Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm bậc ba đi xuống từ trái, có một cực tiểu dưới trục hoành (gần gốc tọa độ) và một cực đại nằm trên trục hoành (tiếp xúc trục hoành), nên loại A (hàm phân số có tiệm cận). Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=-4$ (cực tiểu, dưới trục hoành); tại $x=2$: $y=-8+12-4=0$ (cực đại nằm trên trục hoành). Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Phương án B: $y=x^3+3x^2-4$ có cực đại tại $x=0$, $y=-4$ và cực tiểu tại $x=-2$, $y=-8$ — dạng ngược, không khớp. Phương án C: $y=-x^3+3x-4$ có cực đại tại $x=1$, $y=-2$ (không nằm trên trục hoành) và cực tiểu tại $x=-1$, $y=-6$, không khớp hình. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại A (parabol) và D (hàm phân thức có tiệm cận). Xét B: $y=-x^3+3x+1$ có $a<0$, cực đại tại $x=1>0$, cực tiểu tại $x=-1<0$ — trái với hình. Xét C: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=3>0$, cực tiểu tại $x=1$ với $y(1)=-1<0$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đường cong trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị Câu 52: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), nên hệ số $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $y(0)=d$ nằm dưới gốc tọa độ, nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành khi $y=0$, tức tử số bằng 0 (với $x\ne 1$). Xét từng phương án:
- A: $3x+2=0\Rightarrow x=-\frac{2}{3}<0$.
- B: $-2x+4=0\Rightarrow x=2>0$, thỏa mãn.
- C: $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}<0$.
- D: $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}<0$.
Vậy chỉ có hàm số $y=\frac{-2x+4}{x-1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^3+3x+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+3$. Đồ thị có cực đại và cực tiểu nên $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, do đó $a<0$. Khi đó $y^{\prime }=3(1-|a|x^2)$... chính xác $y^{\prime }=0\iff x^2=-1/a$, hai cực trị tại $x=\pm \sqrt{-1/a}$. Trên hình, cực đại nằm bên phải trục tung ($x>0$) và cực tiểu nằm bên trái ($x<0$), phù hợp với $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (điểm $y(0)=d<0$), nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đi từ $-\infty$ đến $+\infty$), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại C (parabol) và A (hàm bậc ba đi xuống). Xét D: $y=x^3-3x+1$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Xét B: $y=x^3-3x^2-1$ có $y^{\prime }=3x(x-2)=0$ tại $x=0,2$, cực đại tại $x=0$ với $y=-1<0$, không khớp. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm bậc ba với $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=1$, giảm – tăng – giảm, cực tiểu $f(-1)=-2$, cực đại $f(1)=2$, và ${\lim }_{x\to -\infty }f=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f=-\infty$ (hệ số của $x^3$ âm). Xét $y=-x^3+3x$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime }<0$ khi $|x|>1$, $y^{\prime }>0$ khi $|x|<1$; $y(-1)=1-3=-2$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3=2$ (cực đại). Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A ngược dấu, B và D là hàm bậc hai nên loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$. Tại $x=0$, đồ thị cắt trục tung dưới gốc tọa độ nên $d=y(0)<0$. Vậy $a<0,d<0$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với $a<0$ (chiều đi xuống từ trái trên xuống, rồi lên, rồi xuống). Loại A, D. Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x=0$ với tung độ âm và điểm cực đại tại $x=2$ với tung độ dương. Xét $y=-x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-2<0$ (cực tiểu), $y(2)=-8+12-2=2>0$ (cực đại) — khớp với đồ thị. Với $y=-x^3+3x^2+2$ thì $y(0)=2>0$, không khớp. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;-1)$, tức $a=1,b=-1$. Khi đó $T=2a-3b=2\cdot 1-3\cdot (-1)=2+3=5$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh phải đi xuống nên $a<0$. Đạo hàm $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$ (cực tiểu bên trái trục tung, cực đại bên phải). Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, vì $a<0$ nên $c>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d=y(0)=d<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=1$, hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$, tiệm cận đứng $x=2$, và $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, phù hợp bảng biến thiên. Các phương án B, D có tiệm cận đứng khác ($x=-2$, $x=-1$); phương án C có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2\ne 1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$) và tiệm cận xiên, nên loại C (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và loại D (tiệm cận đứng $x=2$ bên phải trục $Oy$). So sánh A và B: $y_A=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$, khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên), khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống rồi tăng dần theo tiệm cận xiên $y=x$), đồng thời $y_A=0$ tại $x=1$ và $x=-2$ — khớp với đồ thị. Với B: $y_B=\frac{x^2-x}{x+1}=x-2+\frac{2}{x+1}$, khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh trái đi xuống), không khớp đồ thị. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (mẫu khác 0) nên a đúng. $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, đều thuộc tập xác định, qua mỗi điểm đạo hàm đổi dấu nên hàm số có hai điểm cực trị: cực tiểu $(0;1)$, cực đại $(2;5)$ → b đúng, d đúng. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$; $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$). Do đó trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến, không đồng biến → c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0$ tại $x=0,x=2$; đạo hàm đổi dấu qua mỗi điểm nên có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$), nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=2$; $y(2)=\frac{4+2-1}{1}=5$, nên điểm cực đại là $(2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 26: a) Tại x=0, y=0-0+0-2=-2 nên đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 → đúng. b) Hàm y=(2x-3)/(x-1) có mẫu bằng 0 tại x=1, nên tiệm cận đứng là x=1 chứ không phải x=2 → sai. c) Phép chia: (x²+2x-2)/(x-1)=x+3+1/(x-1) (vì (x-1)(x+3)=x²+2x-3), nên tiệm cận xiên là y=x+3, không phải y=x+2 → sai. d) y'=1-1/(x-1)²=0 cho x=0 và x=2; y(0)=2, y(2)=6. Trung điểm hai điểm cực trị là (1;4). Tâm đối xứng của đồ thị y=x+3+1/(x-1) là giao hai tiệm cận I(1;3) ≠ (1;4) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y(0)=-2 nên đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số x-1=0 tại x=1, nên tiệm cận đứng là x=1, không phải x=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=x+3+1/(x-1), tiệm cận xiên là y=x+3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (2;6) có trung điểm (1;4), nhưng tâm đối xứng của đồ thị là I(1;3).

Đáp án chính thức (bảng đáp án mã 1102, câu 14): ĐSDS — a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Căn cứ theo bảng đáp án nguồn trang 7 và kiểm tra bằng tính toán: $y^{\prime }=3x^2-6x-9$; tiếp tuyến tại $A(1;-5)$ là $y=-12x+7$; $y^{\prime }=-12$ chỉ có nghiệm kép $x=1$ (một điểm); $y^{\prime }>0$ có tập nghiệm $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
a) Vì $A(1;-5)$ thuộc $(C)$: $y(1)=1-3-9+6=-5$. $y^{\prime }=3x^2-6x-9$ nên $y^{\prime }(1)=3-6-9=-12$. Tiếp tuyến: $y=-12(x-1)-5=-12x+7$. Khẳng định đúng.
b) $y^{\prime }=-12\iff 3x^2-6x-9=-12\iff 3x^2-6x+3=0\iff (x-1{)}^2=0\iff x=1$. Chỉ có một điểm duy nhất nên khẳng định sai.
c) $y^{\prime }=3x^2-6x-9$. Khẳng định đúng.
d) $y^{\prime }>0\iff 3x^2-6x-9>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$. Tập nghiệm là $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$, không phải $(-1;3)$. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có $y(0)=1$, đi qua điểm cực đại khoảng $(-0,8;2,1)$ và cực tiểu khoảng $(0,8;0)$. Xét $y=x^3-2x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2/3}\approx \pm 0,816$. Tại $x=-\sqrt{2/3}$: $y\approx 2,09$ (cực đại), tại $x=\sqrt{2/3}$: $y\approx -0,09$ (cực tiểu), khớp với đồ thị. Các phương án còn lại có cực trị tại $x=0$ hoặc $x=4/3$ không khớp. Đáp án C, trùng với đáp án đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm (0;1) và có hai điểm cực trị: cực đại tại x âm (giá trị khoảng 2) và cực tiểu tại x dương (gần trục Ox). Xét $y=x^3-2x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-2=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0,577$. Tại $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ hàm đạt cực đại $y\approx 2,08$, tại $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ đạt cực tiểu $y\approx -0,08$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án B, C, D có số hạng $x^2$ nên hai điểm cực trị không đối xứng qua gốc tọa độ như hình (với D, $y^{\prime }=3x^2-4x=0$ cho cực trị tại $x=0$ và $x=\frac{4}{3}$, không đúng hình). Đáp án A khớp với đáp án của đề (mã 0101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x=3(x-2{)}^2-12\ge -12$, nên hệ số góc nhỏ nhất là $a=-12$ tại $x=2$. Khi đó $y(2)=8-24+1=-15$, tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-15=-12x+9$, vậy $b=9$ và $P=a\cdot b=-12\cdot 9=-108$.