với $x>5$ thì $T^{\prime }(x)>0$. Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=5$, tức $T(5)=\frac{\sqrt{50}}{4}+\frac{2}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{3}\approx 2,098$ giờ.

Khi đó $AD=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}\approx 7,07$ km.

Kết luận: điểm $D$ cách $A$ một khoảng $5\sqrt{2}\approx 7,07$ km (khi $D$ cách $B$ đúng 5 km) để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên đoạn $[-4;5]$. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ có thể đạt tại các đầu mút hoặc điểm tới hạn. Ta so sánh: $f(-4)=\frac{2}{3}$, $f(-2)=\frac{46}{3}$ (cực đại), $f(4)=-\frac{62}{3}$ (cực tiểu), $f(5)=-\frac{52}{3}$. Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $-\frac{62}{3}$ tại $x=4$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-4;5]$ bằng $-\frac{62}{3}$.

(AI giải đề cho tôi) Đáp án theo bảng mã đề 1203, Phần II câu 2: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai (DSDS).
a) Đúng: $M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3\cdot 7-2\cdot (-4)=29$.
b) Sai: giá trị lớn nhất trên $[-2;4]$ là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$.
c) Sai theo đáp án chính thức của đề.
d) Sai: $f(3)=2>f(0)$, nên $f(3)<f(0)$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi) Theo hình vẽ, trên đoạn $[-2;4]$ ta có $M=f(-2)=7$ và $m=f(4)=-4$. Khi đó $P=3M-2m=3\cdot 7-2\cdot (-4)=21+8=29$. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi) Trên đoạn $[-2;4]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$. Mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án chính thức (mã đề 1203, Phần II câu 2, vị trí c) là S (Sai). Lưu ý: theo hình vẽ, đỉnh parabol tại $(1;-2)$ khiến mệnh đề này có vẻ đúng; tuy nhiên đáp án chính thức của đề ghi là Sai, nên giữ nguyên theo nguồn. Cần đối chiếu lại với đề gốc/bản giải chính thức.
d) (AI giải đề cho tôi) Theo bảng đáp án chính thức (mã đề 1203, Phần II câu 2, vị trí d) là S (Sai). Quả thực theo hình vẽ $f(3)=2$ còn $f(0)<0$ (điểm trên parabol giữa $-2$ và $1$), nên $f(3)>f(0)$, mệnh đề $f(3)<f(0)$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=x\cdot p(x)-C(x)=x(240-3x)-\left[75+(80+T)x-x^2\right]=-2x^2+(160-T)x-75$. Hàm bậc hai có đỉnh tại $x=\frac{160-T}{4}$. Tổng thuế phải trả là $S(T)=T\cdot x=T\cdot \frac{160-T}{4}=\frac{160T-T^2}{4}$, đạt giá trị lớn nhất khi $T=\frac{160}{2}=80$ (nghìn đồng). Khi đó $x=\frac{160-80}{4}=20\in [0;40]$ thỏa mãn. Vậy mức thuế mỗi bộ sách là $80$ nghìn đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $C(t)=\frac{3t}{27+t^3}$, $t\ge 0$. Tính đạo hàm: $C^{\prime }(t)=\frac{3(27+t^3)-3t\cdot 3t^2}{(27+t^3{)}^2}=\frac{81-6t^3}{(27+t^3{)}^2}=\frac{3(27-2t^3)}{(27+t^3{)}^2}$. Cho $C^{\prime }(t)=0\Rightarrow t^3=13,5\Rightarrow t=\sqrt[3]{13,5}\approx 2,3811$. Với $0\le t<\sqrt[3]{13,5}$ thì $C^{\prime }(t)>0$, với $t>\sqrt[3]{13,5}$ thì $C^{\prime }(t)<0$, nên $C(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\sqrt[3]{13,5}\approx 2,38$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,38.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}<0$ với mọi $x\ne 0$, nên hàm số nghịch biến trên $[1;2]$. Do đó $M=y(1)=\frac{1+1}{1}=2$ và $m=y(2)=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$. Vậy $M+m=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$, khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1203.

(AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], y = 1 + 1/x có y' = -1/x^2 < 0 nên hàm nghịch biến. Do đó M = y(1) = 2, m = y(2) = 3/2, nên M + m = 2 + 3/2 = 7/2. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có đỉnh $(1;-2)$ và đi qua $(-2;7)$ nên $y=(x-1{)}^2-2$ trên $[-2;3]$; đoạn thẳng từ $(3;2)$ xuống $(4;-4)$. a) Sai vì $f(-2)=7>2$ nên GTLN trên $[-2;4]$ là $f(-2)=7$, không phải $f(3)=2$. b) Sai vì $f(3)=2$ và $f(0)=(0-1{)}^2-2=-1$, do đó $f(3)>f(0)$. c) Đúng vì trên $[-2;3]$ parabol đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: $f(1)=-2$. d) Đúng vì $M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3M-2m=3\cdot 7-2\cdot (-4)=21+8=29$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1201: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;4]$, $f(-2)=7$ là giá trị lớn nhất (parabol đi qua $(-2;7)$), lớn hơn $f(3)=2$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có dạng $y=(x-1{)}^2-2$ nên $f(0)=-1$, còn $f(3)=2$. Vậy $f(3)>f(0)$, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;3]$ hàm số là parabol với đỉnh $(1;-2)$, nên GTNN bằng $f(1)=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=f(-2)=7$, $m=f(4)=-4$, nên $P=3\cdot 7-2\cdot (-4)=29$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x(200-3x)=200x-3x^2$. Lợi nhuận: $P(x)=R(x)-C(x)=200x-3x^2-75-(80+T)x+x^2=-2x^2+(120-T)x-75$. Hàm bậc hai với hệ số $-2<0$ đạt max tại $x=\frac{120-T}{4}$ (nằm trong $[0;40]$ vì $0\le T\le 120$). Tổng thuế phải trả là $F(T)=T\cdot x=T\cdot \frac{120-T}{4}=\frac{120T-T^2}{4}$, đạt max khi $F^{\prime }(T)=\frac{120-2T}{4}=0\Rightarrow T=60$. Vậy mức thuế mỗi bộ sách là $60$ nghìn đồng, khớp đáp án nguồn (mã 1201, câu 3: 60).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $C(t)=\frac{3t}{27+t^3}$, $t\ge 0$. Tính đạo hàm: $C^{\prime }(t)=\frac{3(27+t^3)-3t\cdot 3t^2}{(27+t^3{)}^2}=\frac{81-6t^3}{(27+t^3{)}^2}$. Cho $C^{\prime }(t)=0\Rightarrow 81-6t^3=0\Rightarrow t^3=13,5\Rightarrow t=\sqrt[3]{13,5}\approx 2,3811$. Với $0\le t<\sqrt[3]{13,5}$ thì $C^{\prime }(t)>0$, với $t>\sqrt[3]{13,5}$ thì $C^{\prime }(t)<0$, nên $C(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\sqrt[3]{13,5}\approx 2,38$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,38.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng đáy là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m). Thể tích $V=2x^{2}h=20\Rightarrow x^2=\frac{10}{h}\Rightarrow x=\sqrt{\frac{10}{h}}$ với $h>0$. Bể không có nắp nên diện tích vật liệu gồm: đáy $2x^2$ và 4 mặt bên có diện tích $2(x+2x)h=6xh$. Tổng: $S(h)=2x^2+6xh=\frac{20}{h}+6h\sqrt{\frac{10}{h}}=\frac{20}{h}+6\sqrt{10h}$, với $h>0$. Ta có $S^{\prime }(h)=-\frac{20}{h^2}+\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{h}}$. Cho $S^{\prime }(h)=0\Rightarrow 3\sqrt{10}{h}^{3/2}=20\Rightarrow h^{3/2}=\frac{20}{3\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\approx 2,1082\Rightarrow h={\left(\frac{2\sqrt{10}}{3}\right)}^{2/3}\approx 1,643$ m. Vì $S^{\prime }(h)<0$ khi $h<1,643$ và $S^{\prime }(h)>0$ khi $h>1,643$ (hoặc do $S^{\prime \prime }(h)>0$ tại điểm này), hàm $S(h)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $h\approx 1,643$. Vậy cần xây bể có chiều cao $h\approx 1,6$ m, khớp với đáp án nguồn 1,6.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ với $0\le x\le 6$, khi đó quãng đường đi bộ là $MC=6-x$. Thời gian di chuyển: $T(x)=\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{6-x}{6}$. Có $T^{\prime }(x)=\frac{x}{4\sqrt{16+x^2}}-\frac{1}{6}$. Cho $T^{\prime }(x)=0$: $6x=4\sqrt{16+x^2}\Rightarrow 36x^2=16(16+x^2)\Rightarrow 20x^2=256\Rightarrow x=\sqrt{12.8}\approx 3.5777$ km. Xét dấu $T^{\prime }$: $T^{\prime }(0)<0$, $T^{\prime }(6)>0$ nên $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\sqrt{12.8}$ (điểm cực tiểu duy nhất, là giá trị nhỏ nhất trên $[0;6]$). Quãng đường đi bộ: $MC=6-\sqrt{12.8}\approx 2.4223\approx 2.42$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,42.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng chè xuất khẩu: $R(x)-Q(x)=(2x-200)-(2500-x)=3x-2700$ (kg), yêu cầu $x\ge 900$. Với mỗi kg xuất khẩu, lợi nhuận là $2500-x-m$ và thuế là $m$. Theo tỷ lệ lợi nhuận : thuế $=3:1$ ta có $2500-x-m=3m\Rightarrow m=\frac{2500-x}{4}$. Tổng lợi nhuận xuất khẩu: $P(x)=(3x-2700)(2500-x-m)=(3x-2700)\cdot 3m=\frac{3}{4}(3x-2700)(2500-x)$. Xét $f(x)=(3x-2700)(2500-x)$ với $x\ge 900$: $f^{\prime }(x)=3(2500-x)-(3x-2700)=10200-6x=0\Rightarrow x=1700$. Vì $f$ tăng trên $[900;1700)$ và giảm trên $(1700;2500]$, lợi nhuận lớn nhất tại $x=1700$. Khi đó $m=\frac{2500-1700}{4}=200$ (USD). Kết quả trùng với đáp án nguồn (200).