Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{C}=50^{\circ }$ nên $\hat{B}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 44,2\approx 44$ (m). Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (vành đĩa): $\frac{AB}{\sin C}=2R$. Suy ra $R=\frac{AB}{2\sin \widehat{ACB}}=\frac{9,5}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{9,5}{\sqrt{3}}\approx 5,49\approx 5,5$ cm. Vậy bán kính chiếc đĩa xấp xỉ 5,5 cm, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất. Vì tòa nhà vuông góc mặt đất nên $AB\perp$ mặt đất, do đó góc giữa $AB$ (phương thẳng đứng) và $AC$ là $\widehat{BAC}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$ (nâng lên trên), nên góc giữa $BC$ và phương thẳng đứng hướng xuống tại $B$ là $\widehat{ABC}=90^{\circ }+15^{\circ }30^{\prime }=105^{\circ }30^{\prime }$. Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-60^{\circ }-105^{\circ }30^{\prime }=14^{\circ }30^{\prime }$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AC}{\sin 105^{\circ }30^{\prime }}=\frac{70}{\sin 14^{\circ }30^{\prime }}$, nên $AC=\frac{70\cdot \sin 105^{\circ }30^{\prime }}{\sin 14^{\circ }30^{\prime }}\approx \frac{70\cdot 0,9636}{0,2504}\approx 269,3$ m. Độ cao đỉnh núi so với mặt đất (tính từ mức điểm $A$) là $CH=AC\cdot \sin 30^{\circ }\approx 269,3\cdot 0,5\approx 134,6\approx 135$ m. Vậy đáp án gần nhất là 135 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M=169+100-2\cdot 13\cdot 10\cdot \frac{5}{13}=269-100=169$, nên $NP=13$. a) Đúng (đúng định lí cosin). b) Vì $MN=NP=13$ nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$ → Sai. c) $\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{169+169-100}{338}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}\ne \frac{238}{169}$ (mà $\cos N$ không thể vượt quá 1) → Sai. d) Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(M{N}^2+M{P}^2+N{P}^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{3}{4}\cdot 438=\frac{657}{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin áp dụng cho góc M: $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính $N{P}^2=169+100-100=169$ nên $NP=13=MN$. Hai cạnh bằng nhau là $MN$ và $NP$ gặp nhau tại đỉnh $N$, nên tam giác cân tại $N$, không cân tại $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos N=\frac{M{N}^2+N{P}^2-M{P}^2}{2\cdot MN\cdot NP}=\frac{238}{338}=\frac{119}{169}$. Giá trị $\frac{238}{169}>1$ không thể là cosin.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bình phương ba trung tuyến $=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3}{4}(169+100+169)=\frac{657}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=3k, AC=4k, BC=5k. Vì 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A (định lí Pythagore đảo), suy ra BC là cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 5k/2 = 25 ⇒ k = 10. Vậy AB=30, AC=40, BC=50.
a) Đúng: theo định lí cosin trong tam giác ABC, cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) Đúng: AB²+AC² = 30²+40² = 2500 = BC² nên tam giác vuông tại A.
c) Sai: BC = 2R = 50, không phải 25.
d) Đúng: độ dài trung tuyến từ B là m_b = ½√(2·BC²+2·AB²−AC²) = ½√(5000+1800−1600) = √1300 = 10√13. Trọng tâm G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 nên BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cos A ⇒ cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=3k, AC=4k, BC=5k với 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên R = BC/2 = 25 ⇒ BC = 50 ≠ 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung tuyến từ B có độ dài √1300 = 10√13; BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có BM = MC = 4, AB = 3. Đặt AM = x, áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM: AB² = AM² + BM² − 2·AM·BM·cos∠AMB ⇒ 9 = x² + 16 − 8x·(5√13/26) ⇒ x² − (20√13/13)x + 7 = 0. Δ = 5200/169 − 28 = 468/169, √Δ = 6√13/13, nên x = √13 hoặc x = 7√13/13.

a) sin∠AMB = √(1 − 325/676) = 3√39/26. R = AB/(2sin∠AMB) = 3·26/(6√39) = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2 ⇒ sai.

