Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R},x^2+5x\ne 0$ là $\forall x\in \mathbb{R},x^2+5x=0$ (đổi $\exists$ thành $\forall$ và phủ định mệnh đề chứa: $\ne$ thành $=$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. A và B là câu hỏi, C là câu cảm thán, nên không phải mệnh đề. D là câu khẳng định 'Việt Nam có 34 tỉnh thành', có thể xác định đúng/sai, nên là mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $1+3=4$ chẵn nhưng cả hai số đều lẻ.
- B sai: $2\cdot 3=6$ chẵn nhưng chỉ một số chẵn.
- C sai: $1+3=4$ chẵn, không lẻ.
- D đúng: tích hai số tự nhiên lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều lẻ. Thật vậy, nếu một trong hai số chẵn thì tích chẵn; ngược lại nếu cả hai lẻ thì tích lẻ. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo bất đẳng thức tam giác: tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba. b) Đúng: giả sử $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ với $p,q$ nguyên, $q\ne 0$, $\gcd (p,q)=1$ thì $p^2=5q^2$, suy ra $5\mid p$, đặt $p=5k$ thì $5k^2=q^2$, suy ra $5\mid q$, mâu thuẫn với $\gcd (p,q)=1$. Vậy $\sqrt{5}$ là số vô tỉ. c) Sai: với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $x^2\ge 0$ nên $x^2+1\ge 1>0$, do đó mệnh đề $x^2+1<0$ sai với mọi $x$. d) Đúng: trong ba số tự nhiên liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có ít nhất một số chia hết cho 3 (theo phần dư khi chia cho 3), nên tích của chúng chia hết cho 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo bất đẳng thức tam giác: tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: nếu $\sqrt{5}=p/q$ tối giản thì $p^2=5q^2$ suy ra $5\mid p$, rồi $5\mid q$, mâu thuẫn. Vậy $\sqrt{5}$ là số vô tỉ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai: với mọi $x\in \mathbb{R}$, $x^2\ge 0$ nên $x^2+1\ge 1>0$, không thể âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3, nên tích chia hết cho 3.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. A: '2 là số nguyên tố nhỏ nhất' là câu khẳng định, đúng (mệnh đề). B là câu cảm thán, C là câu hỏi, D chứa biến nên không phải mệnh đề. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của $\exists x\in \mathbb{R}:x^2-3x\ge 0$ là $\forall x\in \mathbb{R}:x^2-3x<0$ (đổi $\exists$ thành $\forall$ và phủ định $\ge$ thành $<$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định (hoặc phủ định) có thể xác định đúng/sai. Câu 'Hãy tìm hiểu về ứng dụng AI trong giáo dục!' là câu cầu khiến, không phải mệnh đề. Các câu A, C, D đều là mệnh đề. Khớp đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0$ là $\exists x\in \mathbb{R},x^2-x+1\le 0$ (đổi lượng từ $\forall$ thành $\exists$ và phủ định kết luận $>0$ thành $\le 0$). Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 1001, câu 7 là B.

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có dạng "Nếu $P$ thì $Q$": Nếu hình bình hành $ABCD$ có một góc vuông thì $ABCD$ là hình chữ nhật.

a) Đúng. $P$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x>x^2$ " được phát biểu là "Mọi số thực đều lớn hơn bình phương của chính nó".
b) Đúng. Với $x=1$ ta có $1^2=1>0$ nên $Q$ đúng.
c) Sai. Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x^2\le 0$ ".
d) Đúng. Với $x=2$ ta có $2>4$ sai nên $P$ sai. Do $Q$ đúng, $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.
a) Đúng. $P$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x>x^2$ " được phát biểu là "Mọi số thực đều lớn hơn bình phương của chính nó".
b) Đúng. Với $x=1$ ta có $1^2=1>0$ nên $Q$ đúng.
c) Sai. Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x^2\le 0$ ".
d) Đúng. Với $x=2$ ta có $2>4$ sai nên $P$ sai. Do $Q$ đúng, $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

Phát biểu 1, 2, 4 là các câu khẳng định có tính đúng sai xác định nên là mệnh đề. Phát biểu 3 là câu hỏi nên không phải mệnh đề. Vậy có 3 mệnh đề.

Phủ định của "$\forall x\in \mathbb{R},x^2>0$" là "$\exists x\in \mathbb{R},x^2\le 0$". Chọn A.

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ thì $P$ là điều kiện đủ để có $Q$. Do đó "Hai số nguyên $a$ và $b$ đều chia hết cho 5 là điều kiện đủ để $a+b$ chia hết cho 5". Chọn D.

$P(2)$: "$2\cdot 2+1>5$" tức "$5>5$" là mệnh đề sai. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề "$\forall x\in \mathbb{Z},x^2=9$" là "$\exists x\in \mathbb{Z},x^2\ne 9$", tức "Có ít nhất một số nguyên mà bình phương của nó khác 9". Điều này khớp với phương án D (và cũng khớp đáp án của đề, ví dụ mã đề 3727 có đáp án câu 12 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề gốc: 'Nếu $a$ chia hết cho 2 thì $a$ chia hết cho 4' có dạng $P\Rightarrow Q$ với $P$: '$a$ chia hết cho 2', $Q$: '$a$ chia hết cho 4'. Mệnh đề đảo là $Q\Rightarrow P$: 'Nếu $a$ chia hết cho 4 thì $a$ chia hết cho 2'. Khớp với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 3727, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng giá trị vào mệnh đề $P(x):2x+3\ge x^2$: với $x=1$: $5\ge 1$ đúng; $x=2$: $7\ge 4$ đúng; $x=3$: $9\ge 9$ đúng; $x=4$: $11\ge 16$ sai. Vậy mệnh đề sai là $P(4)$, tương ứng phương án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. A là câu cảm thán, C là câu hỏi nên không phải mệnh đề. B chứa biến $x$ nên chưa xác định đúng/sai, không phải mệnh đề (chỉ là mệnh đề chứa biến). D khẳng định 'Số 5 là số nguyên tố' là đúng, nên là mệnh đề. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $x+1>x\iff 1>0$ (luôn đúng). Vậy mệnh đề "$\forall x\in \mathbb{R},x+1>x$" đúng. Chọn B.

Câu "$4+x=0$" có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của $x$, chưa khẳng định được đúng hay sai nên không phải là mệnh đề. Các câu "$-2-x^2<0$" và "$x^2+1>0$" luôn đúng với mọi $x$. Chọn C.