Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: $y=-x+3-\frac{8}{x+2}$. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x=-2$ và đường tiệm cận xiên là $y=-x+3$. Tâm đối xứng của $(C)$ là điểm $I(-2;5)$.
b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của $\Delta$ và $(C)$: $\frac{-x^2+x-2}{x+2}=\frac{-x-2}{2}\iff x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=6$. Ta có $A(0;-1)$ và $B(6;-4)$, nên $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 6=3$.
c) Đúng. Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là đường thẳng $y=-x+3$.
d) Sai. Đường thẳng $CD$ song song với $AB$ có dạng $x+2y+m=0$ ($m\ne 2$). Từ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=(6;-3)\Rightarrow x_C-x_D=6$, giải được $m=-18$. Khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ là $d(AB,CD)=\frac{|2-(-18)|}{\sqrt{1^2+2^2}}=4\sqrt{5}\ne 5$.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-2\Rightarrow d=2c$ và đường tiệm cận ngang $y=3\Rightarrow \frac{3}{c}=3\iff c=1\Rightarrow d=2$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;6)\Rightarrow \frac{b}{d}=6\Rightarrow b=12$. Vậy $T=2b+3c-4d=2(12)+3(1)-4(2)=19$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ nên loại A và D. Đồ thị đi qua điểm $(-2;4)$, mà với phương án C thì $y(-2)=\frac{4+6}{-1}=-10\ne 4$ nên loại C. Vậy chọn B.

Từ bảng biến thiên, $y(0)=1$. Trong bốn hàm số đã cho, chỉ có $y=x^3+3x^2+1$ thỏa mãn (ba hàm số còn lại đều có $y(0)=-1$).

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ nên loại A, C, D. Đồ thị đi qua các điểm $(-1;0),(0;-1)$, phù hợp với $y=\frac{x+1}{x-1}$.

Ta có $y=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Đúng. Hàm số xác định khi $x+2\ne 0\iff x\ne -2$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
b) Sai. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+2)]=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$.
c) Đúng. Tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ cắt nhau tại $I(-2;0)$, đây là tâm đối xứng của $(C)$.
d) Sai. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Hai điểm cực trị của đồ thị là $A(-1;2),B(-3;-2)$ nên $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne 2\sqrt{11}$.

a) Đúng. $D=\mathbb{R}\setminus \{1\},y^{\prime }=\frac{-6}{(2x-2{)}^2}<0,\forall x\ne 1$.
b) Đúng. ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$.
c) Sai. Vì $y^{\prime }<0,\forall x\ne 1$ nên hàm số không có cực trị.
d) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+2}{2x-2}=x+1\iff 2x^2-x-4=0$ (với $x\ne 1$). Theo định lí Vi-ét, $x_A+x_B=\frac{1}{2}$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 971; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 971; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y=x+\frac{1}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.
a) Sai: Vì hàm số không xác định tại $x=-1\in (-2;0)$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, không nghịch biến trên $(-2;0)$.
b) Đúng: Tiệm cận xiên là $y=x$.
c) Đúng: Tiếp tuyến tại $x=1$ là $d:y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$, giao điểm với $y=x$ là $M(3;3)$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $(0;1)$ và $(-2;-3)$, đường thẳng đi qua hai điểm này là $y=2x+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ nên loại C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên $y^{\prime }>0$. Với $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$, phù hợp hình vẽ. Hai hàm số ở B và D có $y^{\prime }<0$. Chọn A.

Khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ đều dương nên $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b>0$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0\Rightarrow c<0$. Chọn A.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên $c=-2$. $y(0)=2\Rightarrow \frac{b}{c}=2\Rightarrow b=-4$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-x^2+4x-2a-b}{(x-2{)}^2}$, mà $y^{\prime }(0)=0\Rightarrow -2a-b=0\Rightarrow a=2$. Vậy $a+b+c=2-4-2=-4$. Đáp án: -4.

Đồ thị đi qua các điểm $(-1;2)$ và $(1;0)$. Thay $x=-1$ vào các phương án chỉ có $y=-x^3+1$ nhận giá trị $y=2$. Chọn B.

Nhánh phải của đồ thị đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)$ nằm phía dưới trục hoành nên $d<0$. Chọn B.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên là đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$. Chọn B.

a) Đúng. $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$.
b) Đúng. Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$.
c) Sai. Với $x=0$ thì $y=-2$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)$.
d) Đúng. Trên $[0;3]$, ${\min }_{[0;3]}y=y(0)=-2$ và ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=\frac{1}{4}$, tổng bằng $-2+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$.

a) Đúng. Với $x=0$ thì $y=-2$.
b) Sai. $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
c) Đúng. $y=x-1+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$.
d) Sai. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến $x-y-1=0$ là $\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 1$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x,y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hệ số $a=1>0,y(0)=2,y(2)=-2$ nên đồ thị có điểm cực đại $(0;2)$, điểm cực tiểu $(2;-2)$ và nhánh cuối đi lên. Đó là hình C. Chọn C.

Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$ và $y(0)=-1$. Chọn D.