b) Vì B, M, C thẳng hàng nên ∠AMC = 180° − ∠AMB ⇒ cos∠AMC = −5√13/26 ⇒ sai.

c) AM = √13 hoặc 7√13/13 ⇒ đúng.

d) Với AM = √13: AC² = 13 + 16 − 2·√13·4·(−5√13/26) = 29 + 20 = 49 ⇒ AC = 7. Khi đó cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (9 + 49 − 64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù, không thỏa 'A nhọn'. Với AM = 7√13/13: AC² = 49/13 + 16 + 140/13 = 397/13, cos A = (9 + 397/13 − 64)/(6√(397/13)) < 0, góc A cũng tù. Vậy không tồn tại trường hợp góc A nhọn và lớn nhất ⇒ d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/(2sin∠AMB) với sin∠AMB = 3√39/26 nên R = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2.
b) (AI giải đề cho tôi)
∠AMC = 180° − ∠AMB nên cos∠AMC = −5√13/26.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ABM cho phương trình AM² − (20√13/13)AM + 7 = 0, nghiệm AM = √13 hoặc AM = 7√13/13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với AM = √13 thì AC = 7 nhưng cos A = (9+49−64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù. Với AM = 7√13/13 thì AC² = 397/13 và cos A < 0, góc A cũng tù. Không có trường hợp góc A nhọn và lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos A=\frac{3}{5}$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$ (vì $0<A<180^{\circ }$).
a) $\hat{A}=\arccos \frac{3}{5}\approx 53,13^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → sai.
b) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=41-24=17$ nên $BC=\sqrt{17}\ne \sqrt{29}$ → sai.
c) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{17}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{17}}{8}\approx 2,58\ne 3,37$ → sai.
d) Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=8$. Đường cao từ $A$: $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{16}{\sqrt{17}}\approx 3,88\ne 2,97$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{A}=\arccos \frac{3}{5}\approx 53,13^{\circ }\ne 45^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=17$ nên $BC=\sqrt{17}\ne \sqrt{29}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{17}}{8/5}=\frac{5\sqrt{17}}{8}\approx 2,58\ne 3,37$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=8$, $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{16}{\sqrt{17}}\approx 3,88\ne 2,97$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ACD: góc ADC = 180° − 67° = 113°, góc ACD = 43° nên góc CAD = 180° − 113° − 43° = 24°.
a) Sai: định lí cosin trong tam giác ACD cho AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C (đề viết AD² hai lần, sai).
b) Sai: góc CAD = 24°, không phải 42°.
c) Đúng: tam giác ABC vuông tại B nên góc BAC = 90° − 43° = 47°; góc BAD = 47° − 24° = 23°.
d) Đúng: theo định lí sin trong tam giác ACD: AD = 30·sin43°/sin24° ≈ 30·0,6820/0,4067 ≈ 50,31. Trong tam giác ABD vuông tại B: AB = AD·sin67° ≈ 50,31·0,9205 ≈ 46,3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ACD: AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C, không phải AD² = AC² + AD² − 2·AC·AD·cos C.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc ADC = 113°, góc C = 43° nên góc CAD = 180° − 113° − 43° = 24° ≠ 42°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc BAC = 90° − 43° = 47°, góc BAD = 47° − 24° = 23°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AD = 30·sin43°/sin24° ≈ 50,31; AB = AD·sin67° ≈ 46,3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A\Rightarrow 81=A{B}^2+36-4AB\Rightarrow A{B}^2-4AB-45=0\Rightarrow AB=9$ (chọn nghiệm dương). a) Sai vì $AB=9\ne 8$. $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=18\sqrt{2}$. b) $R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{9\cdot 6\cdot 9}{72\sqrt{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, nên $S_1=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$ → Sai. c) $A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}=\frac{153}{4}$, $AM=\frac{3\sqrt{17}}{2}$, $MB=\frac{9}{2}$. $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+M{B}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot MB}=\frac{\frac{153}{4}+\frac{81}{4}-81}{2\cdot \frac{3\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{9}{2}}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,404\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$ → Sai. d) $p=\frac{9+9+6}{2}=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $S_2=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $81=A{B}^2+36-4AB\Rightarrow A{B}^2-4AB-45=0\Rightarrow AB=9\ne 8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=18\sqrt{2}$, $R=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, $S_1=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AM=\frac{3\sqrt{17}}{2}$, $\cos \widehat{AMB}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,404\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow S_2=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A=625+400-2\cdot 25\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=525$, nên $BC=5\sqrt{21}$. a) Sai vì công thức đúng phải là $\cos \hat{A}$ (góc giữa