Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(a+b+c)(a+b-c)=(a+b{)}^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=3ab$, suy ra $a^2+b^2-c^2=ab$. Theo định lí cosin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 60.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$. Góc $C=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$, và $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Suy ra $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (cạnh $a$ đối diện góc $A$). Các phương án A, B, C dùng sai góc hoặc dấu, nên chỉ D đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1106, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1105: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thang là hình thang cân cao 6 m, hai đáy 80 cm và 60 cm. Cạnh cột (cạnh bên) có chiếu ngang bằng (80−60)/2 = 10 cm = 0,1 m và chiếu đứng bằng 6 m. Độ dài cột thang: $\sqrt{6^2+0,1^2}=\sqrt{36,01}\approx 6,0008$ m. Góc giữa cột thang và đường thẳng chân tường (phương thẳng đứng): $\tan \alpha =\frac{0,1}{6}\Rightarrow \alpha =\arctan \left(\frac{1}{60}\right)\approx 0,95^{\circ }\approx 1^{\circ }$. Vậy góc cần tìm khoảng $1^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $PA=8$ km, $AD=3$ km, $PB=7$ km, $\widehat{APB}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$. Cần tính $BD$.

Bước 1: Tính $AB$ trong tam giác $PAB$ (định lí cosin):
$$A{B}^2=P{A}^2+P{B}^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos 40^{\circ }=64+49-112\cdot 0,76604\approx 27,2034$$
$$AB\approx 5,2157\text{ km}$$

Bước 2: Tính $\widehat{PAB}$ (định lí sin):
$$\sin \widehat{PAB}=\frac{PB\cdot \sin 40^{\circ }}{AB}=\frac{7\cdot 0,64279}{5,2157}\approx 0,86275\Rightarrow \widehat{PAB}\approx 59,61^{\circ }$$

Bước 3: Vì tia $AB$ nằm giữa tia $AP$ và tia $AD$ (theo hình vẽ):
$$\widehat{BAD}=\widehat{PAD}-\widehat{PAB}=100^{\circ }-59,61^{\circ }\approx 40,39^{\circ }$$

Bước 4: Tính $BD$ trong tam giác $BAD$ (định lí cosin):
$$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \widehat{BAD}=27,2034+9-2\cdot 5,2157\cdot 3\cdot \cos 40,39^{\circ }$$
$$B{D}^2\approx 36,2034-31,2942\cdot 0,76184\approx 12,365$$
$$BD\approx 3,5165\text{ km}$$

Kiểm tra: tổng các góc tứ giác $PABD$: $\hat{P}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$, $\widehat{BDA}\approx 73,97^{\circ }$, $\widehat{PBD}=\widehat{PBA}+\widehat{ABD}\approx 80,39^{\circ }+65,64^{\circ }=146,03^{\circ }$, tổng $\approx 360^{\circ }$ — thỏa mãn.

Vậy bạn Bình phải đi thêm khoảng $3,5$ km để đến đích $D$.

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên có $AB=\sqrt{3^2+15^2}=\sqrt{234}\approx 15,3$ (m). Ta có $\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{15}{\sqrt{234}}\approx 0,984$ $\Rightarrow \widehat{BAH}\approx 78,6^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 78,6^{\circ }$. $\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 61,4^{\circ }$. Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$ ta có $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$. Suy ra $BC\approx 11,2$ (m).

Từ giả thiết $MC=2MB$, ta có: $MB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3};MC=\frac{2a}{3}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

+ Tam giác $ABC$, có: $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$.

+ Tam giác $ABM$ có:

$A{M}^2=B{A}^2+B{M}^2-2.BA.BM.\cos B=c^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-2.c.\frac{a}{3}.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}$.



(0,5 điểm)

Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có:

+ $BI$ là trung tuyến của $AMB$ nên:
$$B{I}^2=\frac{2\left(B{A}^2+B{M}^2\right)-A{M}^2}{4}=\frac{2\left(c^2+\frac{a^2}{9}\right)-\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}}{4}=\frac{4a^2-3b^2+12c^2}{36}.$$

+ $CI$ là trung tuyến của $AMC$ nên tương tự có $C{I}^2=\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}$.

