Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $AMN$ có $AM=AN=1$, $MN=1,6$, áp dụng định lí cosin: $\cos A=\frac{1^2+1^2-1,6^2}{2\cdot 1\cdot 1}=-0,28$, nên $\sin A=\sqrt{1-0,0784}=0,96$.

Diện tích tam giác $ABD$: $S_1=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 8,2\cdot 16,4\cdot 0,96=64,5504m^2$.

Định lí cosin trong tam giác $ABD$: $B{D}^2=8,2^2+16,4^2-2\cdot 8,2\cdot 16,4\cdot (-0,28)=67,24+268,96+75,368=411,568$.

Trong tam giác $BCD$: $\cos C=\frac{14,5^2+9,7^2-411,568}{2\cdot 14,5\cdot 9,7}=\frac{-107,228}{281,3}\approx -0,38115$, suy ra $\sin C\approx 0,92451$.

Diện tích tam giác $BCD$: $S_2=\frac{1}{2}\cdot 14,5\cdot 9,7\cdot 0,92451\approx 65,01m^2$.

Diện tích tứ giác $ABCD=S_1+S_2\approx 64,55+65,01=129,56\approx 130m^2$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3: 130).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=\frac{a+b+c}{2}$, $x=s-a,y=s-b,z=s-c$ (đều dương), khi đó $a=y+z,b=z+x,c=x+y$.

Ta có đồng nhất thức $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$, nên
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3+\frac{2s(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}.$$
Mặt khác $r=\frac{\Delta }{s},R=\frac{abc}{4\Delta }$ với ${\Delta }^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=sxyz$, suy ra $\frac{2r}{R}=\frac{8{\Delta }^2}{sabc}=\frac{8xyz}{abc}$.

Giả thiết $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$ trở thành
$$2s(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+8xyz=abc.$$
Tính trực tiếp: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$, và $abc=(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$. Chú ý $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyz$, phương trình tương đương
$$2(x^3+y^3+z^3)=x^{2}y+x^{2}z+x{y}^2+y^{2}z+x{z}^2+y{z}^2,$$
hay
$$(x+y)(x-y{)}^2+(y+z)(y-z{)}^2+(z+x)(z-x{)}^2=0.$$
Vì $x,y,z>0$ nên mỗi số hạng không âm, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$, tức $a=b=c$. Vậy tam giác $ABC$ đều.

Kiểm tra: tam giác đều có $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$ và $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ nên vế trái $=3+1=4$, thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, Mã 1101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $HA=x$, $HD=y$. Theo hình vẽ, $H$ nằm ngoài tứ giác với $A$ giữa $H$ và $B$, $D$ giữa $H$ và $C$, nên $HB=x+4$, $HC=y+16$. Vì $AB\perp CD$ nên tam giác $HAD$ và $HBC$ vuông tại $H$.

Áp dụng Pythagoras:
- $A{D}^2=x^2+y^2=100$
- $B{C}^2=(x+4{)}^2+(y+16{)}^2=676$

Trừ hai phương trình: $8x+32y+272=576\Rightarrow x+4y=38$, tức $x=38-4y$.

Thay vào $x^2+y^2=100$: $(38-4y{)}^2+y^2=100\Rightarrow 17y^2-304y+1344=0\Rightarrow y=10$ hoặc $y=8$.

Với $y=10$ thì $x=-2<0$ (loại). Với $y=8$ thì $x=6$.

Vậy $HA=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BC=2x$ $(x>0)$, khi đó $AH=2x-8$. Vì tam giác cân nên $AB=AC=\sqrt{x^2+(2x-8{)}^2}$. Chu vi: $2x+2\sqrt{x^2+(2x-8{)}^2}=64\Rightarrow \sqrt{x^2+(2x-8{)}^2}=32-x$ (điều kiện $x<32$). Bình phương: $x^2+4x^2-32x+64=1024-64x+x^2\Rightarrow 4x^2+32x-960=0\Rightarrow x^2+8x-240=0\Rightarrow x=12$ (nhận, $x=-20$ loại). Vậy $BC=24$, $AH=16$. Hình chữ nhật $BCNM$ có chiều rộng $BC=24$ và chiều cao $AH=16$ (A là trung điểm NM), nên diện tích $=24\cdot 16=384c{m}^2$.

