Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, với $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy $y^{\prime }=3x(x-2)$, suy ra $y=x^3-3x^2+C$. Kiểm tra giá trị: $y(0)=2\Rightarrow C=2$, và $y(2)=8-12+2=-2$ khớp với bảng. Vậy hàm số là $y=x^3-3x^2+2$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba $y=x^3-6x^2+9x-1$ có hoành độ $a=-\frac{-6}{3}=2$. Tính $f(2)=8-24+18-1=1$. Kiểm tra: đặt $x=t+2$ thì $y=t^3-3t+1$, hàm $t^3-3t$ lẻ nên đồ thị đối xứng qua điểm $(0;1)$ trong hệ $(t;y)$, tức $I(2;1)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-3x+4}{x-2}=x-1+\frac{2}{x-2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-1$, nên tâm đối xứng là giao của hai đường này: $x=2\Rightarrow y=1$. Vậy $I(2;1)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nhận gốc tọa độ O(0;0) làm tâm đối xứng khi hàm số là hàm lẻ: f(-x) = -f(x). Xét từng phương án: A: y = x³ - 3x + 1 có f(0) = 1 ≠ 0 nên tâm đối xứng không phải O. B: y = x³ - 3x là hàm lẻ vì f(-x) = -x³ + 3x = -f(x), do đó đồ thị nhận O(0;0) làm tâm đối xứng. C: y = (x+1)/(x-1) có tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận x = 1 và y = 1, tức I(1;1), không phải O. D: y = x² - 2x là parabol có trục đối xứng x = 1, không có tâm đối xứng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-3x^2+4=0$. Thử $x=2$: $8-12+4=0$, nên phân tích $x^3-3x^2+4=(x-2)(x^2-x-2)=(x-2{)}^2(x+1)$. Các nghiệm phân biệt là $x=2$ và $x=-1$, tức đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm $(2;0)$ và $(-1;0)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có hai điểm tới hạn $x=-1$ và $x=1$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$; giá trị tại $x=-1$ là $0$ (cực tiểu) và tại $x=1$ là $4$ (cực đại); $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Xét $y=-x^3+3x+2$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=1-3+2=0$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3+2=4$ (cực đại); dấu $y^{\prime }>0$ khi $-1<x<1$, $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Phương án A có $y^{\prime }=3x^2-3$ (đồng biến ngoài, nghịch biến trong — ngược bảng); C có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ luôn nghịch biến; D có $y^{\prime }=-3x^2+6x$ với điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ — không khớp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên cả hai khoảng xác định. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$ (phương án B): $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$ (sai dấu); C có tiệm cận đứng $x=1$; D có tiệm cận đứng $x=-2$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có điểm cực đại tại $(0;1)$ và điểm cực tiểu tại $(2;-3)$, và đi lên vô hạn khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a>0$. Xét $y=x^3-3x^2+1$: $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=1$ (cực đại); tại $x=2$: $y=8-12+1=-3$ (cực tiểu), khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác không thỏa: A có $a=-1<0$ (nhánh đi xuống bên phải); C có $y^{\prime }=3x^2+6x$ nên cực trị tại $x=0$ và $x=-2$; D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nên cực trị tại $x=\pm 1$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$. Xét $y=\frac{x-2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên TCĐ $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu với hệ số dẫn $1/1=1$ nên TCN $y=1$; $y=0\iff x=2$; $y(0)=\frac{-2}{1}=-2$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=2$ và $y=0$ tại $x=-2$; C có TCĐ $x=1$; D có $y(0)=2$ và TCN $y=-1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=4$; $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-5$.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $+\to -$ tại $x=-1$ (cực đại) và $-\to +$ tại $x=2$ (cực tiểu).

b) Đúng: bảng biến thiên cho thấy khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$.

c) Sai: vì $f(-1)=4>0$ và $f(2)=-5<0$, do $f$ liên tục trên $[-1;2]$, theo định lý giá trị trung gian tồn tại $x_0\in (-1;2)$ sao cho $f(x_0)=0$, tức đồ thị cắt trục hoành (thực chất hàm bậc ba có cực đại dương và cực tiểu âm nên có 3 nghiệm phân biệt).