hai cạnh $AB,AC$), không phải $\cos \hat{C}$. b) Đúng. c) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 60^{\circ }=250\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$ đúng, nhưng $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{250\sqrt{3}}{20}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\ne \frac{25\sqrt{3}}{4}$ nên sai. d) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}\ne 5\sqrt{6}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin áp dụng cho cạnh $BC$ với góc xen giữa là $\hat{A}$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos \hat{A}$, không phải $\cos \hat{C}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=625+400-2\cdot 25\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }=1025-500=525\Rightarrow BC=5\sqrt{21}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 20\cdot \sin 60^{\circ }=125\sqrt{3}$ đúng, nhưng $h_b=\frac{2S}{AC}=\frac{250\sqrt{3}}{20}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$, không phải $\frac{25\sqrt{3}}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}\ne 5\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{C}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$, nên a) sai. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin 50^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}$ nên $AC=\frac{8\sqrt{3}\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{8\cdot 1,7321\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 12,26$, nên b) đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\ne 6$, nên c) sai. Với $3AN=NB$ và $AN+NB=AB$ ta có $AN=\frac{AB}{4}=2\sqrt{3}$. Diện tích $S_{ACN}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 12,26\cdot \sin 70^{\circ }\approx 1,7321\cdot 12,26\cdot 0,9397\approx 19,93\ne 29,95$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\hat{C}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }\ne 50^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $AC=\frac{8\sqrt{3}\sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 12,26$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AN=2\sqrt{3}$, $S_{ACN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 12,26\cdot \sin 70^{\circ }\approx 19,93\ne 29,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Tam giác ABC có a = BC = 4, b = CA = 5, C = 60°.
a) Công thức diện tích qua bán kính đường tròn ngoại tiếp là S = abc/(4R), không phải abc/(2R) → sai.
b) S = (1/2)ab·sinC = (1/2)·4·5·sin60° = 10·(√3/2) = 5√3 ≠ 10√3 → sai.
c) Theo định lí cosin: AB² = a² + b² − 2ab·cosC = 16 + 25 − 2·4·5·(1/2) = 21 ⇒ AB = √21 → đúng.
d) Diện tích S = 5√3 và S = (1/2)·AB·h_c ⇒ h_c = 2S/AB = 10√3/√21 = 10/√7 = 10√7/7 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = abc/(4R), không phải abc/(2R).
b) (AI giải đề cho tôi)
S = (1/2)·4·5·sin60° = 5√3 ≠ 10√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 4² + 5² − 2·4·5·cos60° = 21 ⇒ AB = √21.
d) (AI giải đề cho tôi)
h_c = 2S/AB = 10√3/√21 = 10√7/7.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: người quan sát ở A, tháp là đoạn DB thẳng đứng, C là điểm trên tháp ngang tầm mắt nên AC ⊥ DB, khoảng cách ngang AC = 10 m, góc nâng lên đỉnh D là 45°, góc hạ xuống chân B là 10° (nên góc DAB = 55°).
a) Tam giác ADC vuông tại C có góc A = 45° nên góc ADC = 90° − 45° = 45°. Đúng.
b) Tam giác ACB vuông tại C, AC = 10, góc CAB = 10° nên AB = AC/cos10° = 10/cos10° ≈ 10,154 ≈ 10,15 m. Đúng.
c) CD = AC·tan45° = 10, nên S_{ACD} = ½·AC·CD = ½·10·10 = 50 m² ≠ 100 m². Sai.
d) Chiều cao tháp DB = DC + CB = 10 + 10·tan10° ≈ 10 + 1,76 = 11,76 m < 12 m. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ADC vuông tại C (AC nằm ngang, DC thẳng đứng), góc DAC = 45° nên góc ADC = 90° − 45° = 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC = 10 m, góc CAB = 10°, tam giác ACB vuông tại C nên AB = 10/cos10° ≈ 10,15 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD = AC·tan45° = 10 m, diện tích ΔACD = ½·10·10 = 50 m², không phải 100 m².
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao tháp DB = DC + CB = 10 + 10·tan10° ≈ 11,76 m < 12 m.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $AC=1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}=1000^2+800^2-2\cdot 1000\cdot 800\cdot \cos 105^{\circ }$. Vì $\cos 105^{\circ }\approx -0,2588$ nên $A{B}^2\approx 1000000+640000+414110=2054110$, suy ra $AB\approx 1433,2\mathrm{m}\approx 1433\mathrm{m}$. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 1433.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $ABH$ với $AH=150$, $AB=300$, $BH=250$. Đặt $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$, với $A$, $H$ thẳng đứng trên một đường thẳng và $BK$ nằm ngang. Gọi $HK=x$ thì $AK=150+x$. Trong tam giác vuông $BHK$: $B{K}^2=250^2-x^2$; trong tam giác vuông $ABK$: $A{K}^2+B{K}^2=300^2$. Suy ra $(150+x{)}^2+62500-x^2=90000\Rightarrow 300x+22500=27500\Rightarrow x=\frac{50}{3}\approx 16,667$ m. Khi đó $B{K}^2=62500-\frac{2500}{9}=\frac{560000}{9}$, $AK=\frac{500}{3}$ m.