Nam đến vị trí $B$, Long đến vị trí $A$, $H$ là vị trí lề đường mà Long đi theo hướng vuông góc với đường thẳng $BC$ từ vị trí $A$. Giả sử $C$ là vị trí mà Nam và Long gặp nhau, đặt $CH=x(0<x<BH)$. Suy ra $CA=\sqrt{x^2+50^2}$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$: $$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\text{ hay }160^2=50^2+B{H}^2$$ Suy ra $BH=10\sqrt{231}$ và $BC=10\sqrt{231}-x$. Đổi vận tốc: Long: $5\text{ km/h}=\frac{250}{3}\text{ m/phuˊt}$; Nam: $10\text{ km/h}=\frac{500}{3}\text{ m/phuˊt}$. Để hai người gặp nhau mà không phải chờ người kia thì thời gian Nam đạp xe bằng thời gian Long đi bộ nên ta có phương trình: $$\frac{\sqrt{x^2+50^2}}{\frac{250}{3}}=\frac{10\sqrt{231}-x}{\frac{500}{3}}\text{ hay }2\sqrt{x^2+50^2}=10\sqrt{231}-x.$$ Bình phương 2 vế ta được: $$4x^2+10000=23100-20x\sqrt{231}+x^2\text{ hay }3x^2+20x\sqrt{231}-13100=0.$$ Giải phương trình này ta có nghiệm thỏa mãn là $x\approx 32,6$. Vậy vị trí hai bạn gặp nhau tại điểm $C$ cách điểm $H$ khoảng 32,6 m. Tức là cách vị trí $B$ khoảng $10\sqrt{231}-32,6\approx 119,4m$.

Nam đến vị trí $B$, Minh đến vị trí $A$, $H$ là vị trí lề đường mà Minh đi theo hướng vuông góc với đường thẳng $BC$ từ vị trí $A$. Giả sử $C$ là vị trí mà Nam và Minh gặp nhau, đặt $CH=x(0<x<BH)$. Suy ra $CA=\sqrt{x^2+40^2}$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$: $$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\text{ hay }150^2=40^2+B{H}^2$$ Suy ra $BH=10\sqrt{209}$ và $BC=10\sqrt{209}-x$. Đổi vận tốc: Minh: 6 km/h = 100 m/phút; Nam: 12 km/h = 200 m/phút. Để hai người gặp nhau mà không phải chờ người kia thì thời gian Nam đạp xe bằng thời gian Minh đi bộ nên ta có phương trình: $$\frac{\sqrt{x^2+40^2}}{100}=\frac{10\sqrt{209}-x}{200}\text{ hay }2\sqrt{x^2+40^2}=10\sqrt{209}-x.$$ Bình phương 2 vế ta được: $$4x^2+6400=20900-20x\sqrt{209}+x^2\text{ hay }3x^2+20x\sqrt{209}-14500=0.$$ Giải phương trình này ta có nghiệm thỏa mãn là $x\approx 36,4$. Vậy vị trí hai bạn gặp nhau tại điểm $C$ cách điểm $H$ khoảng $36,4\mathrm{m}$. Tức là cách vị trí $B$ khoảng $10\sqrt{209}-36,4\approx 108,2\mathrm{m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là điểm thước chạm đáy bể, $B$ là điểm tựa trên mép miệng bể, $C$ là điểm mặt nước trên thước. Ta có $AB=121$ cm, $AC=68$ cm (phần chìm trong nước), bể cao $100$ cm. Vì thước tựa vào mép miệng bể, tam giác tạo bởi thước, thành bể và đáy bể cho ta các tam giác đồng dạng: chiều cao mực nước $h$ tỉ lệ với chiều cao bể theo tỉ số phần thước chìm. Cụ thể $\frac{h}{100}=\frac{AC}{AB}=\frac{68}{121}$, suy ra $h=\frac{6800}{121}\approx 56,\mathrm{198...}\approx 56,2$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 56,2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là điểm thước chạm đáy bể, $B$ là điểm tựa trên mép miệng bể, khi đó $AB=121$ cm. Chiều cao bể là $100$ cm, nên khoảng cách từ $B$ xuống mặt phẳng đáy (theo phương thẳng đứng) là $100$ cm. Phần thước chìm trong nước dài $68$ cm, tính từ $A$ dọc theo thước; gọi $C$ là điểm trên thước tại mặt nước, $AC=68$ cm. Gọi $h$ là chiều cao mực nước. Vì tam giác tạo bởi thước, đáy bể và phương thẳng đứng, ta có tam giác đồng dạng: $\frac{h}{100}=\frac{AC}{AB}=\frac{68}{121}$. Suy ra $h=100\cdot \frac{68}{121}=\frac{6800}{121}\approx 56,198\approx 56,2$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 56,2.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]
+ Gọi $A$ là vị trí con diều, $B$ là vị trí đầu dây diều trên mặt đất. $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt đất.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$.
Ta có $AB=50m$
$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên mặt đất
Suy ra $\widehat{ABH}=58^{\circ }$
+ Cần tính $AH$ : Có $AH=AB.\sin \widehat{ABH}=50.\sin 58^{\circ }\approx \text{42,4}$ (m) — 0,25 + 0,25