d) Đúng: trên đoạn $[-1;2]$, hàm nghịch biến trên $(-1;2)$ nên $\max =f(-1)=4$, $\min =f(2)=-5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(-1)=4>0$ và $f(2)=-5<0$, hàm liên tục nên tồn tại nghiệm $f(x)=0$ trên $(-1;2)$; đồ thị cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$ hàm nghịch biến nên $\max =f(-1)=4$, $\min =f(2)=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, hai nhánh đi xuống hai đầu (nhánh trái đi lên từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$) nên $a<0$. Khi đó $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0,x=2$; hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$.
a) Trên $(0;2)$ hàm đi từ điểm cực tiểu $(0;-1)$ lên điểm cực đại $(2;3)$ nên đồng biến → Đúng.
b) Đồ thị cắt trục tung tại $x=0$, tức điểm cực tiểu $(0;-1)$, nên $f(0)=-1$ → Đúng.
c) Vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ nên $a<0$; khẳng định $a>0$ sai → Sai.
d) Trên $[0;2]$, hai đầu đoạn là hai điểm cực trị với $f(0)=-1$, $f(2)=3$, nên giá trị lớn nhất bằng 3 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đi từ cực tiểu $(0;-1)$ lên cực đại $(2;3)$ nên đồng biến trên $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm cực tiểu $(0;-1)$, tức $f(0)=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ nên $a<0$; khẳng định $a>0$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $f(0)=-1$ (cực tiểu), $f(2)=3$ (cực đại), nên giá trị lớn nhất bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-4}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-4)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có cực trị → đúng.

b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-4}{x+1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang → đúng.

c) Mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{x-4}{x+1}=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$ → sai.

d) Hai tiệm cận $x=-1$, $y=1$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật với chiều rộng 1 (từ $x=-1$ đến $x=0$) và chiều cao 1 (từ $y=0$ đến $y=1$), chu vi $=2(1+1)=4$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-4}{x+1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (mẫu số bằng 0), không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-1$, $y=1$, $x=0$, $y=0$ có kích thước $1\times 1$, chu vi $=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang là $y=2$ nên $a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$: $f(0)=\frac{b}{c}=\frac{b}{-1}=-1\Rightarrow b=1$. Vậy $T=a+b+c=2+1-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $3$, cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-1$, và hàm số đồng biến khi $x\to \pm \infty$ nên hệ số $a>0$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án A, B có $a<0$ nên loại; phương án C có $y(0)=1$ nhưng cực đại tại $x=-1$ là $2(-1{)}^3+6+1=5\ne 3$ nên loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có: đi qua điểm (0;1), cực tiểu tại x=1 với y=0 (tiếp xúc trục hoành), và cắt trục hoành tại x=-1. Kiểm tra phương án A: y=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1). Khi x=0 thì y=1 ✓; khi x=1 thì y=0 ✓ (nghiệm kép nên cực tiểu chạm trục hoành); khi x=-1 thì y=0 ✓. y'=3x^2-2x-1=0 tại x=1 và x=-1/3, với x=-1/3 hàm đạt cực đại y=32/27≈1,19 khớp với đồ thị. Các phương án khác: B có y(0)=1 nhưng y(1)=1≠0; C có y(0)=-1; D là hàm bậc ba với hệ số âm (đi xuống bên phải), không khớp. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ (đạo hàm đổi dấu qua điểm này, y' dương hai bên nên là tiệm cận đứng), tiệm cận ngang $y=\frac{1}{4}$, và hàm đồng biến trên cả hai khoảng. Xét $y=\frac{2-x}{2-4x}$ (đáp án A): mẫu số $2-4x=0\iff x=\frac{1}{2}$ ✓; giới hạn khi $x\to \pm \infty$: $\lim =\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$ ✓; $y^{\prime }=\frac{-(2-4x)+4(2-x)}{(2-4x{)}^2}=\frac{-2+4x+8-4x}{(2-4x{)}^2}=\frac{6}{(2-4x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, nên hàm đồng biến trên cả hai khoảng ✓. Các phương án khác: B có $\lim =\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$; C có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ và $\lim =-\frac{1}{4}$; D có tiệm cận đứng $x=\frac{3}{4}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên: hàm số xác định trên R, nghịch biến trên R (y'<0) và lim_{x→-∞} y=+∞, lim_{x→+∞} y=-∞.
- A: y=-3x³-2x+3, y'=-9x²-2<0 với mọi x; lim_{x→-∞}y=+∞, lim_{x→+∞}y=-∞. Thỏa mãn.
- B: y=-3x⁴-2 có y'=-12x³ đổi dấu và lim_{x→±∞}y=-∞. Loại.
- C: y=-3x/(4-2x) có tiệm cận ngang y=3/2, không tiến đến ±∞. Loại.
- D: y=-3x³+2x+9 có y'=-9x²+2 đổi dấu tại x=±√2/3. Loại.
Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức $y=\frac{2x}{3x-5}$ là giao điểm của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=\frac{5}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$. Vậy tâm đối xứng là $\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba $y=2x^3+x^2-2x-2$ có tâm đối xứng là điểm uốn, tức nơi $y^{\prime \prime }=0$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+2x-2$, $y^{\prime \prime }=12x+2$. Giải $12x+2=0$ được $x_0=-\frac{1}{6}$. Tính $y_0=2{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2-2\left(-\frac{1}{6}\right)-2=-\frac{1}{108}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3}-2=\frac{-1+3+36-216}{108}=-\frac{178}{108}=-\frac{89}{54}$. Vậy tâm đối xứng là $\left(-\frac{1}{6};-\frac{89}{54}\right)$, tương ứng phương án A.