Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{5\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{5\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. Từ $2\sin A=3\sin B=4\sin C=12k$ ta được $\sin A=6k,\sin B=4k,\sin C=3k$, suy ra $a:b:c=6:4:3$. Vì $AB=c=6$ nên hệ số nhân là $2$, do đó $a=BC=12$, $b=AC=8$, $c=AB=6$. Chu vi $=12+8+6=26$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, suy ra $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, $a=2R\sin A$. Từ $b+c=2a$ ta có $2R(\sin B+\sin C)=2\cdot 2R\sin A$, tức $\sin B+\sin C=2\sin A=2\sin 30^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Vậy mệnh đề đúng là $\sin B+\sin C=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$. Điều kiện ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}C$ suy ra $\frac{a^2}{4R^2}+\frac{b^2}{4R^2}=\frac{c^2}{4R^2}$, tức $a^2+b^2=c^2$. Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác có góc $C=90^{\circ }$, tức là tam giác vuông tại $C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{C}=50^{\circ }$ nên $\hat{B}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 44,2\approx 44$ (m). Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (vành đĩa): $\frac{AB}{\sin C}=2R$. Suy ra $R=\frac{AB}{2\sin \widehat{ACB}}=\frac{9,5}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{9,5}{\sqrt{3}}\approx 5,49\approx 5,5$ cm. Vậy bán kính chiếc đĩa xấp xỉ 5,5 cm, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M=169+100-2\cdot 13\cdot 10\cdot \frac{5}{13}=269-100=169$, nên $NP=13$. a) Đúng (đúng định lí cosin). b) Vì $MN=NP=13$ nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$ → Sai. c) $\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{169+169-100}{338}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}\ne \frac{238}{169}$ (mà $\cos N$ không thể vượt quá 1) → Sai. d) Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(M{N}^2+M{P}^2+N{P}^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{3}{4}\cdot 438=\frac{657}{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin áp dụng cho góc M: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính $N{P}^2=169+100-100=169$ nên $NP=13=MN$. Hai cạnh bằng nhau là $MN$ và $NP$ gặp nhau tại đỉnh $N$, nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}$. Giá trị $\frac{238}{169}>1$ không thể là cosin.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{657}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos A=\frac{3}{5}$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$ (vì $0<A<180^{\circ }$).
a) $\hat{A}=\arccos \frac{3}{5}\approx 53,13^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → sai.
b) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=41-24=17$ nên $BC=\sqrt{17}\ne \sqrt{29}$ → sai.
c) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{17}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{17}}{8}\approx 2,58\ne 3,37$ → sai.
d) Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=8$. Đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{16}{\sqrt{17}}\approx 3,88\ne 2,97$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{A}=\arccos \frac{3}{5}\approx 53,13^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=17$ nên $BC=\sqrt{17}\ne \sqrt{29}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{17}}{8/5}=\frac{5\sqrt{17}}{8}\approx 2,58\ne 3,37$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=8$, $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{16}{\sqrt{17}}\approx 3,88\ne 2,97$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A=625+400-2\cdot 25\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=525$, nên $BC=5\sqrt{21}$. a) Sai vì công thức đúng phải là $\cos \hat{A}$ (góc giữa hai cạnh $AB,AC$), không phải $\cos \hat{C}$. b) Đúng. c) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 60^{\circ }=250\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$ đúng, nhưng $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{250\sqrt{3}}{20}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\ne \frac{25\sqrt{3}}{4}$ nên sai. d) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}\ne 5\sqrt{6}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin áp dụng cho cạnh $BC$ với góc xen giữa là $\hat{A}$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos \hat{A}$, không phải $\cos \hat{C}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=625+400-2\cdot 25\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }=1025-500=525\Rightarrow BC=5\sqrt{21}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 20\cdot \sin 60^{\circ }=125\sqrt{3}$ đúng, nhưng $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{250\sqrt{3}}{20}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$, không phải $\frac{25\sqrt{3}}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}\ne 5\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Tam giác ABC có a = BC = 4, b = CA = 5, C = 60°.
a) Công thức diện tích qua bán kính đường tròn ngoại tiếp là S = abc/(4R), không phải abc/(2R) → sai.
b) S = (1/2)ab·sinC = (1/2)·4·5·sin60° = 10·(√3/2) = 5√3 ≠ 10√3 → sai.
c) Theo định lí cosin: AB² = a² + b² − 2ab·cosC = 16 + 25 − 2·4·5·(1/2) = 21 ⇒ AB = √21 → đúng.
d) Diện tích S = 5√3 và S = (1/2)·AB·h_c ⇒ h_c = 2S/AB = 10√3/√21 = 10/√7 = 10√7/7 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = abc/(4R), không phải abc/(2R).
b) (AI giải đề cho tôi)
S = (1/2)·4·5·sin60° = 5√3 ≠ 10√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 4² + 5² − 2·4·5·cos60° = 21 ⇒ AB = √21.
d) (AI giải đề cho tôi)
h_c = 2S/AB = 10√3/√21 = 10√7/7.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $AC=1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}=1000^2+800^2-2\cdot 1000\cdot 800\cdot \cos 105^{\circ }$. Vì $\cos 105^{\circ }\approx -0,2588$ nên $A{B}^2\approx 1000000+640000+414110=2054110$, suy ra $AB\approx 1433,2\mathrm{m}\approx 1433\mathrm{m}$. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 1433.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=30\cdot 2=60$ km, tàu thứ hai đi được $AC=40\cdot 2=80$ km, góc giữa hai hướng là $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=3600+6400-2\cdot 60\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=10000-4800=5200$. Suy ra $BC=\sqrt{5200}\approx 72,111$ km, làm tròn đến hàng phần mười ta được $72,1$ km, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=0,4^2+0,6^2-2\cdot 0,4\cdot 0,6\cdot \frac{1}{2}=0,16+0,36-0,24=0,28$. Suy ra $BC=\sqrt{0,28}\approx 0,5292$ km. Thời gian chèo thuyền: $t=\frac{BC}{4}\approx \frac{0,5292}{4}\approx 0,1323$ giờ $\approx 7,94$ phút, làm tròn đến hàng đơn vị là $8$ phút. Kết quả trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin A=\frac{BC}{2R}=\frac{3a}{2a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì góc $A$ tù nên $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cho $A=120^{\circ }$ (loại $60^{\circ }$). Vậy $\hat{A}=120^{\circ }$, khớp với đáp số 120 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1,5 giờ: $AB=30\cdot 1,5=45$ km, $AC=40\cdot 1,5=60$ km, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=45^2+60^2-2\cdot 45\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=2025+3600-2700=2925$. Suy ra $BC=\sqrt{2925}\approx 54,08\approx 54,1$ km, khớp với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$ với hai cạnh kề góc $C$ là $BC=a$, $CA=b$: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$. Vì $a,b$ cố định nên $S$ lớn nhất khi $\sin C$ lớn nhất, tức $\sin C=1$, suy ra $C=90^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin A=12\Rightarrow \sin A=\frac{3}{5}$. Vì góc $A$ nhọn nên $\cos A=\frac{4}{5}$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{4}{5}=89-64=25\Rightarrow BC=5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB=AD=a$ và $\widehat{BAD}=30^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABD$ là $S_{ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{4}$. Hình thoi gồm hai tam giác $ABD$ và $CBD$ bằng nhau nên $S_{ABCD}=2\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{3+5+6}{2}=7$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}=\sqrt{7\cdot 4\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{56}$. Vậy đáp án A.