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
+ Gọi $A$ là vị trí con diều, $B$ là vị trí đầu dây diều trên mặt đất. $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt đất.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$.
Ta có $AB=45m$
$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên mặt đất
Suy ra $\widehat{ABH}=62^{\circ }$
+ Cần tính $AH$ : Có $AH=AB.\sin \widehat{ABH}=45.\sin 62^{\circ }\approx \text{39,7}$(m) — 0,25 + 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C xuống AB. Trong tam giác vuông AHC có $\hat{A}=60^{\circ }$, cạnh huyền $AC=8$, nên $h_C=CH=AC\cdot \sin A=8\cdot \sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C) và bảng đáp án mã đề 0105 câu 11 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã 0105): a) Sai vì định lý sin cho sinA/BC = sinB/AC = sinC/AB = 1/(2R), không phải 2R. b) Đúng: theo định lý cos, AB² = AC² + BC² − 2·AC·BC·cos60° = 64 + 144 − 96 = 112 nên AB = 4√7 (d đúng). Với M trung điểm AB: MC² = (2AC² + 2BC² − AB²)/4 = (128 + 288 − 112)/4 = 76, nên MC = 2√19 (b đúng). c) Sai: S = ½·AC·BC·sin60° = ½·8·12·(√3/2) = 24√3 ≠ 24. Khớp bảng đáp án mã 0105 dòng 15: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: sinA/BC = sinB/AC = sinC/AB = 1/(2R), không phải 2R.
b) (AI giải đề cho tôi)
MC² = (2·8² + 2·12² − 112)/4 = 76 nên MC = 2√19.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·8·12·sin60° = 24√3, không phải 24.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 8² + 12² − 2·8·12·cos60° = 112 nên AB = 4√7.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=136-60=76$. Vậy $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-80\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, suy ra $a=7$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (49+64−57)/(112) = 56/112 = 1/2, nên c) Đúng. a) D nằm trên tia đối của tia AC nên góc BAD = 180° − A, cos∠BAD = −cos A = −1/2, AD = 2. BD² = AB²+AD²−2·AB·AD·cos∠BAD = 49+4+28·(1/2) = 67, suy ra BD = √67 ≠ √76 → Sai. b) sin A = √(1−1/4) = √3/2, R = BC/(2 sin A) = √57/√3 = √19 ≠ 2√19 → Sai. d) S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(√3/2) = 14√3 → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 13: S,S,Đ,Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD = ¼·AC = 2, góc BAD = 180° − A nên cos∠BAD = −cos A = −1/2. BD² = 49 + 4 − 2·7·2·(−1/2) = 67, vậy BD = √67 ≠ √76 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = √3/2 nên R = BC/(2 sin A) = √57/√3 = √19 ≠ 2√19 → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (49+64−57)/(2·7·8) = 56/112 = 1/2 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(√3/2) = 14√3 → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ C xuống AB: $h_c=AC\cdot \sin A=7\cdot \sin 60^{\circ }=7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển: $(a+b+c)(a+b-c)=(a+b{)}^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2=3ab$, suy ra $a^2+b^2-c^2=ab$. Theo định lý cosin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$. Khớp với đáp án A (mã đề 0102, câu 4).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$ với $\hat{C}=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$.
$\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Suy ra $AB=\frac{10\cdot \sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.
Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 14: A).