Do $IB\perp IC$ nên tam giác $IBC$ vuông tại $I$, ta có:
$$I{B}^2+I{C}^2=B{C}^2\Rightarrow \frac{4a^2+12c^2-3b^2}{36}+\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}=a^2.$$
$$\iff 14a^2+12b^2+6c^2=36a^2\iff 12b^2+6c^2=22a^2\iff 6b^2+3c^2=11a^2\text{(đpcm)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A$ tại gốc tọa độ, $B=(3;0)$, $C=\left(\frac{5}{2};\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ (vì $\widehat{BAC}=60°$). Xét $P=\sqrt{3}MA+MB+MC$ là tổng các hàm lồi (chuẩn của vectơ), nên mỗi cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục.

Xét $M=A$: khi đó $P=\sqrt{3}\cdot 0+AB+AC=3+5=8$.

Kiểm tra $M=A$ thực sự là điểm đạt min: xét đạo hàm theo hướng tại $A$. Theo phương đơn vị $v$ bất kỳ:
- $\sqrt{3}MA$ tăng với tốc độ $\sqrt{3}$.
- $MB+MC$ giảm với tốc độ tối đa bằng $\left|{\vec{u}}_{AB}+{\vec{u}}_{AC}\right|$, trong đó ${\vec{u}}_{AB},{\vec{u}}_{AC}$ là các vectơ đơn vị từ $A$ đến $B,C$. Vì góc giữa chúng bằng $60°$, độ lớn này là $2\cos 30°=\sqrt{3}$, hướng theo phân giác trong của góc $A$.

Vậy đạo hàm theo hướng của $P$ tại $A$ luôn $\ge \sqrt{3}-\sqrt{3}=0$, dấu bằng xảy ra khi đi theo phân giác. Do tính lồi, $P$ không giảm theo mọi hướng từ $A$, tức $P\ge 8$ với mọi $M$.

Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $M$ trên phân giác cách $A$ khoảng $t=0,5$: $M=(0,433;0,25)$, khi đó $MA=0,5$, $MB\approx 2,579$, $MC\approx 4,574$, $P\approx 8,019>8$. Thử các điểm khác cũng cho $P>8$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $8$, đạt được khi $M\equiv A$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a,a+2,a+4$ với $a>0$. Góc $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ ở đỉnh A nên cạnh đối diện là cạnh lớn nhất $a+4$. Định lí cosin: $(a+4{)}^2=a^2+(a+2{)}^2-2a(a+2)\cos 120^{\circ }=a^2+(a+2{)}^2+a(a+2)=3a^2+6a+4$. Suy ra $a^2+8a+16=3a^2+6a+4\iff 2a^2-2a-12=0\iff a^2-a-6=0$, nên $a=3$ (nghiệm dương). Ba cạnh là $3,5,7$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Kết quả trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chùm tia đi từ nguồn tia tới khối u, tạo với mặt da góc $\beta$. Tam giác vuông có cạnh đối (khoảng cách từ khối u đến mặt da) là $6,3$ cm và cạnh kề (khoảng cách từ nguồn tia đến khối u theo phương chùm tia) là $9$ cm. Do đó $\tan \beta =\frac{6,3}{9}=0,7$. Vậy $P=\tan \beta =0,7$, khớp với đáp số nguồn 0,7.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Suy ra $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-80\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$. Suy ra $b=7$ (chỉ lấy giá trị dương). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=2^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=4+3-4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=7+6=13$. Vậy $AB=\sqrt{13}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin A=12\Rightarrow \sin A=\frac{3}{5}$. Vì góc $A$ nhọn nên $\cos A=\frac{4}{5}$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{4}{5}=89-64=25\Rightarrow BC=5$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhỏ nhất đối diện cạnh nhỏ nhất là 2. Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+144-81}{2\cdot 6\cdot 12}=\frac{99}{144}=\frac{11}{16}$. Trong tam giác $ABM$ (với $BM=4$): $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{11}{16}=52-33=19$. Vậy $AM=\sqrt{19}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=49+25-56=18$. Suy ra $a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=a\sqrt{2}$, do đó $BM=\frac{BC}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$. Trong tam giác $ABM$, áp dụng định lí cosin: $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B$. Vì tam giác vuông cân nên $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $A{M}^2=a^2+\frac{2a^2}{9}-2\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=a^2+\frac{2a^2}{9}-\frac{2a^2}{3}=\frac{5a^2}{9}$. Vậy $AM=\frac{a\sqrt{5}}{3}$, chọn đáp án B.