Tam giác vuông $ABK$: $\sin \widehat{ABK}=\frac{AK}{AB}=\frac{500/3}{300}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABK}\approx 33,749^{\circ }$.

Tam giác $ABH$ (định lí cosin): $\cos \widehat{ABH}=\frac{A{B}^2+B{H}^2-A{H}^2}{2\cdot AB\cdot BH}=\frac{90000+62500-22500}{150000}=\frac{13}{15}\Rightarrow \widehat{ABH}\approx 29,926^{\circ }$.

Vì tia $BH$ nằm giữa $BA$ và $BK$ nên $\widehat{KBH}=\widehat{ABK}-\widehat{ABH}\approx 33,749^{\circ }-29,926^{\circ }\approx 3,8^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp số nguồn 3,8.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=30\cdot 2=60$ km, tàu thứ hai đi được $AC=40\cdot 2=80$ km, góc giữa hai hướng là $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=3600+6400-2\cdot 60\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=10000-4800=5200$. Suy ra $BC=\sqrt{5200}\approx 72,111$ km, làm tròn đến hàng phần mười ta được $72,1$ km, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=0,4^2+0,6^2-2\cdot 0,4\cdot 0,6\cdot \frac{1}{2}=0,16+0,36-0,24=0,28$. Suy ra $BC=\sqrt{0,28}\approx 0,5292$ km. Thời gian chèo thuyền: $t=\frac{BC}{4}\approx \frac{0,5292}{4}\approx 0,1323$ giờ $\approx 7,94$ phút, làm tròn đến hàng đơn vị là $8$ phút. Kết quả trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C_1$ là điểm trên $CD$ cao hơn mặt đất $1,3$ m, đặt $D{C}_1=x$. Vì $A,B,C$ thẳng hàng và $AB=12$ m nên $A_1{B}_1=12$ m. Trong tam giác vuông tại $C_1$: $C_1{A}_1=x\cot 49^{\circ }$, $C_1{B}_1=x\cot 35^{\circ }$. Suy ra $C_1{B}_1-C_1{A}_1=A_1{B}_1=12$, tức $x(\cot 35^{\circ }-\cot 49^{\circ })=12$. Với $\cot 35^{\circ }\approx 1,4281$, $\cot 49^{\circ }\approx 0,8693$: $x=\frac{12}{0,5588}\approx 21,47$ m. Vậy $CD=D{C}_1+C{C}_1=21,47+1,3\approx 22,77\approx 22,8$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin C=6\sin C=3\sqrt{3}\Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì tam giác nhọn nên $C=60^{\circ }$, $\cos C=\frac{1}{2}$. Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=9+16-12=13\Rightarrow c=\sqrt{13}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$. Suy ra $\sqrt{39}R=\sqrt{39}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\sqrt{169}=13$. Kết quả khớp với đáp số nguồn (13).