Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cos (A+B)=-\cos C=-\frac{1}{8}$, suy ra $\cos C=\frac{1}{8}$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{8}=41-5=36$. Vậy $AB=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot C=2>0$ nên góc $C$ nhọn. Ta có $1+{\cot }^{2}C=\frac{1}{{\sin }^{2}C}$ nên ${\sin }^{2}C=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$, suy ra $\sin C=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $\cos C=\cot C\cdot \sin C=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=9+5-2\cdot 3\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=14-12=2$. Vậy $AB=\sqrt{2}$, trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ và $\tan A=-2\sqrt{2}<0$ nên góc $A$ tù, ta có $\frac{1}{{\tan }^{2}A}=\frac{1}{8}$, suy ra ${\sin }^{2}A=\frac{8}{9}$ và ${\cos }^{2}A=\frac{1}{9}$. Do $A$ tù nên $\cos A=-\frac{1}{3}$, $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=25+8=33$. Vậy $BC=\sqrt{33}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$. Suy ra $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{4^2+7^2-9^2}{2\cdot 4\cdot 7}=\frac{16+49-81}{56}=\frac{-16}{56}=-\frac{2}{7}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất là 9. Theo định lí côsin: $\cos C=\frac{5^2+8^2-9^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{25+64-81}{80}=\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+144-81}{2\cdot 6\cdot 12}=\frac{99}{144}=\frac{11}{16}$. Trong tam giác $ABM$ (với $BM=8$): $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{11}{16}=100-66=34$. Vậy $AM=\sqrt{34}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=x$, $BC=y$ với $x+y=16$. Theo định lí cosin tại góc $B=120^{\circ }$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=x^2+y^2+xy=(x+y{)}^2-xy=256-xy$. Suy ra $196=256-xy\Rightarrow xy=60$. Kết hợp $x+y=16$, $x,y$ là nghiệm của $t^2-16t+60=0\Rightarrow t=6$ hoặc $t=10$. Vì $BC>AB$ nên $BC=10$, $AB=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng ($\frac{a}{\sin A}=2R$), B đúng ($\sin A=\frac{a}{2R}$), D đúng (từ $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$). Còn C sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy công thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích quen thuộc. B sai: theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, suy ra $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $a=BC$, $b=CA$ nhân sin của góc $C$ xen giữa). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Thay vào giả thiết $b+c=2a$: $2R\sin B+2R\sin C=2\cdot 2R\sin A$, suy ra $\sin B+\sin C=2\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B.

Kiểm tra các phương án còn lại bằng ví dụ tam giác đều $a=b=c$ (thỏa $b+c=2a$):
- Phương án A: $\cos B+\cos C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ trong khi $2\cos A=2\cdot \frac{1}{2}=1$ — với tam giác đều A thỏa mãn, nhưng xét ví dụ khác $a=2,b=3,c=1$ (thỏa $b+c=4=2a$): $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4+1-9}{4}=-1$, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+9-1}{12}=1$, nên $\cos B+\cos C=0$; còn $2\cos A=2\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=2\cdot \frac{9+1-4}{6}=2\ne 0$. Vậy A không luôn đúng (lưu ý ví dụ $a=2,b=3,c=1$ thực chất là tam giác suy biến vì $b=a+c$, nên xét ví dụ $a=2,b=\frac{5}{2},c=\frac{3}{2}$ thỏa $b+c=4=2a$: $\cos B=\frac{4+2.25-6.25}{6}=0$, $\cos C=\frac{4+6.25-2.25}{10}=0.8$, $\cos B+\cos C=0.8$; $2\cos A=2\cdot \frac{6.25+2.25-4}{15}=2\cdot \frac{4.5}{15}=0.6\ne 0.8$, vậy A sai).
- Phương án C: $\sin B+\sin C=2\sin A\ne \frac{1}{2}\sin A$ vì $\sin A>0$, nên C sai.
- Phương án D: với tam giác đều $\sin B+\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\ne 2\sin A=\sqrt{3}$, nên D sai.

Kết luận: chỉ phương án B luôn đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ với $C=180^{\circ }-40^{\circ }-60^{\circ }=80^{\circ }$. Suy ra $BC=\frac{5\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,9848}\approx 3,26$. Vậy $BC$ gần nhất với $3,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{5\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{5\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. Từ $2\sin A=3\sin B=4\sin C=12k$ ta được $\sin A=6k,\sin B=4k,\sin C=3k$, suy ra $a:b:c=6:4:3$. Vì $AB=c=6$ nên hệ số nhân là $2$, do đó $a=BC=12$, $b=AC=8$, $c=AB=6$. Chu vi $=12+8+6=26$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\sin B=\frac{AC}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $B=60^{\circ }$ hoặc $B=120^{\circ }$. Vì $B$ là góc tù nên $B=120^{\circ }$. Khi đó $\sin C=\frac{AB}{2R}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$, mà $B=120^{\circ }$ nên $C=30^{\circ }$ (không thể $C=150^{\circ }$). Vậy $A=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, suy ra $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$, $a=2R\sin A$. Từ $b+c=2a$ ta có $2R(\sin B+\sin C)=2\cdot 2R\sin A$, tức $\sin B+\sin C=2\sin A=2\sin 30^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Vậy mệnh đề đúng là $\sin B+\sin C=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin, $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$. Điều kiện ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}C$ suy ra $\frac{a^2}{4R^2}+\frac{b^2}{4R^2}=\frac{c^2}{4R^2}$, tức $a^2+b^2=c^2$. Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác có góc $C=90^{\circ }$, tức là tam giác vuông tại $C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\tan (A+B)=\tan (180^{\circ }-C)=-\tan C=\frac{1}{3}$, suy ra $\tan C=-\frac{1}{3}$ (C là góc tù). Khi đó $\sin C=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, nên $R=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}=5\sqrt{10}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cot (A+B)=\cot (180^{\circ }-C)=-\cot C=\frac{1}{3}$, suy ra $\cot C=-\frac{1}{3}$, do đó $\tan C=-3$. Khi đó $\sin C=\frac{3}{\sqrt{10}}$ (vì $C$ tù, $\cos C=-\frac{1}{\sqrt{10}}$). Theo định lý sin: $2R=\frac{AB}{\sin C}=\frac{12}{3/\sqrt{10}}=4\sqrt{10}$, vậy $R=2\sqrt{10}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{1}{8}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{\sqrt{63}}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$. Theo định lí sin: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}}=\frac{8}{\sqrt{7}}\approx 3,02\approx 3$ cm. Vậy đáp án A.